Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \ par

Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \ par :
f ( x) = x
x2 +1
Analyse
La fonction f est, à un facteur multiplicatif près, le rapport de la dérivée d’une fonction et de
sa racine carrée …
Résolution
Considérons la fonction polynôme u définie sur \ par :
u : x 6 x2 + 1
En tant que fonction polynôme, elle est dérivable sur \ et sa dérivée u ' s’écrit :
u : x 6 2x
Il vient alors :
f ( x) =
x
x2 + 1
1 2x
=
.
2 x2 + 1
1 u '( x)
= ×
2
u ( x)
Or, la fonction
x6
2x
u'
admet la fonction 2 u comme primitive. On en déduit que la fonction
u
admet la fonction x 6 2 x 2 + 1 comme primitive.
x +1
Finalement, pour obtenir une primitive de la fonction f, il suffit de multiplier la fonction que
1
nous venons d’obtenir par :
2
2
x 6 x2 + 1
PanaMaths
Novembre 2005
Résultat final
Une primitive sur \ de la fonction f définie par f ( x ) =
x
x2 + 1
est la fonction définie par :
x 6 x2 + 1
PanaMaths
Novembre 2005