SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS

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SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS
1) Centre de masse et masse réduite du système .
Soient deux points matériels de masse m A et m B , situés en A et B.
Le centre de masse G est défini par m 
GAm 
GB = 0 avec 
GB−
GA = 
AB .
A
A
B
mB 
mA 
AB et 
GB =
AB .
m Am B
m A m B
mA mB
1
1
1
Par définition la masse réduite du système est µ =
ou bien
=

.
m A m B
µ mA mB
µ 
µ 
D'où 
GA =−
AB et 
GB =
AB .
mA
mB
On en déduit 
GA =−
(R)
2) Mouvement relatif .
mB
mA
(RA)

v
Soient v A et v B les vitesses de A et B, à la date t, par rapport à un
référentiel (R) quelconque.
B
G
B

vB
A
Le mouvement de B dans le référentiel R A  en translation avec la
vitesse v A par rapport à (R) est appelé mouvement relatif de B.

vA
Vitesse d ' entraînement de B: v e = v A  pas de rotation de R A  par rapport à R.
Accélération d 'entraînement : 
a e = a A , accélération complémentaire : 
ac = 
0.
d
AB
Vitesse relative de B: v = 
v B− 
vA
⇒ 
v=
dt
Accélération relative : a = a B− 
aA
d v d 2 
AB

a=
=
2
dt
dt
3) Grandeurs cinétiques dans le référentiel propre (R*) .
a . Quantité de mouvement .
d
GA
d
AB
d
GB
d
AB
p*A = m A 
v *A = m A
=−µ
; 
p *B = m B v*B = m B
=µ
dt
dt
dt
dt
b . Moment cinétique .
µ 
µ 
* = 
L
GA∧p*A 
GB∧ 
p *B = −
AB∧−µ v 
AB∧µ 
v
mA
mB
c. Énergie cinétique .
*2
*2
1
1 pA pB
1 µ2 v 2 µ2 v 2
*
*2
*2
Ec =  m A v A m B v B  =

=

2
2 mA mB
2 mA
mB
d .Conclusion : particule réduite .

 


p*B = −p*A = µ 
v

L* = 
AB∧µ 
v
E*c =
1
µ v2
2
C'est un point fictif M de masse égale à la masse réduite µ et tel que 
GM = 
AB .


d GM d AB
d v
*
Dans R , ce point a la vitesse v =
=
et l ' accélération a =
.
dt
dt
dt
Donc le mouvement de la particule réduite dans (R*) est identique au mouvement relatif de B par rapport à A.
Le moment cinétique et l'énergie cinétique de la particule réduite sont constamment égaux à ceux du
système dans (R*).
Connaissant le mouvement de M, on en déduit ceux de A et B par deux homothéties:
µ 
µ 

GA =−
GM et 
GB =
GM.
mA
mB
Si m A ≫ m B alors µ ≈ m B , 
GB ≈ 
GM et 
GA ≈ 
0 : A est pratiquement confondu avec G, donc A est
immobile dans (R*), et B est confondu avec la particule réduite M.
1
4) Système isolé .
Les deux points A et B ne subissent pas d'autre force que leur interaction.
 v est un vecteur constant.
Donc m A m B  aG = 
F ext = 0,
G
Le centre de masse G a un mouvement rectiligne uniforme et (R*) est galiléen.
a . Relation fondamentale .
d
pB
d
v
Dans R * , f B = f *B =
=µ
= µ a .
dt
dt
Le mouvement de la particule réduite M est celui d'un point
matériel de masse µ soumis à la force, f colinéaire à
M
B
A
B
f
B
G

AB donc à 
GM.

On dit que f B est une force centrale et l'accélération 
a
est également centrale.
z
b .Théorème du moment cinétique .
*
d
L


*
=M
G,ext = 0 donc L est un vecteur constant .
dt
Or 
L* = 
AB∧µ 
v =
GM∧µ 
v ⇒ le rayon vecteur 
GM
*

toujours perpendiculaire à L est dans un plan fixe.
A
La trajectoire est plane .
GM
ρ=
θ

L*
M
B
G

fB
x
d
GM
* = 
L
GM∧µ
= ρ eρ∧µ  ρ̇ eρρ θ̇ eθ = µ ρ2 θ̇ ez .
dt
2
2
La quantité ρ θ̇ est donc constante au cours du mouvement: ρ θ̇ = C.
Cette relation est dite ''intégrale première du moment cinétique'' parce qu'elle ne contient que la dérivée
première de θ.
On retrouve ce résultat à partir de l'accélération, centrale c'est-à-dire radiale, donc de composante
2
1 d  ρ θ̇
orthoradiale nulle: a θ = ρ θ̈2 ρ̇ θ̇ =
= 0  ρ2 θ̇ = C.
ρ dt
M'
c. Interprétation géométrique: loi des aires .
Pendant la durée dt, le rayon vecteur 
GM tourne de d θ et
balaie la surface dS du triangle curviligne GMM':
dθ
1
1 2
dS C
ρ
dS = ρ ρ d θ = ρ d θ 
= .
2
2
dt
2
G
dS
La vitesse aréolaire
est constante, égale à la moitié de la constante des aires C.
dt
ρ dθ
M
x
D'où la loi des aires: le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux .
Conséquences: • la vitesse angulaire θ̇ a toujours le même signe, le point M parcourt sa trajectoire toujours
dans le même sens.
• ∣ θ̇ ∣ augmente quand ρ diminue c'est-à-dire quand M se rapproche de G.
La valeur absolue de la vitesse angulaire est maximale au péricentre , point de la trajectoire le plus proche de
G, et minimale à l 'apocentre .
2
d. Énergie .
1 2
µv .
2
Si la force d'interaction entre les deux particules dérive d'une énergie potentielle Ep , ne dépendant que de la
distance entre particules, l'énergie mécanique totale du système est égale à E * = E cE p .
2
1
1
1
1 C
E* = µ v 2 E p = µ ρ̇2 ρ2 θ̇2 E p avec ρ2 θ̇ = C  E* = µ ρ̇2  µ 2 E p ρ.
2
2
2
2 ρ
*
Or le système étant isolé, son énergie mécanique totale E est constante.
L'équation précédente, dite ''intégrale première de l'énergie'', permet théoriquement de déterminer ρt, puis
2
en reportant dans l'intégrale première du moment cinétique ρ θ̇, on obtient θt .
1 C2
Pour résoudre cette équation, on sépare les variables en remarquant que la quantité µ 2 E p ρ ne
2 ρ
dépend que de ρ et s'appelle énergie potentielle effective E p eff .
Dans (R*) l'énergie cinétique du système vaut E c =
2
D'où ρ̇ =

2 *
dρ
2 *
E −E peff  
=±
E −E peff  ou
µ
dt
µ

dρ
2
=±
dt.
µ
 E −E peff
*
e. Relations de Binet.
Ces deux relations expriment les vecteurs vitesse et accélération de la particule réduite en fonction de u =
1
ρ
et de ses dérivées par rapport à θ, u 'θ et u ''θ .
1
d
u'
u'
u dθ
v = ρ̇ eρρ θ̇ eθ avec ρ̇ =
= −θ̇ 2θ ; v = θ̇ − 2θ eρu eθ .
d θ dt
u
u
2
2
La relation ρ θ̇ = C s' écrit aussi θ̇ = C u d 'où 
v = C−u 'θ eρu eθ.
d u 'θ
d v
du 
On en déduit 
a=
=C −
eρ−u 'θ θ̇ eθ 
e −u θ̇ eρ .
dt
dt
dt θ
d u 'θ
du 
''
2 2
''
a = C −
θ̇ eρ−u 'θ θ̇ eθ 
θ̇ eθ −u θ̇ eρ =−C θ̇  u u θ  eρ ⇒ 
a = −C u  uuθ  eρ
dθ
dθ
Connaissant la force d'interaction f(u), la relation fondamentale donne l'équation différentielle de la
f u 
trajectoire : 
f u  = f u  eρ = µ a ⇒ u ''θ u =−
d 'où la trajectoire u θ.
µ C2 u 2
Réciproquement, connaissant la trajectoire u θ, on en déduit a puis la force d'interaction f u .
___________________________________________________________________________________________







 Deux particules en interaction sont distantes de r.
Déterminer la loi de force entre ces particules si la particule réduite a une trajectoire dont l'équation en
coordonnées polaires est:
θ
• r = a e . Déterminer la vitesse relative en fonction de r.
• r = a cos θ.
θ
.
2
p
•r=
, p  0, e  1.
1e cosθ
a
•r=
.
cosθ
• r = a th
3
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