Exercice1 (8pts): i désigne le complexe de module 1 et d`argument

Exercice1 (8pts):
i désigne le complexe de module 1 et d'argument
2
.
Soient
12 2 2 2zi  
;
22 2 3zi  
et
32 3 2zi
.
Soient
1 2 3
M ,M et M
les images respectives de
1 2 3
, z z et z
dans le plan muni d'un repère orthonormé
( ; , ).O u v
1. Calculer les modules de
1 2 3
, z z et z
. En déduire une équation du cercle C qui passe par
1 2 3
M ,M et M
.
2. Donner un argument de chacun des nombres
1 2 3
, z z et z
.
3. Calculer le nombre complexe
33
12
6
3
.zz
Zz
. Montrer que
41Z
.
4. Soit
N
l'image de
Z
. Représenter
1 2 3
M ,M et M
;
C
et
N
dans le repère donné.
5. Résoudre l’équation
41z
.
Exercice2 (7pts) :
Soit le polynôme
7 6 5 4 3 2
( ) 5 8 4 4 8 5 1 [ ]P X X X X X X X X X        
1. Vérifier que 1 et -1 sont racines de P.
Préciser les multiplicités respectives et de 1 et – 1.( on montrera que
1 et 2
)
2. En déduire une première factorisation :
1
( ) ( 1) ( 1) ( )P X X X P X
Où
1()PX
est un polynôme vérifiant
1(1) 0P
et
1( 1) 0P
que vous déterminer.
3. Vérifier que
*1
: (z)=0zP
si et seulement si
1
zz
est une racine de l’équation de degré 2
24 3 0ZZ  
.
4. En déduire la factorisation de P en produits d’irréductibles dans
[]X
et puis dans
[]X
.
Exercice3 (5pts):
1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
1
() ( 1)( 2) FX X X X
dans
()X
.
2. a) Simplifier l’expression
1
1
( 1)( 2)
n
nk
Sk k k
.
b) En déduire
lim n
nS
.