¤ PCSI ¤ M1. Exercices. Cinématique du point. M1.1. Vecteur vitesse en coordonnées sphériques. Le repère cartésien ( O, i, j , k ) étant lié à R, exprimer le vecteur vitesse vM / R en coordonnées sphériques. On s'aidera de la propriété de superposition des vitesses. M1.2. Mouvement cycloïdal. On considère le mouvement d'une particule caractérisé par les équations cartésiennes paramétriques suivantes: x = r(t - sint) y = r( 1 - cost) avec r constants. z=0 1) Déterminer l'allure de la trajectoire. 2) Déterminer les composantes cartésiennes de v et a . M1.3. Mouvement hélicoïdal. Soit l'hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations: r=R z = h avec h et R constants. Cette hélice est parcourue à la vitesse constante v par un point M. 1) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base cylindro-polaire. 2) Déterminer l’hodographe. M1.4. Mouvement sur une spirale. Un objet supposé ponctuel décrit, à vitesse angulaire constante, la courbe plane d'équation en coordonnées polaires : r a exp où a est une constante L'origine des dates est choisi lorsque l'objet se trouve au point r = a et = 0. 1) Déterminer l'allure de la courbe. 2) Déterminer l’expression de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires. M1.5. Hodographe d'un mouvement parabolique Soit un point M mobile dans le plan (Oxy). Son mouvement par rapport à un référentiel R est déterminé par: Un vecteur accélération constant a ae y Un vecteur vitesse initiale de valeur à t = 0, vo et e x , vo Une position initiale : l'origine O du repère. 1) Déterminer, pour t > 0, la trajectoire et l'hodographe du mouvement. 2) Tracer les courbes pour 0 et 4 M1.6. Mouvements rectilignes d’accélération a kv n . Une particule M se déplace sur une droite x’Ox de vecteur unitaire i . A partir de l’instant t = 0, où elle passera en O ( x = 0 ) avec une vitesse vo = 20 m/s, on soumet la particule à une accélération négative, proportionnelle à la puissance n-ième de la vitesse à chaque instant : a kvn i où k et n sont des constantes positives. Pour chacun des trois cas n =1, n = 2, n = 4 : Ecrire en fonction de vo et k les expressions de la vitesse v(t), de l’abscisse x(t) et de la vitesse au point d’abscisse x. A quelle vitesse et à quel instant la particule passera-t-elle à 150 m de l’origine O, si le module de l’accélération à l’instant t = 0 vaut 2 m/s2 ? M1.7. Accélération centrale. Une particule est soumise a une accélération centrale, constamment dirigé vers le centre O du plan xOy et de n r norme a k o , où k, ro et n sont des constantes positives. On utilisera les coordonnées polaires : r = OP r et Ox, OP . 1) Comment faut-il choisir la vitesse initiale vo de la particule pour que sa trajectoire soit un cercle de centre O, de rayon ro , décrit à la vitesse angulaire o ? 2) Les conditions précédentes n’étant pas rigoureusement remplies, la particule décrit une orbite plane qui s’écarte légèrement de l’orbite circulaire de rayon ro. On posera alors : OP r ro 1 avec 1. On admettra que la vitesse v reste pratiquement perpendiculaire à OP . a) Etablir l’équation différentielle : 02 3 n 0 b) Pour quelles valeurs de n le mouvement de la particule est-il stable ? c) Pour n = 2, quel sera le mouvement de la particule ?