Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \ par

PanaMaths Novembre 2005
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \ par :
()
21
x
fx x =
+
Analyse
La fonction f est, à un facteur multiplicatif près, le rapport de la dérivée d’une fonction et de
sa racine carrée …
Résolution
Considérons la fonction polynôme u définie sur \ par :
2
:1ux x
+
6
En tant que fonction polynôme, elle est dérivable sur \ et sa dérivée 'u s’écrit :
:2ux x6
Il vient alors :
()
()
()
2
2
1
12
21
'
1
2
x
fx xx
x
ux
ux
=
+
=
+
=×
.
Or, la fonction 'u
u admet la fonction 2u comme primitive. On en déduit que la fonction
2
2
1
x
xx+ 6 admet la fonction 2
21xx
+
6 comme primitive.
Finalement, pour obtenir une primitive de la fonction f, il suffit de multiplier la fonction que
nous venons d’obtenir par 1
2 :
21xx
+
6

PanaMaths Novembre 2005
Résultat final
Une primitive sur \ de la fonction f définie par
()
21
x
fx x =
+
est la fonction définie par :
21xx
+
6