TD4. Variables discrètes classiques.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
UE LM231 – Probabilités-Statistiques
Licence de Mathématiques L2
Année 2012–13
TD4. Variables discrètes classiques.
Exercice 1. Loi uniforme
Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur {0, . . . , n}, c’est-à-dire
que pour 0 ≤ i ≤ n,
1
P(U = i) = P(V = i) =
.
n+1
Quelle est la loi de n − U ? De 2U ? De U 2 ? De U + V ?
Exercice 2. Variables de Bernoulli et binomiale
Soient n > 0 et 0 < p < 1. On considère la famille de variables aléatoires indépendantes {Xi }1≤i≤n
telle que pour tout 1 ≤ i ≤ n, P(Xi = 1) = p et P(Xi = 0) = 1 − p.
a) Pour 1 ≤ i ≤ n, calculer la moyenne et la variance de Xi .
n
X
b) Montrer que S =
Xi suit la loi binomiale, c’est à dire que pour 0 ≤ k ≤ n,
i=1
n k n−k
P(S = k) =
p q
k
où q = 1 − p.
c) Pour x ∈ R, on pose f (x) = (px + q)n . Calculer f 0 (1) et f 00 (1). En déduire que E[S] = np et
Var(S) = npq (on pourra appliquer la formule du binôme à f ).
d) Retrouver ce résultat en utilisant la question a).
Exercice 3. Loi multinomiale
Une boîte contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire un jeton au hasard, on note son numéro et on
le remet dans la boîte. Si le numéro de ce jeton est i, alors on tire au hasard et sans remise i jetons de
la boîte que l’on distribue au hasard dans trois urnes U1 , U2 et U3 (vides au départ). Pour k = 1, 2, 3,
on note Xk la variable aléatoire désignant le nombre de jetons de l’urne Uk après cette opération.
a) Soit X la variable aléatoire donnant le numéro du jeton que l’on a tiré au départ dans la boîte.
Quelle est la loi de X ? Déterminer la loi conjointe du couple (Xk , X), où k = 1, 2, 3.
b) Calculer pour k = 1, 2, 3, l’espérance de Xk (On pourra utiliser X = X1 + X2 + X3 ).
c)
i) Trouver la loi du vecteur aléatoire (X1 , X2 , X).
ii) En déduire la loi du vecteur aléatoire (X1 , X2 , X3 ).
Exercice 4. Loi binomiale négative
a) Question préliminaire : Pour q ∈]0, 1[ et n ≥ 1, montrer que la série suivante est convergente et
que
n
X k − 1
q
k
.
q =
1−q
n−1
k≥n
On joue à pile ou face une infinité de fois, avec à chaque coup probabilité p d’obtenir pile et 1 − p
d’obtenir face. Soit n ∈ N∗ et soit Y le nombre de lancers nécessaires pour obtenir n fois le résultat
"pile".
X
b) Calculer P(Y = k) pour k ≥ 0. Vérifier que
P(Y = k) = 1.
k≥0
1
c) Quelle est la loi de Y si n = 1 ?
d) Montrer que E[Y ] = n/p (on pourra utiliser la question préliminaire).
Exercice 5. Soit N une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ et (Xi )i≥0 une suite de variables
de Bernoulli de paramètre p, indépendantes entre elles et de N . Montrer que
S=
N
X
i=1
est une variable de Poisson de paramètre pλ.
2
Xi