Calcul différentiel

Tale ST I
2008-2009
Calcul différentiel
Calcul différentiel
Table des matières
I
Dérivation
I.1 Nombre dérivé en un point
I.2 Fonction dérivée . . . . . .
I.3 Dérivées successives . . . .
I.4 Opérations . . . . . . . . .
I.5 Équation de la tangente . .
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2
2
3
3
4
5
II Étude des variations d’une fonction
II.1 Lien entre dérivation et sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Résolution de l’équation f (x) = λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
7
III Primitives
III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Calculs de primitives . . . . . . . . . . .
III.2.1 Primitives des fonctions usuelles
III.2.2 Opérations sur les primitives . .
8
8
8
9
9
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Tale ST I
I
2008-2009
Calcul différentiel
Dérivation
Dans cette partie, f est une fonction numérique définie sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans
un repère. a et x sont deux réels distincts de I
I.1
Nombre dérivé en un point
Définition 1
Soit f une fonction définie en a et au voisinage de a, on dit que f est dérivable en a s’il existe un réel A
est une fonction ǫ tels que, au voisinage de h = 0, on a :
f (a + h) = f (a) + Ah + hǫ(h), avec lim ǫ(h) = 0.
h→0
A est appelé nombre dérivé de f en a.
Exemple 1
On considère la fonction définie sur R par f (x) = x2 .
➔ f (a + h) = (a + h)2 = a2 + 2ah + h2 = f (a) + (2a)h + h(h).
➔ Donc, f est dérivable en a de nombre dérivé A = 2a et ǫ(h) = h de limite nulle en 0.
Définition 2
f (x) − f (a)
➤ Le taux de variation de la fonction f entre a et x est le quotient :
.
x−a
f (a + h) − f (a)
➤ Avec x = a + h, ce quotient s’écrit aussi :
.
h
➤ f est dérivable en a et on note cette dérivée f ′ (a) si la limite suivante existe :
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
f ′ (a) = lim
Exemple 2
Soit f définie sur R par f (x) = x2 .
➔ le taux de variation de f entre a et a + h est :
f (a + h) − f (a)
(a + h)2 − a2
a2 + 2ah + h2 − a2
2ah + h2
=
=
=
= 2a + h.
h
h
h
h
′
➔ donc, f (a) = lim (2a + h) = 2a.
h→0
➔ En particulier, f ′ (3) = 6, f ′ (0) = 0 ...
Interprétation graphique :
Lorsque h se rapproche de 0, le point
M se rapproche du point A.
Ainsi, la droite (AM ) se rapproche
de la tangente T au point A
f ′ (a) correspond au coefficient directeur de la tangente T au point
d’abscisse a.
T
f (a + h)
f (a)
b
a
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M
b
A
a+h
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Tale ST I
I.2
2008-2009
Calcul différentiel
Fonction dérivée
Définition 3
Soit f une fonction dérivable en tout point x d’un intervalle I, alors la fonction qui à x associe f ′ (x) est
appelé fonction dérivée de f sur I.
On obtient le tableau de dérivation suivant :
Fonction f
Fonction f ′
Ensemble de définition de f
k
0
R
ax + b
1
x
√
x
R
ex
a
1
− 2
x
1
√
2 x
αxα−1
1
x
ex
sin(x)
cos(x)
R
cos(x)
− sin(x)
R
xα
ln(x)
R∗
R∗+
R si α ∈ N∗ ou R∗ si α ∈ Z∗− ou R∗+ si α ∈ R
R∗+
R
Exemple 3
Calcul de la dérivée des fonctions suivantes :
➔ f (x) = π
f ′ (x) = 0
2
1
➔ f (x) = x 3 f ′ (x) = 23 x− 3
I.3
➔ f (x) = x3
➔ f (x) = x2007
f ′ (x) = 3x2
f ′ (x) = 2007x2006
Dérivées successives
Définition 4
Soit f une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les dérivées successives de f notées :
f′
,
f ′′
,
f ′′′
,
...
,
f (n) .
Exemple 4
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x3 − x2 + x + 3.
➔ f ′ (x) = 6x2 − 2x + 1.
➔ f ′′ (x) = 12x − 2.
➔ f ′′′ (x) = 12.
➔ f (4) = 0.
df
= f′
dx
En physique et en mécanique, on utilise la notation différenteielle :
Exemple 5
Dans un circuit R, L, C en série, on a :
➔ i=
R
L
et
d2 f
= f ′′
dx2
C
dq
.
dt
➔ e = −L
di
.
dt
➔ donc : e = −L
d2 q
.
dt2
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b
b
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Tale ST I
I.4
2008-2009
Calcul différentiel
Opérations
u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.
Opération
Fonction
Dérivée
Addition
u+v
u′ + v ′
Multiplication par un nombre
k × u avec k ∈ R
k × u′
Multiplication
Puissance
Division
Inverse
Fonction composée
exponentielle
u×v
u′ × v + u × v ′
eu
u′ eu
u′
u
u′ cos(u)
un
u
v
1
v
f ◦g
logarithme
ln(u)
sinus
sin(u)
cosinus
cos(u)
n × u′ × un−1
u′ × v − u × v ′
v2 ′
v
− 2
v
f ′ ◦ g × g′
−u′ sin(u)
Exemple 6
Calcul de dérivées :
➔ f (x) = x3 + x + 3 : On utilise la formule (u + v)′ = u′ + v ′ avec u(x) = x3 et v(x) = x + 3.
on obtient f ′ (x) = 3x2 + 1.
➔ f (x) = 3(x2 + 4) : on utilise la formule (ku)′ = ku′ avec k = 3 et u(x) = x2 + 4.
on obtient f ′ (x) = 6x.
➔ f (x) = (−2x + 3)(5x − 3) : On utilise la formule (uv)′ = u′ v + uv ′ avec u(x) = −2x + 3 et v(x) = 5x − 3.
on obtient f ′ (x) = −20x + 21.
➔ f (x) = (2x − 7)2 : on utilise la formule (u2 )′ = 2uu′ avec u(x) = 2x − 7.
on obtient f ′ (x) = 4(2x − 7).
u ′
3x − 4
u′ v − uv ′
:
On
utilise
la
formule
=
avec u(x) = 3x − 4 et v(x) = x2 + 3.
x2 + 3
v
v2
−3x2 + 8x + 9
on obtient f ′ (x) =
.
(x2 + 3)2
′
1
1
v′
➔ f (x) =
: On utilise la formule
= − 2 avec v(x) = −3x + 1.
−3x + 1
v
v
3
′
on obtient f (x) =
.
(−3x + 1)2
➔ f (x) =
➔ f (x) = e3x+1 : On utilise la formule (eu )′ = u′ eu avec u(x) = 3x + 1.
on obtient f ′ (x) = 3 e3x+1 .
u′
➔ f (x) = ln(−2x + 5) : On utilise la formule (ln u)′ =
avec u(x) = −2x + 5.
u
−2
on obtient f ′ (x) =
.
−2x + 5
➔ f (x) = cos(2x + 1) : On utilise la formule cos′ (u) = −u′ sin(u) avec u(x) = 2x + 1.
on obtient f ′ (x) = −2 sin(2x + 1).
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Tale ST I
I.5
2008-2009
Calcul différentiel
Équation de la tangente
Propriété 1
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et dérivable en a ∈ I.
La tangente Ta en a à la courbe Cf a pour équation :
Ta : y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
Exemple 7
Soit f (x) = x2 + 2. Les équations des tangentes en 0 et en −1 sont :
➔ f ′ (x) = 2x
➔ f ′ (0) = 0 donc T0 : y = 0 × (x − 0) + f (0) = 2.
➔ f ′ (−1) = −2 donc T−1 : y = −2 × (x + 1) + f (−1) = −2x + 1.
II
II.1
Étude des variations d’une fonction
Lien entre dérivation et sens de variation d’une fonction
L’idée est qu’il y a un lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente de la courbe C et le sens de
variation de la fonction f .
Propriété 2
On suppose que f est dérivable sur I.
♦ f est croissante sur I ⇐⇒ f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ I.
♦ f est décroissante sur I ⇐⇒ f ′ (x) 6 0 pour tout x ∈ I.
♦ f est constante sur I ⇐⇒ f ′ (x) = 0 pour tout x ∈ I.
Il est donc possible de déterminer les variations d’une fonction à partir du signe de sa dérivée.
Exemple 8
Étude d’une fonction polynôme :
Soit f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x − 1, définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation :
➔ Pour tout réel x on a f ′ (x) = 6x2 − 6x − 12 = 6(x2 − x − 2).
➔ On détermine le signe de x2 − x − 2 en cherchant ses racines et on trouve −1 et 2.
f ′ (x) = 6(x + 1)(x − 2) est positive sauf entre ses racines −1 et 2.
➔ On peut déterminer le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction f :
x
signe de f (x)
′
−∞
+
−1
0
6
variations de f
−∞
ր
2
−
ց
0
+∞
+
+∞
−21
ր
➔ f est croissante sur ] − ∞ ; −1 ] et sur [ 2 ; +∞ [ et décroissante sur [ −1 ; 2 ].
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Tale ST I
2008-2009
Calcul différentiel
Exemple 9
Etude d’une fonction logarithme :
Soit g(x) = 2x2 + 1 − ln x, définie et dérivable sur R∗+ . Déterminons son sens de variation :
1
4x2 − 1
(2x + 1)(2x − 1)
=
=
.
x
x
x
➔ On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction g :
➔ Pour tout réel x > 0 on a g ′ (x) = 4x −
1
2
0
x
2x + 1
+
|
+
2x − 1
−
0
+
+
|
+
signe de g (x)
−
0
+
x
′
+∞
variations de g
➔ g est décroissante sur
0;
1
2
+∞
et croissante sur
+∞
ց
3
2
ր
+ ln 2
1
; +∞ .
2
Exemple 10
Etude d’une fonction exponentielle :
Soit h(x) = (x + 2) e−x , définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation :
➔ Pour tout réel x on a h′ (x) = 1 × e−x + (x + 2) × (−e−x ) = (1 − x − 2) e−x = (−x − 1) e−x .
➔ On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction h :
x
−x − 1
e
−∞
−x
signe de h (x)
′
+
−1
|
+
|
+
0
e
variations de h
−∞
ր
0
+∞
−
+
−
ց
0
➔ h est croissante sur [−∞ ; −1 ] et décroissante sur [−1 ; +∞ [.
II.2
Extremum d’une fonction
Propriété 3
f est une fonction dérivable sur l’intervalle I.
Si f admet un extremum (minimum ou maximum) en a distinct des extrémités de I, alors f ′ (a) = 0.
Remarque 1
Attention, la réciproque n’est pas vraie : le fait que f ′ (a) = 0 n’implique pas forcément qu’il existe un
extremum en a
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Tale ST I
2008-2009
Calcul différentiel
y = x3
Exemple 11
➔ La fonction f (x) = x3 est définie et dérivable
sur R.
−1
➔ f ′ (x) = 3x2 donc, f ′ (0) = 0 mais f n’admet
ni minimum, ni maximum en 0.
−1
Remarque 2
La tangente à la courbe en un point a où f ′ (a) = 0 est parallèle à l’axe des abscisses.
II.3
Résolution de l’équation f (x) = λ
Propriété 4
Si f est une fonction continue, dérivable et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur un
intervalle [ a; b ] alors, pour tout λ ∈ [ f (a); f (b) ], l’équation f (x) = λ admet une solution unique sur
l’intervalle [ a; b ].
B
f (b)
b
λ
f (a)
b
a
A
x
b
Exemple 12
Soit f (x) = x3 + x + 1 = 0, f est définie et dérivable sur R. Résolvons l’équation f (x) = 0 à 10−1 près.
➔ Pour tout réel x on a f ′ (x) = 3x2 + 1.
➔ f ′ est strictement positive sur R, on en déduit que f est strictement croissante sur R.
➔ on calcule f (−1) = −1 et f (0) = 1.
➔ D’après le théorème, 0 ∈ [ f (−1); f (0) ] = [ −1; 1 ], l’équation f (x) = 0 admet donc une solution unique dans
l’intervalle [−1; 1 ].
➔ A la calculatrice, on trouve f (−0, 7) = −0, 043 < 0 et f (−0, 6) = 0, 184 > 0.
➔ La racine vaut donc −0, 7 à 10−1 près.
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Tale ST I
III
Calcul différentiel
2008-2009
Primitives
III.1
Définitions
Définition 5
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie et dérivable sur I vérifiant
F ′ (x) = f (x) pour tout x ∈ R.
Exemple 13
Considérons la fonction f définie sur R par f (x) = 3x2 .
➔ La fonction F définie sur R par F (x) = x3 est une primitive de f sur R puisque F ′ (x) = f (x).
➔ La fonction G définie sur R par G(x) = x3 + 2 est aussi une primitive de f sur R puisque G′ (x) = f (x).
Exemple 14
√
x
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = √
. Montrons que la fonction F définie sur R par F (x) = x2 + 3 + π
2
x +3
est une primitive de f :
➔ Pour cela, il faut calculer F ′ , la dérivée de F et vérifier que l’on obtient f .
2x
x
➔ F ′ (x) = √
+0= √
= f (x).
2 x2 + 3
x2 + 3
Propriété 5
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, k un réel, x0 ∈ I et y0 ∈ R fixés.
♦ Si f est dérivable sur I, alors f possède au moins une primitive sur I.
♦ Si f admet une primitive F sur I, les primitives de f sont les fonctions du type F (x) + k
♦ Si f est dérivable sur I, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F (x0 ) = y0 .
Exemple 15
1
1
1
1
➔ Les fonctions F0 (x) = x4 , F1 (x) = x4 + 1, F2 (x) = x4 + 2, ... , Fk (x) = x4 + k avec k ∈ R
4
4
4
4
sont toutes des primitives de la fonctions f .
➔ Cependant, il n’existe qu’une unique primitive F de f vérifiant F (0) = 1 : il s’agit de F1 .
III.2
Calculs de primitives
L’objet de ce paragraphe est de présenter quelques techniques permettant l’obtention de primitives de
fonctions données sur un intervalle déterminé.
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Tale ST I
III.2.1
2008-2009
Calcul différentiel
Primitives des fonctions usuelles
La lecture du tableau des primitive se fait en lisant celui des dérivées « à l’envers ».
Les fonctions f suivantes sont définies, dérivables sur l’intervalle I, n est un entier relatif différent de −1.
Obtention de primitives par lecture inverse du tableau des dérivées :
f (x)
une primitive F (x)
conditions
0
k
I =R
a
ax
xn+1
n+1
I =R
xn
1
−
x
√
2 x
1
x2
1
√
x
cos x
sin x
ex
1
x
I = R si n > 0
I = R∗ si n < 0
I = R∗
I = R∗+
sin x
I =R
− cos x
I =R
ex
I =R
ln x
I = R∗+
Remarque 3
Pour obtenir toutes les primitives d’une fonction f donnée, il suffit de rajouter une constante.
Exemple 16
1
➔ Une primitive de la fonction f définie sur R par f (x) = x8 est F (x) = x9 .
9
1
1
➔ Une primitive de la fonction f définie sur R∗+ par f (x) = 8 est F (x) = −
.
x
7 x7
III.2.2
Opérations sur les primitives
u et v sont des fonctions de primitives U et V sur un intervalle I.
Tableau des opérations sur les primitives :
Forme de la fonction
Une primitive
u+v
U +V
k×u
k×U
un+1
n+1
1
−
(n − 1) un−1
√
2 u
u′ un
u′
un
u′
√
u
′
u cos u
u′ sin u
u′ eu
u′
u
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Conditions
n∈N
n ∈ N∗
u(x) > 0
sin u
− cos u
eu
ln u
u(x) > 0
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Tale ST I
2008-2009
Calcul différentiel
Exemple 17
On cherche à déterminer dans chacun des cas suivant une primitive F de le fonction f sur l’intervalle I :
➔ f (x) = 4x2 et I = R : F (x) = 4 ×
x3
4x3
=
.
3
3
➔ f (x) = 2x(x2 − 1)5 et I = R : f (x) = (x2 − 1)′ (x2 − 1)5 donc F (x) =
(x − 1)6
.
6
√
3
(3x − 6)′
et x > 2 : f (x) = √
donc F (x) = 2 3x − 6.
➔ f (x) = √
3x − 6
3x − 6
➔ f (x) = 2x + 2 cos(2x) − 6 sin(3x − 1) et I = R : f (x) = 2x + (2x)′ cos(2x) − 2(3x − 1)′ sin(3x − 1)
donc F (x) = x2 + sin(2x) + 2 cos(3x − 1).
➔ f (x) = −9 e−3x−1 et I = R : f (x) = 3(−3x − 1)′ e−3x−1 donc : F (x) = 3 e−3x−1 .
➔ f (x) =
4x − 2
2(x2 − x + 3)′
et
I
=
R
:
f
(x)
=
donc : F (x) = 2 ln(x2 − x + 3).
x2 − x + 3
x2 − x + 3
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