Plateaux d`aimantation sous champ magnétique

Université Paul Sabatier
Master de Physique Fondamentale
Mécanique Quantique
2012-2013
Travaux Dirigés n◦ 4
Plateaux d’aimantation sous champ magnétique
On se propose d’étudier les propriétés d’un système de 3 moments cinétiques décrits
~1 , S
~2 et S
~3 , où S
~1 décrit un moment cinétique L = 1, alors que S
~2 et
par les opérateurs S
~3 décrivent des spins 1/2. Pour simplifier, on posera h̄ = 1. Le système est décrit par le
S
hamiltonien
~1 · S
~2 + S
~1 · S
~3 ) − B(S1z + S2z + S3z )
H = H0 + HB = J(S
où J > 0 et B ≥ 0. Le terme H0 décrit le couplage des moments cinétiques entre eux alors
~ = B ẑ.
que le terme HB décrit le couplage Zeeman à un champ magnétique extérieur B
A. Champ nul
1. Dans cette question, on se propose de déterminer les énergies propres de H0 .
~tot = S
~1 + S
~2 + S
~3 , S
~23 = S
~2 + S
~3
(a) Exprimer H0 à l’aide du carré des opérateurs S
~1 .
et S
~2 .
~ 2 commute avec S
(b) Démontrer que S
tot
23
(c) En utilisant les règles d’addition des moments cinétiques, déterminer les valeurs
2
2
~tot
~23
propres possibles de S
et de S
. En déduire les valeurs propres de H0 .
2. On s’intéresse maintenant aux vecteurs propres de H0 . On choisira comme base de
l’espace de Hilbert les états |σ1 , σ2 , σ3 i, où σi est la valeur propre de Siz .
(a) Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert ?
~2 et S
~3 forment
(b) Déduire de 1.(b) que, dans les états propres de H0 , les spins S
soit un état singulet, soit un état triplet.
~2 et S
~3
(c) Écrire les 3 états propres normalisés que l’on peut former lorsque S
forment un état singulet.
−
z
(d) Écrire l’état de Stot
égal à 2. Par applications successives de Stot
, en déduire les
~tot égal à 2.
quatre autres états normalisés de S
~tot différents, en déduire l’état de S
~tot
(e) En utilisant l’orthogonalité des états de S
z
~2 et S
~3 forment un triplet.
égal à 1 et de Stot
égal à 1, et tel que les spins S
−
(f) Par applications successives de Stot , en déduire les autres états de Stot égal à 1
~2 et S
~3 forment un triplet.
tels que les spins S
(g) En utilisant de nouveau l’orthogonalité des états de Stot différents, en déduire
la fonction d’onde du singulet Stot = 0.
B. Propriétés en champ magnétique
1. Démontrer que HB commute avec H0 . Que peut-on en déduire ?
2. Déterminer les énergies propres de H.
3. Tracer l’énergie des différents états en fonction de B/J pour 0 ≤ B/J ≤ 3.
4. On définit l’aimantation par
m = hF |S1z + S2z + S3z |F i,
où |F i est le fondamental du système. Démontrer que |F i change lorsque B augmente. En déduire la dépendance de m en fonction de B/J. Tracer le résultat pour
0 ≤ B/J ≤ 3.
2
TD
Rappels :
Les opérateurs S + et S − satisfont :
q
S + |`, mi = h̄ `(` + 1) − m(m + 1) |`, m + 1i
q
S − |`, mi = h̄ `(` + 1) − m(m − 1) |`, m − 1i