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¤ PCSI ¤ M1. Exercices.
Cinématique du point.
M1.1. Vecteur vitesse en coordonnées sphériques.
Le repère cartésien (
, , ,O i j k
) étant lié à R, exprimer le vecteur vitesse
/MR
v
en coordonnées sphériques. On
s'aidera de la propriété de superposition des vitesses.
M1.2. Mouvement cycloïdal.
On considère le mouvement d'une particule caractérisé par les équations cartésiennes paramétriques
suivantes:
x = r( t - sin t)
y = r( 1 - cos t) avec r constants.
z = 0
1) Déterminer l'allure de la trajectoire.
2) Déterminer les composantes cartésiennes de
v
et
a
.
M1.3. Mouvement hélicoïdal.
Soit l'hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations:
r = R z = h avec h et R constants.
Cette hélice est parcourue à la vitesse constante v par un point M.
1) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base cylindro-polaire.
2) Déterminer l’hodographe.
M1.4. Mouvement sur une spirale.
Un objet supposé ponctuel décrit, à vitesse angulaire constante, la courbe plane d'équation en coordonnées
polaires :
expra
où a est une constante
L'origine des dates est choisi lorsque l'objet se trouve au point r = a et = 0.
1) Déterminer l'allure de la courbe.
2) Déterminer l’expression de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires.
M1.5. Hodographe d'un mouvement parabolique
Soit un point M mobile dans le plan (Oxy). Son mouvement par rapport à un référentiel R est déterminé par:
Un vecteur accélération constant
y
a ae
Un vecteur vitesse initiale de valeur à t = 0,
o
v
et
,
xo
ev
Une position initiale : l'origine O du repère.
1) Déterminer, pour t > 0, la trajectoire et l'hodographe du mouvement.
2) Tracer les courbes pour
0 et 4

M1.6. Mouvements rectilignes d’accélération
n
a kv
.
Une particule M se déplace sur une droite x’Ox de vecteur unitaire
i
. A partir de l’instant t = 0, où elle
passera en O ( x = 0 ) avec une vitesse
o
v
= 20 m/s, on soumet la particule à une accélération négative,
proportionnelle à la puissance n-ième de la vitesse à chaque instant :
n
a kv i
où k et n sont des constantes
positives.
Pour chacun des trois cas n =1, n = 2, n = 4 :
 Ecrire en fonction de
o
v
et k les expressions de l a vitesse v(t), de l’abscisse x(t) et de la vitesse au
point d’abscisse x.
 A quelle vitesse et à quel instant la particule passera-t-elle à 150 m de l’origine O, si le module de
l’accélération à l’instant t = 0 vaut 2 m/s2 ?
M1.7. Accélération centrale.
Une particule est soumise a une accélération centrale, constamment dirigé vers le centre O du plan xOy et de
norme
n
o
r
akr
, où k, ro et n sont des constantes positives. On utilisera les coordonnées polaires : r = OP
et
,Ox OP
.
1) Comment faut-il choisir la vitesse initiale vo de la particule pour que sa trajectoire soit un cercle de
centre O, de rayon ro , décrit à la vitesse angulaire
o ?
2) Les conditions précédentes n’étant pas rigoureusement remplies, la particule décrit une orbite plane
qui s’écarte légèrement de l’orbite circulaire de rayon ro. On posera alors :
1 avec 1
o
OP r r
.
On admettra que la vitesse
v
reste pratiquement perpendiculaire à
OP
.
a) Etablir l’équation différentielle :
2
030n
b) Pour quelles valeurs de n le mouvement de la particule est-il stable ?
c) Pour n = 2, quel sera le mouvement de la particule ?