Fiche mémo sur les complexes

Fiche mémo
Les complexes
1. Ecriture algébrique et écriture trigonométrique
Rappel de cours
Exercice résolu
2. Calculs avec les complexes
Rappel de cours
Exercice résolu
3. Résolution d’équation du second degré à coefficients réels
Rappel de cours
Exercice résolu
Ecriture algébrique et écriture trigonométrique
Définitions.
L’écriture algébrique d’un complexe est z = a+ib ; a est la partie réelle et b la partie
imaginaire ; a et b sont des réels. .
L’écriture trigonométrique est z  e i ; est le module c’est un réel positif et l'argument ;
c'est un réel compris entre 0 et.
Le nombre complexe conjugué de z = a+ib  e i est le complexe z  a  ib  e i
Attention en mathématiques on note i le complexe dont le carré vaut -1 et en physique on le
note j.
Interprétation géométrique
Dans le plan muni d’un repère cartésien (plan complexe) si le point M a pour coordonnées
(a,b), z = a+ib est l’affixe du vecteur OM.
Si e i est l’écriture de ce même complexe,  est le module de z, c’est la longueur de OM.
Passage d’une écriture à l’autre.
Passage de l’écriture algébrique à l’écriture trigonométrique :
a
b
et sin  
  a 2  b 2  z z et cos  
a2  b2
a2  b2
Passage de l’écriture trigonométrique à l’écriture algébrique :
a   cos  et b   sin  .
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Enoncé
a) Ecrire sous forme trigonométrique le complexe z = 3-4i.
b) Ecrire sous forme algébrique le complexe 2 e i / 6 .
Solution
Solution
a)Il faut exprimer le module et un argument de z.
On a z  9  16  5
Et tan Arg z =-4/3
Arg z1 est le nombre dont la tangente vaut -4/3.
La calculatrice en donne une valeur approchée : Arg z1 =-53°=-0.92rd.
b)Il faut exprimer la partie réelle et la partie imaginaire
On a z= 2cos (/6)+2i sin((/6)= 3 +i.
La partie réelle vaut donc 3 et la partie imaginaire 1.
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Calculs avec les complexes
Egalité de complexes
Ecriture algébrique a  ib  a'ib'  a  a' et b  b' .
Ecriture trigonométrique e i   ' e i '     ' et  '    2k , k étant un entier.
Somme de deux complexes
Avec l’écriture algébrique, c’est très simple : (a  ib )  (a'ib ' )  (a  a' )  i(b  b' ) ;
Avec l’écriture trigonométrique il faut revenir à l’écriture algébrique.
Produit de deux complexes
Avec l’écriture algébrique : (a  ib )( a'ib ' )  (aa'bb' )  i(ab' a' b) .
Avec l’écriture trigonométrique c’est très simple : e i  ' e i '   ' e i (  ')
Retour
Enoncé
On considère dans le plan muni d’un repère cartésien, le point M de coordonnées (4,5), et P
l’image de M par la rotation de centre O d’angle  / 4 .
Déterminez les coordonnées de P.
Solution
Solution
Le point M a pour affixe z=4+5i. La rotation de centre O d’angle  / 4 est une
multiplication par e i / 4 , l’affixe de P est donc z P  (4  5i )( 2 / 2  i 2 / 2) 
Retour
2
(1  9i ) .
2
Résolution d’équation du second degré à coefficients réels
Pour résoudre az2+bz+c=0 a, b et c étant des nombres réels et a étant non nul ; on calcule le
discriminant
 = b2-4ac
b 
b 
; x' 
Si est positif il y a deux solutions réelles : x 
2a
2a
b
Si  est nul il y a une racine double x 
a
bi 
bi 
; x' 
Si  est négatif il y a deux racines complexes conjuguées x 
.
2a
2a
Retour
Enoncé
Résoudre dans R ou C l’équation suivante : z 2  z  1  0 ; on donnera les complexes
solutions en écriture algébrique et en écriture complexe.
Solution
Solution
Le discriminant vaut   1  4  3 il y a donc deux racines complexes conjuguées qui sont
1 i 3
1 i 3
z1 
et z 2 
.
2
2
Pour obtenir l’écriture trigonométrique, on calcule le module des complexes solution :
2
2
 1   3 
z1  z 2      
1
 2   2 
Et l’argument des complexes solutions :
2
3
4
Cos(Arg z2) = -1/2 et Sin(Arg z2) = - 3 /2 donc Arg z2 =
3
On remarque que ce sont les racines troisième de l’unité (notée en mathématiques j et j ! ).
Cos(Arg z1) = -1/2
Retour
et Sin(Arg z1) =
3 /2 donc Arg z1 =