Addition de deux moments cinétiques – Coefficients de Clebsch

Université Paul Sabatier Mécanique Quantique
Master de Physique Fondamentale 2013-2014
Travaux Dirigés n◦3
Addition de deux moments cinétiques – Coefficients de Clebsch-Gordan
Nous considérons deux moments cinétiques ~ L1et ~ L2avec L1= 1 et L2= 3/2. On
définit :
– la base «produit tensoriel», B1
B1={|L1= 1, m1i⊗|L2= 3/2, m2i} ={|m1i|m2i}
– la base du moment total ~ J=~ L1+~ L2,B2
B2={|L1= 1, L2= 3/2, j, mi} ={|j, mi}
a. Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert pour ce système ?
b. Quelles sont les valeurs du moment cinétique total jque nous pouvons obtenir en
faisant l’addition de ~ L1et ~ L2?
c. Dans le plan (m1, m2), comme vu en cours, tracer les valeurs possibles de m1et m2,
et tracer les lignes m= constante.
d. Quelle est la dimension du sous-espace à mfixé ?
e. Calculer les coefficients de Clebsch-Gordan
(hm1|hm2|)|j=5
2, mi
pour −5/2≤m≤5/2.
Indication : Partir de |5/2,5/2iet faire agir l’opérateur d’échelle J−pour obtenir
|5/2,3/2i. Les recouvrements avec hm1|hm2|donnent les coefficients de Clebsch-
Gordan.
f. En utilisant la relation d’orthogonalité hj0, m|j, mi=δjj0, exprimer |3/2,3/2idans
la base B1.
g. Calculer les coefficients de Clebsch-Gordan
(hm1|hm2|)|j=3
2, mi.
h. Finalement, calculer les coefficients de Clebsch-Gordan
(hm1|hm2|)|j=1
2, mi.
Rappels :
Les opérateurs J+et J−satisfont :
J+|j, mi= ¯hqj(j+ 1) −m(m+ 1) |j, m + 1i
J−|j, mi= ¯hqj(j+ 1) −m(m−1) |j, m −1i

2Devoir maison
Devoir à la maison
à rendre pour le 05/11/2013
Plateaux d’aimantation sous champ magnétique
On se propose d’étudier les propriétés d’un système de 3 moments cinétiques décrits
par les opérateurs ~ S1,~ S2et ~ S3, où ~ S1décrit un moment cinétique L= 1, alors que ~ S2et
~
S3décrivent des spins 1/2. Pour simplifier, on posera ¯h= 1. Le système est décrit par le
hamiltonien
H=H0+HB=J(~ S1·~ S2+~ S1·~ S3)−B(Sz
1+Sz 2+Sz 3)
où J > 0et B≥0. Le terme H0décrit le couplage des moments cinétiques entre eux alors
que le terme HBdécrit le couplage Zeeman à un champ magnétique extérieur ~ B=Bˆz.
A. Champ nul
1. Dans cette question, on se propose de déterminer les énergies propres de H0.
(a) Exprimer H0à l’aide du carré des opérateurs ~ Stot =~ S1+~ S2+~ S3,~ S23 =~ S2+~ S3
et ~ S1.
(b) Démontrer que ~ S2
23 commute avec ~
S2
tot.
(c) En utilisant les règles d’addition des moments cinétiques, déterminer les valeurs
propres possibles de ~ S2
tot et de ~
S2
23. En déduire les valeurs propres de H0.
2. On s’intéresse maintenant aux vecteurs propres de H0. On choisira comme base de
l’espace de Hilbert les états |σ1, σ2, σ3i, où σiest la valeur propre de Sz
i.
(a) Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert ?
(b) Déduire de 1.(b) que, dans les états propres de H0, les spins ~ S2et ~ S3forment
soit un état singulet, soit un état triplet.
(c) Écrire les 3 états propres normalisés que l’on peut former lorsque ~ S2et ~ S3
forment un état singulet.
(d) Écrire l’état de Sz
tot égal à 2. Par applications successives de S−
tot, en déduire les
quatre autres états normalisés de ~ Stot égal à 2.
(e) En utilisant l’orthogonalité des états de ~ Stot différents, en déduire l’état de ~ Stot
égal à 1 et de Sz
tot égal à 1, et tel que les spins ~
S2et ~ S3forment un triplet.
(f) Par applications successives de S−
tot, en déduire les autres états de Stot égal à 1
tels que les spins ~ S2et ~ S3forment un triplet.
(g) En utilisant de nouveau l’orthogonalité des états de Stot différents, en déduire
la fonction d’onde du singulet Stot = 0.
B. Propriétés en champ magnétique
1. Démontrer que HBcommute avec H0. Que peut-on en déduire ?
2. Déterminer les énergies propres de H.
3. Tracer l’énergie des différents états en fonction de B/J pour 0≤B/J ≤3.
4. On définit l’aimantation par
m=hF|Sz
1+Sz
2+Sz 3|Fi,
où |Fiest le fondamental du système. Démontrer que |Fichange lorsque Baug-
mente. En déduire la dépendance de men fonction de B/J. Tracer le résultat pour
0≤B/J ≤3.