229 Suite de variables aleatoires indep de meme

229
Suite de v.a. indépendantes de même loi de Bernoulli. Variable aléatoire de loi
binomiale. Approximations de cette loi.
Loi Binomiale. Escoffier.
Soit (, A, P) un espace probabilisé.
I. Loi de Bernoulli (p.78) .
[
]
0;1
p∈
(
)
{
}
0;1
XΩ =
(
)
( )
0 1
1
P X p
P X p
= = −
= =
(
)
X B p
∼
1 si
:
0 sinon
S
X
ω
ω
∈
{
}
;
P F
Ω =
(
)
E X p
=
(
)
(
)
1
V X p p
= −
0 si à la n° épreuve on a
1 si à la n° épreuve on a
n
S
X
S
=
(
)
n
X B p
∼
1
1n
in
i
X p
n∞
=
→
∑
II. Loi Binomiale (p.78) .
[
]
0;1
p∈
(
)
0;
X n
Ω =
( ) ( )
0; , 1
n k
k k
n
k n P X k C p p
−
∀ ∈ = = −
(
)
;
X B n p
∼
(
)
;
X B n p
∼
1
,...,
n
X X
1
n
i
i
Z X
=
=
∑
(
)
;
B n p
(
)
E X np
=
(
)
(
)
1
V X np p
= −
1
,...,
n
X X
1;
i n
∀ ∈
(
)
;
i i
X B n p
∼
1 1
;
n n
i i
i i
X B n p
= =
∑ ∑
∼
III. Approximations de la loi binomiale.
A. Par la loi de Poisson (p.163).
(
)
n
X
1, ;
n
n X B n
n
λ
∀ ≥ ∼
(
)
n
X
B. Par la loi Normale (p.164) .
(
)
n
X
1
n
n i
i
S X
=
=
∑
2
2
1
, . 2
xt
n
n
S nm
x P x e dt
n σ π
−
∞
−∞
−
∀ ∈ ≤ →
∫
1
n
n i
i
S X
=
=
∑

229 Suite de v.a. indépendantes de même loi de Bernoulli. Variable aléatoire de loi
binomiale. Approximations de cette loi.
Développement Escoffier.
( )
*
1
n
n
S np
S
np p
−
=
−
*
n
S
IV. Notes.
(
)
n
X
         A,  
(
)
n
X
(
)
(
)
nn
F x F x
∞
→
(
)
n
X
A,
(
)
n
X
(
)
0, 0
nn
P X X α α
→∞
∀ > − >
→