Chapitre 6 – Les Matrices 1 Les n

MVA101 Analyse et calcul matriciel – Cours n◦10 Jacques V´ elu (CNAM)
Chapitre 6 – Les Matrices
1 Les n-uples
1. D´ efinition
Iun couple, c’est 2nombres rang´ es dans un certain ordre (2 ; 7)
Iun triplet c’est 3nombres rang´ es dans un certain ordre (8 ; −1 ; 6)
Iun quadruplet c’est pareil avec 4nombres (0 ; 3 ; 5 ; 3)
D’une fac¸on g´ en´ erale, nnombres a1,a2,...,an(distincts ou confondus), num´ erot´ es de 1 ` an, consti-
tuent un n-uple.
Les nombres a1,a2,...,ans’appellent les coefficients du n-uple et nest sa longueur. Le n-uple
(0 ; 0 ; . . . ; 0) dont tous les coefficients sont nuls, s’appelle le n-uple nul ; on le note O, ou On
quand on veut pr´ eciser sa longueur.
Si nest fix´ e, l’ensemble des n-uples ` a coefficients r´ eels est not´ eRnet l’ensemble des n-uples ` a
coefficients complexes est not´ eCn.
2. Op´ erations
Il est possible d’additionner deux n-uples :
α=(a1;a2;. . . ;an)
β=(b1;b2;. . . ;bn)
α+β=(a1+b1;a2+b2;. . . ;an+bn)
On peut multiplier un n-uple par un nombre :
α=(a1;a2;. . . ;an)⇒xα=(xa1;xa2;. . . ;xan)
Le produit scalaire de deux n-uples, est le nombre :
< α , β >=a1b1+a2b2+· · · +anbn
Propri´et´es :a+b=b+acommutativit´
e
a+(b+c)=(a+b)+cassociativit´ e
a+O=a O est ´ el´ ement neutre
α(βa)=(α β)aassociativit´ e
α(a+b)=αa+αbdistributivit´ e` a gauche
(α+β)a=αa+βadistributivit´ e` a droite
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2 Les matrices
1. Les matrices sont une g´ en´ eralisation des n-uples :
•un n-uple c’est des nombres rep´ er´ es par 1indice,
•une matrice c’est des nombres rep´ er´ es par 2indices.
On se donne deux entiers m>1et n>1. Une matrice de dimensions m ×n, c’est mn nombres
(distincts ou confondus), rep´ er´ es par deux indices iet j, le premier variant de 1 ` am, le second de
1` an.
Ces mn nombres s’appellent les coefficients de la matrice. Quand ils sont r´ eels, on a une matrice
r´eelle, quand il sont complexes, on a une matrice complexe.
On note respectivement Matm,n(R)et Matm,n(C)l’ensemble des matrices de dimension m×n` a
coefficients r´ eels et ` a coefficients complexes.
2. On repr´ esente une matrice m×nen dessinant un tableau rectangulaire comprenant m lignes
num´ erot´ ees de haut en bas de 1 ` amet n colonnes num´ erot´ ees de gauche ` a droite de 1 ` an.
Le coefficient de la matrice Aqui se trouve ` a l’intersection de la ligne portant le num´ ero iet de la
colonne portant le num´ ero jest not´ eAi,j:
Exemple : Une matrice 2 ×3 :
A= A1,1A1,2A1,3
A2,1A2,2A2,3!
Deux matrices sont ´egales quand elles ont les mˆ emes dimensions et les mˆ emes coefficients.
´
Ecrire l’´egalit´e de deux matrices m ×n revient `a ´ecrire mn ´egalit´es.
3. On appelle matrice ligne toute matrice de dimensions 1 ×net matrice colonne toute matrice de
dimensions m×1.
Une matrice ligne n’a qu’une seule ligne, une matrice colonne n’a qu’une seule colonne.
Une matrice 1 ×1 est un nombre.
On peut repr´ esenter un n-uple soit au moyen d’une matrice ligne, soit au moyen d’une matrice
colonne, cela d´ epend des besoins.
Exemple : Le triplet (2; −1; 7) peut ˆ etre repr´ esent´ e par : 2−1 7ou par 
2
−1
7
.
3 Op´erations sur les matrices
1. On peut additionner des matrices, ` a condition qu’elles aient les mˆemes dimensions , et on obtient
pour somme une matrice qui a les mˆ emes dimensions : pour cela, on ajoute entre eux les coefficients qui
occupent la mˆeme position.
Si S=A+B, alors : Si,j=Ai,j+Bi,j
Exemple : 132
014!+ 325 943!= 4 5 7 9 5 7!
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2. La multiplication scalaire ou multiplication d’une matrice par un nombre, se fait en multipliant tous
les coefficients de la matrice par le nombre.
B=u A ⇐⇒ Bi,j=u Ai,j
Exemple : 10 032
211!= 0 30 20 20 10 10!
3. On appelle matrice nulle de dimensions m×n, et on note Om,n, la matrice de dimensions m×n
ayant tous ses coefficients nuls.
Exemple :O2,3= 000
000!
Quand il n’y a pas de risque de confusion entre plusieurs matrices nulles de dimensions diff´ erentes
on ´ ecrit Oau lieu de Om,n.
4. On note −Aau lieu de (−1)A; c’est la matrice qui se d´ eduit de Aen changeant le signe des
coefficients ; on l’appelle l’oppos´ee de A.
5. Propri´et´es :A+B=B+A
A+O=A
0A=O
u(A+B)=u A +u B
A+(B+C)=(A+B)+C
A+(−A)=O
u(v A)=(u v)A
(u+v)A=u A +v A
6. Produit : La multiplication de la matrice Apar la matrice Bdonne une matrice not´ ee AB.
Pour pouvoir calculer AB,il faut que le nombre de colonnes de A soit ´egal au nombre de lignes de B ; la
matrice AB a le mˆ eme nombre de lignes que Aet le mˆ eme nombre de colonnes que B.
Si Aest de dimensions m×net Bde dimensions n×p, leur produit est la matrice P=AB de
dimension m×pqui a pour coefficients :
Pi,j=Ai,1B1,j+Ai,2B2,j+· · · +Ai,nBn,j
•Liest le n-uple des coefficients de la ligne i dans A,
•Cjest le n-uple des coefficients de la colonne j dans B,
Pi,j=<Li,Cj>
Li
C
j
P L C
ij i j
= < >,
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Exemple :A= 1 2 3
2 0 4!et B=
4 2 5 0
1 1 2 6
0 3 0 3
1 2 3
2 0 4
4
1
0
2
1
3
5
2
0
0
6
3
13
1 2 3
2 0 4
4
1
0
2
1
3
5
2
0
0
6
3
6 13 9 21
8 16 10 12
⇒AB = 6 13 9 21
8 16 10 12!
7. La transpos´ee d’une matrice Ade dimensions m×nest la matrice t A, de dimensions n×m, d´ efinie
par : (t
A)i,j=Ai,j
Les lignes de t Asont les colonnes de Aet les colonnes de t Asont les lignes de A:
A= 1 2 3 4
0 7 5 9!⇐⇒ t
A=
1 0
2 7
3 5
4 9
tt
A=At(uA)=ut At(A+B)=t A+t B
tu1A1+u2A2+· · · +upAp=u1t
A1+u2t A2+· · · +upt Ap
t(AB)=t
Bt AtA1A2· · · Ap−1Ap=t Apt Ap−1· · · t A2t A1
A(BC)=(AB)C u (AB)=(u A)B=A(u B)
A(B+C)=AB +AC (A+B)C=AC +BC
8. Et la commutativit´ e ? La multiplication des nombres est commutative (xy =yx), mais celle des
matrices ne l’est pas en g´ en´ eral :
•si Aest de dimensions m×net si Bde dimension n×p, on peut calculer AB mais on ne peut pas
calculer BA, sauf si mest ´ egal ` ap.
A
B
m
n
n
p
A
m
n
B
n
p
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•si m=p, la matrice AB est de dimension m×met la matrice BA est de dimension n×n:
A
m
n
B
n
m
AB
A
m
n
B
n
m
BA
Le seul cas o ` u il est raisonnable de se demander si AB =BA, c’est quand AB et BA existent toutes
les deux et quand elles ont les mˆ emes dimensions, donc quand m=n=p.
AB
A
B
BA
A
B
4 Matrices carr´ees
1. Une matrice carr´ee d’ordre m est une matrice de dimensions m×m.
On note Matm(R)l’ensemble des matrices carr´ ees d’ordre m` a coefficients r´ eels et Matm(C)l’en-
semble des matrices carr´ ees d’ordre m` a coefficients complexes.
L’addition de deux matrices carr´ ees d’ordre m, et leur multiplication, est toujours possible et
donnent des matrices carr´ ees d’ordre m.
•Mat1(R) c’est R,Mat1(C) c’est C,
•Matm(R) est une g´ en´ eralisation de R,
•Matm(C) est une g´ en´ eralisation de C.
2. Si Aet Bsont des matrices carr´ ees d’ordre m, les matrices AB et BA existent toutes les deux ;
sont-elles ´ egales ?
R´ eponse : Il peut arriver que AB =BA, il n’y a qu’` a prendre A=B, ou m=1, mais quand m>1 ce
n’est pas vrai en g´ en´ eral.
Exemple :
0 1
0 0! 0 0 1 0!= 1 0 0 0!
A B AB
0 0
1 0! 0 1 0 0!= 0 0 0 1!
B A BA
⇒AB ,BA
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