SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS

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SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS
1)Centre de masse et masse réduite du système .
Soient deux points matériels de masse m Aet mB, situés en A et B.
Le centre de masse G est défini par mA GAmB GB = 0 avec GB− GA = AB.
On en déduit GA =− mB
mAmB
AB et GB =mA
mAmB
AB.
Par définition la masse réduite du système est µ =mAmB
mAmB
ou bien 1
µ=1 mA
1
mB
.
D'où GA =− µ
mA
AB et GB =µ
mB
AB.
2) Mouvement relatif .
v vB
Soient  vAet  vB les vitesses de A et B, à la date t, par rapport à un
référentiel (R) quelconque.
Le mouvement de B dans le référentiel RAen translation avec la  vA
vitesse  vA par rapport à (R) est appelé mouvement relatif de B.
Vitesse d' entraînement de B:  ve= vApas de rotation de RApar rapport à R.
Accélération d 'entraînement :  ae= aA, accélération complémentaire :  ac= 0 .
Vitesse relative de B: 
v= vB− vA
Accélération relative:  a= aB− aA
⇒ v=d
AB
dt 
a=d
v
dt =d2
AB
dt2
3) Grandeurs cinétiques dans le référentiel propre (R*) .
a. Quantité de mouvement .
pA
*=mA
vA
*=mA
d GA
dt =−µd
AB
dt ;
pB
*=mB
vB
*=mB
d GB
dt =µd
AB
dt 
pB
*= −
pA
*=µ
v
b. Moment cinétique.
L*= GA∧ pA
*
GB∧ pB
*= − µ
mA
AB∧−µ v µ
mB
AB∧µ v L*= AB∧µ v
c. Énergie cinétique.
Ec
*=1
2
mAvA
*2mBvB *2
=1
2
pA
*2
mA
pB
*2
mB
=1
2
µ2v2
mA
µ2v2
mB
Ec
*=1
2µ v2
d.Conclusion: particule réduite .
C'est un point fictif M de masse égale à la masse réduite µ et tel que GM = AB.
Dans R*, ce point a la vitesse  v=d
GM
dt =d
AB
dt et l ' accélération 
a=d
v
dt .
Donc le mouvement de la particule réduite dans (R*) est identique au mouvement relatif de B par rapport à A.
Le moment cinétique et l'énergie cinétique de la particule réduite sont constamment égaux à ceux du
système dans (R*).
Connaissant le mouvement de M, on en déduit ceux de A et B par deux homothéties:
GA =− µ
mA
GM et GB =µ
mB
GM.
Si mA≫mBalors µ ≈mB, GB ≈ GM et GA ≈ 0 : A est pratiquement confondu avec G, donc A est
immobile dans (R*), et B est confondu avec la particule réduite M.
A
B
G
mA
mB
(R) (RA)
A
B

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4) Système isolé .
Les deux points A et B ne subissent pas d'autre force que leur interaction.
Donc mAmB aG= Fext = 0,  vGest un vecteur constant.
Le centre de masse G a un mouvement rectiligne uniforme et (R*) est galiléen.
a. Relation fondamentale .
Dans R*, fB= fB
*=d
pB
dt =µd
v
dt =µ
a .
Le mouvement de la particule réduite M est celui d'un point  fB
matériel de masse µ soumis à la force,  fBcolinéaire à
AB donc à GM.
On dit que  fB est une force centrale et l'accélération  a
est également centrale.
b.Théorème du moment cinétique.
d
L*
dt =
MG, ext = 0 donc  L*est un vecteur constant.  fB
Or  L*= AB∧µ v= GM∧µ v⇒le rayon vecteur GM  L*
toujours perpendiculaire à  L*est dans un plan fixe.
La trajectoire est plane.
L*= GM∧µd
GM
dt =ρ
eρ∧µ˙ ρ eρρ˙ θ eθ = µρ2˙ θ ez.
La quantité ρ2˙ θ est donc constante au cours du mouvement: ρ2˙ θ=C.
Cette relation est dite ''intégrale première du moment cinétique'' parce qu'elle ne contient que la dérivée
première de θ.
On retrouve ce résultat à partir de l'accélération, centrale c'est-à-dire radiale, donc de composante
orthoradiale nulle: aθ=ρ¨ θ2˙ρ˙ θ=1
ρd
ρ2˙ θ
dt =0ρ2˙
θ=C.
c. Interprétation géométrique: loi des aires.
Pendant la durée dt, le rayon vecteur GM tourne de d θet
balaie la surface dS du triangle curviligne GMM':
dS =1
2ρ ρdθ=1 2ρ2dθdS dt =C 2.
La vitesse aréolaire dS
dt est constante, égale à la moitié de la constante des airesC.
D'où la loi des aires: le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux .
Conséquences: •la vitesse angulaire ˙ θ a toujours le même signe, le point M parcourt sa trajectoire toujours
dans le même sens.
•
∣
˙
θ
∣
augmente quand ρ diminue c'est-à-dire quand M se rapproche de G.
La valeur absolue de la vitesse angulaire est maximale au péricentre , point de la trajectoire le plus proche de
G , et minimale à l 'apocentre.
G
M
M'
x
ρ
ρ dθ
dθ
A
B
G
M
θ
A
B
x
z
G
M
ρ = GM

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d. Énergie .
Dans (R*) l'énergie cinétique du système vaut Ec=1
2µ v2.
Si la force d'interaction entre les deux particules dérive d'une énergie potentielle Ep, ne dépendant que de la
distance entre particules, l'énergie mécanique totale du système est égale à E*=EcEp.
E*=1
2µ v2Ep=1 2µ ˙ρ2ρ2˙
θ2Epavec ρ2˙ θ=CE*=1
2µ˙ρ21 2µC2
ρ2Epρ.
Or le système étant isolé, son énergie mécanique totale E*est constante.
L'équation précédente, dite ''intégrale première de l'énergie'', permet théoriquement de déterminer ρt, puis
en reportant dans l'intégrale première du moment cinétique ρ2˙ θ, on obtient θt.
Pour résoudre cette équation, on sépare les variables en remarquant que la quantité 1
2µC2
ρ2Epρne
dépend que de ρ et s'appelle énergie potentielle effective Ep eff .
D'où ˙ ρ2=2
µE*−Epeff   dρ dt =±
2
µE*−Epeff ou dρ
E*−Epeff
= ±
2
µdt.
e.Relations de Binet.
Ces deux relations expriment les vecteurs vitesse et accélération de la particule réduite en fonction de u =1
ρ
et de ses dérivées par rapport à θ, u 'θet uθ
'' .
v= ˙ρ eρρ˙ θ eθavec ˙ρ=
d
1
u
dθdθ
dt =−˙
θu 'θ
u2;
v=˙ θ −u 'θ
u2
eρu eθ .
La relation ρ2˙ θ=C s' écrit aussi ˙ θ=C u2d ' où  v=C−u'θ eρu eθ.
On en déduit  a=d
v
dt =C
−d u'θ
dt 
eρ−u 'θ˙ θ eθdu
dt 
eθ−u˙ θ eρ .
a=C −du'θ
dθ˙
θ eρ−u 'θ˙ θ eθdu
dθ˙
θ eθ−u˙ θ eρ =−C˙ θ uuθ
''
eρ⇒ a= −C2u2 uuθ
''
eρ
Connaissant la force d'interaction f(u), la relation fondamentale donne l'équation différentielle de la
trajectoire :  fu = fu eρ=µ a⇒uθ
'' u=− fu
µ C2u2d 'où la trajectoire u θ.
Réciproquement, connaissant la trajectoire u θ, on en déduit  a puis la force d'interaction  fu.
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Deux particules en interaction sont distantes de r.
Déterminer la loi de force entre ces particules si la particule réduite a une trajectoire dont l'équation en
coordonnées polaires est:
•r=a eθ. Déterminer la vitesse relative en fonction de r.
•r=a cos θ.
•r=a th θ
2.
•r=p
1e cosθ, p 0, e 1.
•r=a
cosθ.