Fiche mémo sur les complexes

Fiche mémo Les complexes
1. Ecriture algébrique et écriture trigonométrique
Rappel de cours Exercice résolu
2. Calculs avec les complexes
Rappel de cours Exercice résolu
3. Résolution d’équation du second degré à coefficients réels
Rappel de cours Exercice résolu

Ecriture algébrique et écriture trigonométrique
Définitions.
L’écriture algébrique d’un complexe est z = a+ib ; a est la partie réelle et b la partie
imaginaire ; a et b sont des réels. .
L’écriture trigonométrique est
i
ez 
; est le module c’est un réel positif et l'argument ;
c'est un réel compris entre 0 et.
Le nombre complexe conjugué de z = a+ib
i
e
est le complexe
i
eibaz 
Attention en mathématiques on note i le complexe dont le carré vaut -1 et en physique on le
note j.
Interprétation géométrique
Dans le plan muni d’un repère cartésien (plan complexe) si le point M a pour coordonnées
(a,b), z = a+ib est l’affixe du vecteur OM.
Si
i
e
est l’écriture de ce même complexe, est le module de z, c’est la longueur de OM.
Passage d’une écriture à l’autre.
Passage de l’écriture algébrique à l’écriture trigonométrique :
zzba  22
et
22
cos ba
a
et
22
sin ba
b
Passage de l’écriture trigonométrique à l’écriture algébrique :
cosa
et
sinb
.
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Enoncé
a) Ecrire sous forme trigonométrique le complexe z = 3-4i.
b) Ecrire sous forme algébrique le complexe 2
6/ i
e
.
Solution

Solution
a)Il faut exprimer le module et un argument de z.
On a
5169z
Et tan Arg z =-4/3
Arg z1 est le nombre dont la tangente vaut -4/3.
La calculatrice en donne une valeur approchée : Arg z1 =-53°=-0.92rd.
b)Il faut exprimer la partie réelle et la partie imaginaire
On a z= 2cos (/6)+2i sin((/6)=
3
+i.
La partie réelle vaut donc
3
et la partie imaginaire 1.
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Calculs avec les complexes
Egalité de complexes
Ecriture algébrique
''' aaibaiba
et
'bb 
.
Ecriture trigonométrique
'' '  ii ee
et
k2' 
,
k
étant un entier.
Somme de deux complexes
Avec l’écriture algébrique, c’est très simple :
)'()'()''()( bbiaaibaiba
;
Avec l’écriture trigonométrique il faut revenir à l’écriture algébrique.
Produit de deux complexes
Avec l’écriture algébrique :
)''()''()'')((baabibbaaibaiba
.
Avec l’écriture trigonométrique c’est très simple :
)'(' ''
iii eee
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