CCP Maths 2 MP 2011 — Corrigé

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CCP Maths 2 MP 2011 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Didier Lesesvre (ENS Cachan) ; il a été relu par
Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet est composé d’un exercice et d’un problème, tous deux d’algèbre.
L’exercice porte sur l’étude du commutant d’une matrice particulière. Il est l’occasion de revoir la méthode de trigonalisation d’une matrice et d’appliquer quelques
résultats de la théorie de la réduction des endomorphismes.
Le problème, quant à lui, mène à la preuve de plusieurs résultats puissants et
utiles d’algèbre linéaire (décomposition de Choleski, réduction simultanée) et les
met en œuvre pour obtenir des inégalités très générales portant sur les traces et
les déterminants de certaines classes de matrices. Il est constitué de trois parties,
qui peuvent être traitées sans encombre de manière indépendante en admettant les
résultats des questions précédentes, qui sont tous clairement énoncés dans le sujet.
Plus précisément :
• La première partie est une introduction regroupant plusieurs résultats sur les
matrices symétriques, qui sont utiles dans les deux parties suivantes. On y rencontre en particulier l’idée qui consiste, pour toute matrice M, à considérer t MM
qui est symétrique positive. Les résultats sur les matrices positives induisent,
par ce procédé, des propriétés valables pour toutes les matrices.
• La deuxième partie est dédiée au théorème de réduction simultanée et à son utilisation pour obtenir des inégalités entre déterminants de matrices symétriques.
• La dernière partie porte sur la décomposition de Choleski. Il est facile de prouver
que pour toute matrice T inversible, t TT est une matrice symétrique définie
positive. Le théorème de Choleski énonce une réciproque : toute matrice symétrique définie positive peut s’écrire sous cette forme. Le sujet propose une preuve
de l’unicité de cette décomposition, sa mise en application sur un exemple
concret de matrice, l’écriture d’un algorithme calculant cette décomposition
pour des matrices de taille 3 et une preuve d’une inégalité d’Hadamard.
Ce sujet aborde des thèmes intéressants et profonds, qui aboutissent à des résultats
importants. Il reste cependant très abordable car les raisonnements à suivre sont
décomposés en détail par l’énoncé. Il demande toutefois une bonne maîtrise des techniques de réduction et une bonne compréhension du cours sur les formes quadratiques.
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Indications
Exercice
1 Vérifier simplement le caractère non vide et la stabilité par combinaison linéaire.
Les plus malins peuvent remarquer que C(A) est le noyau d’un endomorphisme.
2 On cherche à prouver que A est semblable à une matrice triangulaire supérieure,
c’est-à-dire que l’on cherche à la trigonaliser. Appliquer les méthodes habituelles.
3 Une matrice M qui commute avec T stabilise les sous-espaces propres de T.
4 Il s’agit de l’application de changement de base. Vérifier à la main qu’elle est
linéaire et bijective. Deux espaces isomorphes ont même dimension.
5.a S’il existe un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à 2, alors il est de
degré 1 ou 2. Prouver que dans chacun des cas c’est impossible.
5.b L’une des inclusions est évidente. On conclut par un argument de dimension.
5.c Déterminer la dimension de l’espace des polynômes en A en fonction du degré
de son polynôme minimal.
Problème
1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale. Écrire la définition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres.
2 Se servir de l’inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème.
3.a Prouver la symétrie et la positivité séparément, en revenant aux définitions.
3.b Appliquer à la matrice t MM le résultat obtenu à la question 2.
4.a Écrire le produit scalaire canonique dans la base B ′ .
4.b La matrice C est symétrique réelle dans B ′ : appliquer le théorème spectral.
4.c Conclure à l’aide de ce qui précède : P = t (RQ)−1 .
4.d Trouver un changement de coordonnées simplifiant l’expression de la forme
quadratique associée à B.
5.a Appliquer la réduction simultanée à A et B, puis réécrire det(A + B) en gardant
à l’esprit que le déterminant d’un produit est le produit des déterminants.
5.b Prouver que la somme est symétrique positive en revenant aux définitions.
Si l’on n’est pas dans le cas précédent, c’est que A et B ne sont pas inversibles :
elles ont donc un déterminant nul.
6.a Développer à l’aide de la réduction simultanée.
6.b Se servir de la concavité du logarithme népérien.
6.c Conjuguer les deux questions qui précèdent pour obtenir le résultat.
1
7.a Si A est symétrique positive, que peut-on dire de An = A + In ?
n
7.b Prendre deux suites de matrices symétriques définies positives convergeant respectivement vers A et B, et leur appliquer l’inégalité donnée au début de la
question 7.
8.a Prouver que T1 T2 −1 est triangulaire supérieure et orthogonale, ainsi que sa
transposée. En déduire qu’elle est diagonale. Conclure à l’aide de l’orthogonalité.
8.b Revenir à la définition du produit matriciel et écrire explicitement l’équation
à résoudre.
9 Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
10.a Appliquer la décomposition de Choleski.
10.b Utiliser le résultat précédent avec la matrice symétrique définie positive t MM.
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Exercice
Commutant d’une matrice
1 Le commutant C(A) de A est l’ensemble des matrices qui commutent avec A.
Prouvons qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de M3 (R). Pour commencer, il est
non vide car il contient la matrice nulle. On établit « manuellement » la stabilité par
combinaison linéaire en vérifiant que si deux matrices M et N commutent avec A,
il en va de même de leurs combinaisons linéaires : si λ est un réel, alors
(λM + N)A = λMA + NA
= λAM + AN
(λM + N)A = A(λM + N)
(MA = AM, NA=AN)
ce qui signifie que λM + N est également dans C(A).
C(A) est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
On peut remarquer, plus simplement, que le commutant de A est le noyau
de l’application linéaire M 7→ AM − MA, c’est donc un sous-espace vectoriel.
2 Il s’agit du problème de trigonalisation d’une matrice. Pour ce faire, on commence
par calculer le polynôme caractéristique de A pour en déduire ses valeurs propres :
χA (X) = det(A − X I3 )
1 − X
4
−2 6 − X −3 = 0
−1
4
−X
1 − X
4
3 − X
= 0
6 − X 3 − X
−1
4
3 − X
1 − X
= (3 − X) 0
−1
2 − X
= (3 − X) 0
−1
(C3 ← C1 + C2 + C3 )
4
1
6 − X 1
4
1
0
0
6 − X 1
4
1
1
0
= (3 − X)(2 − X) 0 6 − X
−1
4
6 − X
= (3 − X)(2 − X) 4
χA (X) = (3 − X)(2 − X)2
1
1
(multilinéarité)
(L1 ← L1 − L3 )
0
1
1
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(multilinéarité)
(développement L1 )
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La matrice A admet donc 2 et 3 comme valeurs propres. La valeur propre 3 est de
multiplicité 1 dans le polynôme caractéristique, donc le sous-espace propre associé
à la valeur propre 3 est de dimension 1. Quant à la valeur propre 2, elle peut être
associée à un sous-espace propre de dimension 1 ou 2.
Recherchons des bases de vecteurs propres pour les deux espaces propres en
résolvant les systèmes d’équations associés. Commençons par trouver un vecteur de
la droite propre associée à 3 :

 x + 4y − 2z = 3x
6y − 3z = 3y avec X = t (x y z)
AX = 3X ⇐⇒

−x + 4y
= 3z

 4y − 2z = 2x
⇐⇒
3y − 3z = 0

4y − 3z = x

z=x

y=z
⇐⇒
L1 ← L1 − L3

−x + 4y = 3z
AX = 3X
⇐⇒
x=y=z
La droite propre recherchée est donc celle des vecteurs ayant les trois mêmes coordonnées. En particulier, le vecteur
t
e1 = 1 1 1
est une base de la droite propre correspondant à la valeur propre 3. Raisonnons
de même pour la valeur propre 2 :

 4y − 2z = x
4y − 3z = 0
AX = 2X ⇐⇒

4y − 2z = x

x = 4y − 2z

⇐⇒
4y = 3z

−x + 4y = 2z
4y = 3z
AX = 2X ⇐⇒
x =z
On obtient un espace propre de dimension 1 associé à la valeur propre 2, engendré par
t
e2 = 4 3 4
Complétons ce système de deux vecteurs en une base en choisissant un troisième
vecteur. Notons, en toute généralité
t
e3 = x y z
Pour que la matrice A soit semblable à la matrice T, on veut que Ae3 = 2e3 + e2 :

 x + 4y − 2z = 2x + 4
6y − 3z = 2y + 3
Ae3 = 2e3 + e2 ⇐⇒

−x + 4y
= 2z + 4
x = 4y − 2z − 4
⇐⇒
4y = 3z + 3
x = z−1
Ae3 = 2e3 + e2 ⇐⇒
4y = 3(z + 1)
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