Addition de deux moments cinétiques – Coefficients de Clebsch

Université Paul Sabatier
Master de Physique Fondamentale
Mécanique Quantique
2013-2014
Travaux Dirigés n◦ 3
Addition de deux moments cinétiques – Coefficients de Clebsch-Gordan
~ 1 et L
~ 2 avec L1 = 1 et L2 = 3/2. On
Nous considérons deux moments cinétiques L
définit :
– la base «produit tensoriel», B1
B1 = {|L1 = 1, m1 i ⊗ |L2 = 3/2, m2 i} = {|m1 i|m2 i}
~1 + L
~ 2 , B2
– la base du moment total J~ = L
B2 = {|L1 = 1, L2 = 3/2, j, mi} = {|j, mi}
a. Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert pour ce système ?
b. Quelles sont les valeurs du moment cinétique total j que nous pouvons obtenir en
~ 1 et L
~2 ?
faisant l’addition de L
c. Dans le plan (m1 , m2 ), comme vu en cours, tracer les valeurs possibles de m1 et m2 ,
et tracer les lignes m = constante.
d. Quelle est la dimension du sous-espace à m fixé ?
e. Calculer les coefficients de Clebsch-Gordan
5
(hm1 |hm2 |) |j = , mi
2
pour −5/2 ≤ m ≤ 5/2.
Indication : Partir de |5/2, 5/2i et faire agir l’opérateur d’échelle J − pour obtenir
|5/2, 3/2i. Les recouvrements avec hm1 |hm2 | donnent les coefficients de ClebschGordan.
f. En utilisant la relation d’orthogonalité hj 0 , m|j, mi = δjj 0 , exprimer |3/2, 3/2i dans
la base B1 .
g. Calculer les coefficients de Clebsch-Gordan
3
(hm1 |hm2 |) |j = , mi.
2
h. Finalement, calculer les coefficients de Clebsch-Gordan
1
(hm1 |hm2 |) |j = , mi.
2
Rappels :
Les opérateurs J + et J − satisfont :
q
J + |j, mi = h̄ j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1i
q
J − |j, mi = h̄ j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1i
2
Devoir maison
Devoir à la maison
à rendre pour le 05/11/2013
Plateaux d’aimantation sous champ magnétique
On se propose d’étudier les propriétés d’un système de 3 moments cinétiques décrits
~1 , S
~2 et S
~3 , où S
~1 décrit un moment cinétique L = 1, alors que S
~2 et
par les opérateurs S
~
S3 décrivent des spins 1/2. Pour simplifier, on posera h̄ = 1. Le système est décrit par le
hamiltonien
~1 · S
~2 + S
~1 · S
~3 ) − B(S z + S z + S z )
H = H0 + HB = J(S
1
2
3
où J > 0 et B ≥ 0. Le terme H0 décrit le couplage des moments cinétiques entre eux alors
~ = B ẑ.
que le terme HB décrit le couplage Zeeman à un champ magnétique extérieur B
A. Champ nul
1. Dans cette question, on se propose de déterminer les énergies propres de H0 .
~tot = S
~1 + S
~2 + S
~3 , S
~23 = S
~2 + S
~3
(a) Exprimer H0 à l’aide du carré des opérateurs S
~1 .
et S
2
2
~23
~tot
(b) Démontrer que S
commute avec S
.
(c) En utilisant les règles d’addition des moments cinétiques, déterminer les valeurs
~ 2 . En déduire les valeurs propres de H0 .
~ 2 et de S
propres possibles de S
23
tot
2. On s’intéresse maintenant aux vecteurs propres de H0 . On choisira comme base de
l’espace de Hilbert les états |σ1 , σ2 , σ3 i, où σi est la valeur propre de Siz .
(a) Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert ?
~2 et S
~3 forment
(b) Déduire de 1.(b) que, dans les états propres de H0 , les spins S
soit un état singulet, soit un état triplet.
~2 et S
~3
(c) Écrire les 3 états propres normalisés que l’on peut former lorsque S
forment un état singulet.
−
z
égal à 2. Par applications successives de Stot
, en déduire les
(d) Écrire l’état de Stot
~
quatre autres états normalisés de Stot égal à 2.
~tot différents, en déduire l’état de S
~tot
(e) En utilisant l’orthogonalité des états de S
z
~2 et S
~3 forment un triplet.
égal à 1 et de Stot
égal à 1, et tel que les spins S
−
(f) Par applications successives de Stot , en déduire les autres états de Stot égal à 1
~2 et S
~3 forment un triplet.
tels que les spins S
(g) En utilisant de nouveau l’orthogonalité des états de Stot différents, en déduire
la fonction d’onde du singulet Stot = 0.
B. Propriétés en champ magnétique
1.
2.
3.
4.
Démontrer que HB commute avec H0 . Que peut-on en déduire ?
Déterminer les énergies propres de H.
Tracer l’énergie des différents états en fonction de B/J pour 0 ≤ B/J ≤ 3.
On définit l’aimantation par
m = hF |S1z + S2z + S3z |F i,
où |F i est le fondamental du système. Démontrer que |F i change lorsque B augmente. En déduire la dépendance de m en fonction de B/J. Tracer le résultat pour
0 ≤ B/J ≤ 3.