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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/17
Indications
Exercice
1 Vérifier simplement le caractère non vide et la stabilité par combinaison linéaire.
Les plus malins peuvent remarquer que C(A) est le noyau d’un endomorphisme.
2 On cherche à prouver que Aest semblable à une matrice triangulaire supérieure,
c’est-à-dire que l’on cherche à la trigonaliser. Appliquer les méthodes habituelles.
3 Une matrice Mqui commute avec Tstabilise les sous-espaces propres de T.
4 Il s’agit de l’application de changement de base. Vérifier à la main qu’elle est
linéaire et bijective. Deux espaces isomorphes ont même dimension.
5.a S’il existe un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à 2, alors il est de
degré 1 ou 2. Prouver que dans chacun des cas c’est impossible.
5.b L’une des inclusions est évidente. On conclut par un argument de dimension.
5.c Déterminer la dimension de l’espace des polynômes en Aen fonction du degré
de son polynôme minimal.
Problème
1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale. Écrire la défi-
nition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres.
2 Se servir de l’inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème.
3.a Prouver la symétrie et la positivité séparément, en revenant aux définitions.
3.b Appliquer à la matrice tMM le résultat obtenu à la question 2.
4.a Écrire le produit scalaire canonique dans la base B′.
4.b La matrice Cest symétrique réelle dans B′: appliquer le théorème spectral.
4.c Conclure à l’aide de ce qui précède : P = t(RQ)−1.
4.d Trouver un changement de coordonnées simplifiant l’expression de la forme
quadratique associée à B.
5.a Appliquer la réduction simultanée à Aet B, puis réécrire det(A + B) en gardant
à l’esprit que le déterminant d’un produit est le produit des déterminants.
5.b Prouver que la somme est symétrique positive en revenant aux définitions.
Si l’on n’est pas dans le cas précédent, c’est que Aet Bne sont pas inversibles :
elles ont donc un déterminant nul.
6.a Développer à l’aide de la réduction simultanée.
6.b Se servir de la concavité du logarithme népérien.
6.c Conjuguer les deux questions qui précèdent pour obtenir le résultat.
7.a Si Aest symétrique positive, que peut-on dire de An= A + 1
nIn?
7.b Prendre deux suites de matrices symétriques définies positives convergeant res-
pectivement vers Aet B, et leur appliquer l’inégalité donnée au début de la
question 7.
8.a Prouver que T1T2
−1est triangulaire supérieure et orthogonale, ainsi que sa
transposée. En déduire qu’elle est diagonale. Conclure à l’aide de l’orthogonalité.
8.b Revenir à la définition du produit matriciel et écrire explicitement l’équation
à résoudre.
9 Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
10.a Appliquer la décomposition de Choleski.
10.b Utiliser le résultat précédent avec la matrice symétrique définie positive tMM.
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