Plateaux d`aimantation sous champ magnétique

Université Paul Sabatier Mécanique Quantique
Master de Physique Fondamentale 2012-2013
Travaux Dirigés n◦4
Plateaux d’aimantation sous champ magnétique
On se propose d’étudier les propriétés d’un système de 3 moments cinétiques décrits
par les opérateurs ~ S1,~ S2et ~ S3, où ~ S1décrit un moment cinétique L= 1, alors que ~ S2et
~
S3décrivent des spins 1/2. Pour simplifier, on posera ¯h= 1. Le système est décrit par le
hamiltonien
H=H0+HB=J(~ S1·~ S2+~ S1·~ S3)−B(Sz
1+Sz 2+Sz 3)
où J > 0et B≥0. Le terme H0décrit le couplage des moments cinétiques entre eux alors
que le terme HBdécrit le couplage Zeeman à un champ magnétique extérieur ~ B=Bˆz.
A. Champ nul
1. Dans cette question, on se propose de déterminer les énergies propres de H0.
(a) Exprimer H0à l’aide du carré des opérateurs ~ Stot =~ S1+~ S2+~ S3,~ S23 =~ S2+~ S3
et ~ S1.
(b) Démontrer que ~ S2
23 commute avec ~
S2
tot.
(c) En utilisant les règles d’addition des moments cinétiques, déterminer les valeurs
propres possibles de ~ S2
tot et de ~
S2
23. En déduire les valeurs propres de H0.
2. On s’intéresse maintenant aux vecteurs propres de H0. On choisira comme base de
l’espace de Hilbert les états |σ1, σ2, σ3i, où σiest la valeur propre de Sz
i.
(a) Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert ?
(b) Déduire de 1.(b) que, dans les états propres de H0, les spins ~ S2et ~ S3forment
soit un état singulet, soit un état triplet.
(c) Écrire les 3 états propres normalisés que l’on peut former lorsque ~ S2et ~ S3
forment un état singulet.
(d) Écrire l’état de Sz
tot égal à 2. Par applications successives de S−
tot, en déduire les
quatre autres états normalisés de ~ Stot égal à 2.
(e) En utilisant l’orthogonalité des états de ~ Stot différents, en déduire l’état de ~ Stot
égal à 1 et de Sz
tot égal à 1, et tel que les spins ~
S2et ~ S3forment un triplet.
(f) Par applications successives de S−
tot, en déduire les autres états de Stot égal à 1
tels que les spins ~ S2et ~ S3forment un triplet.
(g) En utilisant de nouveau l’orthogonalité des états de Stot différents, en déduire
la fonction d’onde du singulet Stot = 0.
B. Propriétés en champ magnétique
1. Démontrer que HBcommute avec H0. Que peut-on en déduire ?
2. Déterminer les énergies propres de H.
3. Tracer l’énergie des différents états en fonction de B/J pour 0≤B/J ≤3.
4. On définit l’aimantation par
m=hF|Sz
1+Sz 2+Sz 3|Fi,
où |Fiest le fondamental du système. Démontrer que |Fichange lorsque Baug-
mente. En déduire la dépendance de men fonction de B/J. Tracer le résultat pour
0≤B/J ≤3.

2TD
Rappels :
Les opérateurs S+et S−satisfont :
S+|`, mi= ¯hq`(`+ 1) −m(m+ 1) |`, m + 1i
S−|`, mi= ¯hq`(`+ 1) −m(m−1) |`, m −1i