ESSAIA Année universitaire 2016

Année universitaire 2016-2017
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ESSAIA
Série d'exercices de cinématique du point matériel
Exercice 1:
Une particule se déplace le long de l’axe x′ox; sa position à chaque instant, est donnée par:
x(t) = 5t2 + 1 où x est en centimètres et t en secondes.
Calculer ses vitesses moyennes dans l’ intervalle de temps : a) 2s et 2.1s ; b) 2s et 2.01s ;
c) 2s et 2.001s ; d) 2s et 2.0001s.
Calculer la vitesse instantanée à l’instant 2s.
Exercice 2:
Le mouvement d'un corps M suivant l'axe x′Ox est défini par : x(t) = 2t 3 + 5t 2 + 5 (m).
1/- Déterminer la vitesse v(t) et l'accélération a(t) du corps en fonction de t.
2/- Trouver la position, la vitesse et son accélération au point t1 = 2s et t 2 = 3s.
3/- Déterminer la vitesse moyenne et l'accélération moyenne entre t1 et t 2 .
Exercice 3:
Une voiture A est arrêtée à un feu rouge .Le feu devient vert et A démarre. Au même moment,
une deuxième voiture B la dépasse, roulant à vitesse constante. Leurs courbes de vitesse en fonction
du temps sont représentées sur la même figure ci-dessous. En donnant xA(0s)= xB(0s)= 0m:
1/- Combien de temps la voiture A a-t-elle mis pour avoir la même vitesse que celle de B?
2/- A ce moment, à quelle distance en avant de la voiture A se trouve la voiture B?
3/- A quelle moment la voiture A rattrape t- elle la voiture B?
𝒗 (𝒌𝒎/𝒉)
𝒗𝑨
60
40
𝒗𝑩
20
𝒕(𝟏𝟎−𝟑 𝒉)
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Exercice 4:
Le graphe suivant représente le diagramme des vitesses d’un mobile se déplaçant sur une
trajectoire rectiligne
v(m/s)
2
1
0
-1
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
-2
1/- Tracer le graphe de l’accélération en fonction du temps t.
2/- Donner la nature du mouvement dans les différentes phases. Justifier
3/- Quelle est la distance parcourue par le mobile entre t=0s et t=5s?.
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4/- En donnant x(0s) =0m. Calculez les positions x(1s), x(3s).
5/- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t=1s et 3s.
6/- Donner l’équation horaire de v(t) dans l’intervalle 0s< 𝑡 <2s.
Exercice 5:
La figure suivante indique la coordonnée d'une particule selon l'axe x'Ox en fonction du
temps.
x(m)
2
1
t (s)
0
0
2
4
6
8
-1 8
-2
1/- Représenter sur un graphique la vitesse de la particule en fonction du temps.
2/- Représenter le vecteur vitesse aux instants t = 1,5s et t = 3s.
3/- Déterminer la distance parcouru entre t = 0s et t = 4s.
Exercice 6 :
A partir dudiagramme de l’accélération:
1- Déterminer v(t=2s) et v(t=6s)sachant que
v(t=0s) = 1m/s.
2- Tracer le diagramme de vitesse.
3- Donner la nature du mouvement dans les
différentes phases. Justifier
𝒂(𝒎𝒔−𝟐 )
2
𝟎
0
2
4
6
𝒕(𝒔)
−𝟐
Exercice 7 :
Soit un mobile M se déplaçant sur un plan (xoy). Ses coordonnées à l’instant t sont
𝑥 = 2𝑡
données par : {
𝑦 = 4𝑡(𝑡 − 1)
1- Déterminer l’équation de la trajectoire y = f(x).
2- Donner l’expression de la vitesse en fonction du temps puis calculer sa vitesse pour
t = 5s.
3-Déterminer les composantes cartésiennes de l’accélération puis son module |a⃗|.
4-Déterminer les composantes tangentielle et normale de l’accélération puis le rayon de
courbure lorsque t = 3s.
Exercice 8:
On donne ses cordonnées en fonction du temps d’un point matériel M:{
x = 2 sin(2t)
y = 2 cos(2t)
1- Déterminer l’équation de la trajectoire y = f(x). Que déduire.
2- Donner l’expression de la vitesse v en fonction du temps.
3- Déterminer les composantes tangentielle et normale de l’accélération puis déduire la
nature du mouvement.
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Exercice 9:
Un mobile 𝑴 est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et θ(t) dont les variations en
fonction du temps sont données par les graphes ci-dessous :
𝜽(𝒓𝒂𝒅)
r(m)
5
𝝅/𝟐
3
𝝅/𝟒
1
0
t(s)
2
4
6
t(s)
0
2
4
6
1- Tracer la trajectoire du mobile.
2- Représenter les vecteurs vitesse et accélération aux instants t = 1s et t = 4s.
Echelle : 2𝑐𝑚 → 1𝑚/𝑠 ; 1𝑐𝑚 → 0.1𝑚/𝑠 2 ;
3- Quelles sont les différentes phases du mouvement et quelle est la nature de chacune d’elle
entre t = 0s et t = 6s. Justifier.
Exercice 10:
Une particule se déplace sur une trajectoire circulaire. Ses abscisses sur le cercle sont données
par s(t) = t 3 + 2t 2 . Sachant que l’accélération est 16√2 ms −2 à l’instant t=2s, quel est le rayon du
cercle ?
Exercice 11:
Le vecteur position d'une particule M est donnée par les coordonnées polaires r(t) et θ(t) tel
r(t) = t/2
(m)
que: {
2
θ(t) = πt /2
(rad)
1- Représenter, à t = 1s, dans le repère (xOy) le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM.
Echelle : 1cm → 0.1m.
2- Déterminer les composantes radiale et transversale des vitesses v
⃗ r et v
⃗ θ pPuis
représenter le vecteur vitesse dans le repère (xOy) à t = 1s. Echelle : 1cm → 0.25m/s.
3- Déterminer les composantes radiale et transversale, a⃗r et a⃗θ ,de l'accélération.
2
On donne : ar = r̈ − r θ̇ ; aθ = 2 ṙ θ̇ + r θ̈
Exercice 12 :
Soit un mobile A, se déplaçant sur un axe x'Ox suivant la loi horaire :
x(t) = Rcos(wt + φ) ; R = 0.5m. Le mouvement est sinusoïdal d’amplitude R, de pulsation w
π
et de phasage φ; On suppose qu’à t = 0s, x(0s) = R et qu’à t = 2w s , la vitesse est égale à
π
- 2 m/s .
1- Calculer φ, la phase ,et w, la pulsation, à l’origine des temps. En déduire la période
T = 2π/w et la fréquence f = 1/T.
2- Etablir une relation entre x(t) et l’accélération a(t).
3- Représenter qualitativement sur une période T les graphes x(t), v(t) et a(t).
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