Exercice 1 - Dimension K

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Terminale STI-GE  [e-mail]
Chap 1. Les nombres complexes
Le programme :
Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en place en première. L'objectif est
de compléter cet acquis pour fournir des outils utilisés en algèbre, en trigonométrie et en sciences phy-
siques. Les élèves doivent connaître les notations a + bi et a + bj cette dernière étant utilisée en électricité.
Le temps consacré à cette partie du programme doit être plus important dans les spécialités « génie élec-
tronique » et « génie électrotechnique » où une interprétation géométrique de quelques transformations
complexes élémentaires est introduite en vue des applications en électronique.
Module, module d'un produit, inégalité triangu-
laire. Argument d'un nombre complexe non nul,
notation .
Relation ©=+©, lien avec les for-
mules d'addition ; formule de Moivre.
Formules d'Euler : cos=+
2 ; sin=
2
Interprétation géométrique de + et
.
Les élèves doivent savoir interpréter géométri-
quement le module de b a. Toute autre formula-
tion de propriétés géométriques à l'aide de
nombres complexes doit faire l'objet d'indica-
tions.
Ceci n'est au programme que des spécialités «
génie électronique » et « génie électrotechnique
».
Travaux pratiques
Résolution des équations du second degré à coef-
ficients réels.
Exemples de mise en œuvre des formules de
Moivre et d'Euler (linéarisation de polynômes
trigonométriques...).
La résolution d'équations à coefficients com-
plexes et l'étude des racines n-ième de l'unité
sont hors programme.
On se bornera à des exposants peu élevés ; les
formules trigonométriques ainsi obtenues n'ont
pas à être mémorisées de même que les formules
de conversion de sommes en produits et de pro-
duits en sommes.
I. L’ensemble des nombres complexes :
Définition 1.
On note i le nombre complexe tel que i2 = 1.
L'ensemble des nombres complexes, noté , est l'ensemble des expressions de la forme z = x+i y où
(x,y)  2. Le nombre réel x est appelé la partie réelle de z. Le nombre réel y est appelé la partie imagi-
naire de z.
Le nombre complexe z
=est appelé le complexe conjugué de z.
Le nombre réel positif z=2+2est appelé le module du nombre complexe z.
La notation z = + s’appelle la forme cartésienne ou encore forme algébrique du nombre complexe
z.
Remarque : En électricité, la lettre i désigne l’intensité du courant, on utilise alors la lettre j pour les
nombres complexes. On écrit z = + avec j2 = 1.

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Chap 1. Les nombres complexes
Exemple :
1. Mettre sous forme algébrique zA+zB, zAzB et zB2 où zA = 43i et zB = 2+7i. Calculer zA et zB.
2. Mettre sous forme algébrique le nombre complexe 23
1+.
23
1 + =231
1 + 1=232+ 32
12=15
2
Propriété 2.
Pour tout nombre complexe z, zz=z2
Démonstration : Soit z = + un nombre complexe quelconque, zz=+=2
22=2+2=z2
Définition et propriété 3.
Le plan étant rapporté au repère orthonormal (O, ,  ), tout nombre complexe z = + peut être associé
soit au point M de coordonnées (x,y) soit au vecteur OM de coordonnées 
.
On dit alors que z = + est l'affixe du point M(x,y) et du vecteur OM .
Le module  de z représente la longueur entre O et M : =OM =
z=2+2.
Un argument de z, que l’on note arg z, est une mesure en radian de
l’angle  ,OM .
Soit  un argument de z, les autres arguments de z sont de la forme
+2k avec k .
La notation z = cos+sin=, s’appelle la forme trigo-
nométrique du nombre complexe z.
Rappel :
Angle 
0
6
4
3
2
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
0
Exemple : Déterminer la forme trigonométrique du nombre
z = 2 + 23.
Calcul du module : z=22+232=4 + 12 = 4
Donc z = 4 1
2+3 2
Calcul de l’argument : on cherche l’angle  tel quecos=1
2 et sin=3 2 soit =2 3.
Donc z = 42
3.
II. Propriétés du module et des arguments d’un complexe
Propriété 4 : Soit z1 = [1, 1] et z2= [2, 2] deux nombres complexes non nuls
Le module d’un produit est le produit des modules : 1×2=1×2.
x
y
M
z
O
O
6
3
4
0
2

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Chap 1. Les nombres complexes
L’argument d’un produit est la somme des arguments à un nombre entier de tours près : arg1×2=
arg1+ arg2+ 2 où k 
En résumé 1,1×2,2=12,1+2
Démonstration :
Soit 1=1cos1+sin1 et 2=2cos2+sin2 deux nombres complexes non nuls.
1×2=1cos1+sin1×2cos2+sin2
1×2=12×cos1cos2sin1sin2+cos1sin2+sin1cos2
or cos+=coscossinsin et sin+= sincos+cossin
donc 1×2=12×cos1+2+sin1+2
Propriété 5 : Soit z un nombre complexe non nul
Le module de l’inverse est l’inverse du module : 1
=1
.
L’argument de l’inverse est l’opposé de l’argument à un nombre entier de tours près : arg 1
=
arg+ 2 où k .
Propriété 6 : Soit z1 et z2 deux nombres complexes non nuls
Le module d’un quotient est le quotient des modules : 1
2=1 2.
L’argument d’un quotient est la différence des arguments à un nombre entier de tours près : arg 1
2=
arg1arg2+ 2 où k. En résumé 1,1
2,2=1 2,12
Propriété 7 : Soit z un nombre complexe non nul et n 
= et arg=arg+ 2 où k 
III. Equation du second degré :
Théorème 8.
Soit a, b, c  avec a , on considère l'équation z2+z + = 0. Pour résoudre cette équation dans ,
on calcule le discriminant =24.
 si > 0 alors l’équation z2+z + = 0admet deux solutions réelles distinctes :
1=+
2 et 2= 2
 si = 0 alors l’équation z2+z + = 0 admet une solution réelle double =
2
 si < 0 alors l’équation z2+z + = 0 admet deux solutions complexes conjuguées z1=
+
2 et z2= 2
Démonstration :
z2+z + =z2+
z +  =z +  222 42+ =z +  2224 42
donc z2+z + = 0 est équivalent à z + 
22=24
42= 42
 si > 0 alors z2+z + = 0admet deux solutions réelles 1=+
2 et 2= 2
 si = 0 alors z2+z + = 0admet une solution réelle double =
2

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Chap 1. Les nombres complexes
 si < 0 alors z2+z + = 0admet deux solutions complexes conjuguées z1=+
2 et z2=
2
Exemple : Résoudre dans  l’équation suivante : 26+10 = 0
=24=36 4 × 10 =4 < 0, l’équation 26+10 = 0 possède donc deux racines com-
plexes conjuguées : 1=6+4
2= 3 +  et 2=64 2= 3 
IV. Forme exponentielle d’un nombre complexe :
Définition 9.
Soit x , on note  le nombre complexe cos+sin=1, .
Remarque : Le nombre complexe z de module  et d’argument  peut se noter =,=.
Cette notation = s’appelle la forme exponentielle ou polaire du nombre complexe z.
Propriété 10.
Pour tous x  et y ,
. =+ 1
 =
Propriété 11. Formule de Moivre Pour tout  , n
cos+sin= ==cos+sin
Exemple. La formule de Moivre est intéressante pour exprimer
cos(n) ou sin     cos() et de sin().
Cos(3) = Re(cos(3) + isin(3))= Re(cos+sin3)=Re( cos3 +3icos² sin-3cos sin²isin3 )
= cos3 -3cos sin²
Propriété 12. Formule d’Euler Pour tout x , cos=+
2 sin= 2
Démonstration :  =cos+sin et  =cos+sin=cossin
Donc + =cos+sin+cossin= 2cos soit cos=+
2
Et  =cos+sincos+sin= 2sin soit sin=
2
Exemple. Pour linéariser i.e. pour transformer ce produit en somme de termes du type cosnx ou sinnx
avec n .
cossin2=+
2 22
=+
22+22 4=+ 22+22 4
cossin2=1
83+2++32=1 83+3+
cossin2=1
82cos32cos=coscos3 4

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Chap 1. Les nombres complexes
V. Interprétation géométrique :
Le plan est muni d’un repère orthonormal O,  , .
Théorème 13. Si A et B ont pour affixes zA et zB alors le vecteur AB a pour
affixe zB  zA.
Conséquence : Si A et B ont pour affixes zA et zB alors zBzA=AB et si
AB argzBzA= ,AB
Propriété 14. Inégalité triangulaire : Soit zA et zB deux nombres com-
plexes non nuls : zA+ zBzA+zB
Démonstration : Soit A le point s’affixe zA et B celui d’affixe zB donc
OA =zA et OB =zB.
On note E le point tel que OE =OA +OB , l’affixe de E est zA+ zB
donc OE =zA+ zB.
Or dans le triangle OBE :
OE OA +OB donc zA+ zBzA+zB
Interprétation géométrique de arg 31
21
Soit M1, M2, et M3 les points d’affixes respectives z1 , z2, et z3,
arg 31
21= arg ZM 1M 3 ZM 1M 2
= arg ZM1M3 arg ZM1M2 + 2 est une mesure de l’angle orienté
(  ;M1M3 )  ; M1M2 + 2 = M1M2 , M1M3 + 2 .
Activité.
Soit zA=2i, zB= 1+2i et zC=22i, placer les points A(zA), B(zB) et C(zC).
Soit z = 1+2i, placer les points A’, B’ et C’ d’affixes respectives zA+z, zB+z et zC+z.
zA+z = 2i +1+2i = 3+i,
zB+z = 1+2i+1+2i = 4i
et zC+z = 22i+1+2i = 3
Propriété 15. Translation
Soit a un nombre complexe.
L’application qui, à tout point M
d’affixe z, associe le point M’
d’affixe z’=z+a est une translation de
vecteur  d’affixe a.
O
M(z)
M’(z’)
O
A
B
E
O
A
B
C
A’
B’
C’