Devoir 2 - IECL - Université de Lorraine

Universit´e de Lorraine 2016-2017
D´epartement de Math´ematiques
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Master 1 Math´ematiques
F.Robert, J.Maubon
Devoir 2 `a rendre le 6 mars
1. Autour du th´ eor` eme d’Ascoli
Exercice 1. D´emontrez le th´eor`eme d’Ascoli tel qu’´enonc´e en cours. On s’inspirera
de la preuve du cas particulier effectu´ee en cours.
Exercice 2. Soit u∈C1([0,1]). Soient x, y ∈[0,1]. En ´ecrivant u(x)−u(y) =
Ry
xu0(t)dt et en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, montrez qu’il existe C > 0
(d´ependant de u) tel que |u(x)−u(y)| ≤ Cp|y−x|.
On pose
A:= {u∈C1([0,1])/ u(0) = 1 et Z1
0
u0(t)2dt ≤2.}
Montrez que Aest relativement compact dans C0([0,1]).
2. Autour du th´ eor` eme de Stone-Weierstrasß
Exercice 3. On se donne (X, T) un espace topologique.
(1) Soient u, v ∈C(X). Montrez sans utiliser la compos´ee par la valeur
absolue qui est continue que sup(u, v) est continue sur X. On attend ici
une preuve ”avec ”.
(2) Soient u1, ..., uN∈C(X). Montrez que sup(u1, ..., uN)∈C(X).
Exercice 4. Soit (X, T) un espace topologique compact. Montrez que l’adh´erence
d’une sous-alg`ebre de C(X) est aussi une sous-alg`ebre de C(X). On a muni C(X)
de la norme naturelle usuelle.
Exercice 5. (1) Faites l’exercice 2 du TD2 (compactifi´e d’Alexandrov).
(2) Avec les hypoth`eses de cet exercice, on se donne un espace topologique (Y, TY)
et i:X→Ytels que
—Yest compact
—Y\i(X) est r´eduit `a un point, not´e p,
—i:X→Y\ {p}induit un hom´eomorphisme.
Montrez que ise prolonge en un hom´eomorphisme ˆ X→Yqui envoie ∞sur
p. C’est en cela qu’on a unicit´e du compactifi´e d’Alexandrov.
Exercice 6. Soit Xun espace topologique s´epar´e localement compact non compact.
Soit f:X→R. On dit que ftend vers 0 `a l’infini si
pour tout  > 0,il existe K⊂Xcompact tel que {x∈X\K⇒ |f(x)|< }.
On note C0(X) l’ensemble des fonctions continues sur Xqui tendent vers 0 `a l’infini.
Pour u∈C0(X), on note
kukC0(X):= sup
x∈X
|u(x)|.
1

2
Montrez que k·kC0(X)d´efinit une norme sur C0(X) et que le supremum est atteint.
Exercice 7. Soit Xun espace topologique s´epar´e localement compact non compact.
On se donne H ⊂ C0(X) telle que
—Hest stable par combinaison lin´eaire et produit,
— pour tout x, y ∈X,x6=y, il existe u∈ H tel que u(x)6=u(y),
— pour tout x∈X, il existe u∈ H tel que u(x)6= 0.
En vous inspirant de la preuve du cours, montrez que Hest dense dans C0(X).
3. Groupe topologique
On donne ici des propri´et´es du produit de convolution dans un cadre abstrait
qui a le m´erite de procurer un cadre unifi´e pour les diff´erentes notions de produit
de convolution vues en cours.
On dit qu’un triplet (G, +,T) est un groupe topologique si :
•(G, +) est un groupe,
•(G, T) est un espace topologique,
•les fonctions
G×G→G
(x, y)7→ x+yet G→G x7→ −x
sont continues.
Pour r´esumer, on demande que les deux structures soient compatibles, `a savoir
que la somme et l’inverse soient continues. On suppose aussi dans le cadre de ce
probl`eme que :
•(G, +) est ab´elien,
•(G, T) est s´epar´e et localement compact.
Attention : un tel espace topologique n’est pas n´ecessairement m´etrique...
L’exemple de base est Rmuni de la somme usuelle et de sa topologie usuelle.
1. Soit x0∈G. Montrez que
G×G→G
(x, y)7→ x−yet G→G x7→ x+x0
sont continues.
4. Th´ eor` eme de Heine
Soit (G, +,T) un groupe topologique, suppos´e ab´elien, s´epar´e et localement com-
pact. Soit f:G→Rune fonction. On dit qu’elle est uniform´ement continue sur G
si
∀ > 0,∃U⊂Gvoisinage de 0 tel que ∀x, y ∈G, {x−y∈U⇒ |f(x)−f(y)|< }.
On montre dans cette section le th´eor`eme de Heine :
Th´eor`eme 1. Toute fonction continue sur Get `a support compact est uniform´ement
continue.

3
On se donne une fonction f∈C(G) `a support compact.
1. Soit Uun ouvert de Gtel que 0 ∈U. Montrez qu’il existe U0⊂Utel que 0 ∈U0
et pour tous x, y ∈U0, alors x+y∈U. Montrez alors que U0⊂U.
Indication : utilisez la continuit´e de la fonction somme (x, y)7→ x+y.
2. Soit Uun ouvert de Gtel que 0 ∈U. Montrez que −U:= {−x/ x ∈U}est aussi
un ouvert de G. On pose U0:= U∩(−U) : montrez que 0 ∈U0ouvert et que U0est
sym´etrique (c’est-`a-dire que x∈U0⇔ −x∈U0). Indication : utilisez la fonction
inverse x7→ −x.
3. Soit Uun ouvert de Gtel que x0∈U. Soit U0:= {x−x0/ x ∈U}. Montrez que
U0est un ouvert de Gqui contient 0.
Dor´enavant, on fixe  > 0. Pour x∈G, il suit de la continuit´e de fqu’il existe un
ouvert Uxde Gqui contient xtel que
∀y∈G, y ∈Ux⇒ |f(y)−f(x)|< /4.
4. Soit x∈G. Montrez qu’il existe Vx⊂Gtel que :
•0∈Vxouvert de G
•Vxest sym´etrique,
•Pour tout z, z0∈Vx, alors z+z0+x∈Ux.
5. Soit Kun compact de Gtel que Supp f⊂K. En utilisant un recouvrement de
Kpar les x+Vx, montrez qu’il existe U0ouvert de Gcontenant 0 tel que pour tous
x, y ∈K, on a x−y∈U0⇒ |f(x)−f(y)|< /2.
6. Montrez que fest uniform´ement continue.