Devoir 2 - IECL - Université de Lorraine

Université de Lorraine
Département de Mathématiques
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Master 1 Mathématiques
F.Robert, J.Maubon
2016-2017
Devoir 2 à rendre le 6 mars
1. Autour du théorème d’Ascoli
Exercice 1. Démontrez le théorème d’Ascoli tel qu’énoncé en cours. On s’inspirera
de la preuve du cas particulier effectuée en cours.
Exercice
2. Soit u ∈ C 1 ([0, 1]). Soient x, y ∈ [0, 1]. En écrivant u(x) − u(y) =
Ry 0
u (t) dt et en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrez qu’il existe C > 0
x
p
(dépendant de u) tel que |u(x) − u(y)| ≤ C |y − x|.
On pose
A := {u ∈ C 1 ([0, 1])/ u(0) = 1 et
Z
1
u0 (t)2 dt ≤ 2.}
0
Montrez que A est relativement compact dans C 0 ([0, 1]).
2. Autour du théorème de Stone-Weierstrasß
Exercice 3. On se donne (X, T ) un espace topologique.
(1) Soient u, v ∈ C(X). Montrez sans utiliser la composée par la valeur
absolue qui est continue que sup(u, v) est continue sur X. On attend ici
une preuve ”avec ”.
(2) Soient u1 , ..., uN ∈ C(X). Montrez que sup(u1 , ..., uN ) ∈ C(X).
Exercice 4. Soit (X, T ) un espace topologique compact. Montrez que l’adhérence
d’une sous-algèbre de C(X) est aussi une sous-algèbre de C(X). On a muni C(X)
de la norme naturelle usuelle.
Exercice 5.
(1) Faites l’exercice 2 du TD2 (compactifié d’Alexandrov).
(2) Avec les hypothèses de cet exercice, on se donne un espace topologique (Y, TY )
et i : X → Y tels que
— Y est compact
— Y \ i(X) est réduit à un point, noté p,
— i : X → Y \ {p} induit un homéomorphisme.
Montrez que i se prolonge en un homéomorphisme X̂ → Y qui envoie ∞ sur
p. C’est en cela qu’on a unicité du compactifié d’Alexandrov.
Exercice 6. Soit X un espace topologique séparé localement compact non compact.
Soit f : X → R. On dit que f tend vers 0 à l’infini si
pour tout > 0, il existe K ⊂ X compact tel que {x ∈ X \ K ⇒ |f (x)| < }.
On note C0 (X) l’ensemble des fonctions continues sur X qui tendent vers 0 à l’infini.
Pour u ∈ C0 (X), on note
kukC0 (X) := sup |u(x)|.
x∈X
1
2
Montrez que k · kC0 (X) définit une norme sur C0 (X) et que le supremum est atteint.
Exercice 7. Soit X un espace topologique séparé localement compact non compact.
On se donne H ⊂ C0 (X) telle que
— H est stable par combinaison linéaire et produit,
— pour tout x, y ∈ X, x 6= y, il existe u ∈ H tel que u(x) 6= u(y),
— pour tout x ∈ X, il existe u ∈ H tel que u(x) 6= 0.
En vous inspirant de la preuve du cours, montrez que H est dense dans C0 (X).
3. Groupe topologique
On donne ici des propriétés du produit de convolution dans un cadre abstrait
qui a le mérite de procurer un cadre unifié pour les différentes notions de produit
de convolution vues en cours.
On dit qu’un triplet (G, +, T ) est un groupe topologique si :
• (G, +) est un groupe,
• (G, T ) est un espace topologique,
• les fonctions
G×G →
G
G →
et
(x, y) 7→ x + y
x →
7
G
−x
sont continues.
Pour résumer, on demande que les deux structures soient compatibles, à savoir
que la somme et l’inverse soient continues. On suppose aussi dans le cadre de ce
problème que :
• (G, +) est abélien,
• (G, T ) est séparé et localement compact.
Attention : un tel espace topologique n’est pas nécessairement métrique...
L’exemple de base est R muni de la somme usuelle et de sa topologie usuelle.
1. Soit x0 ∈ G. Montrez que
G×G →
G
G →
G
et
(x, y) 7→ x − y
x →
7
x + x0
sont continues.
4. Théorème de Heine
Soit (G, +, T ) un groupe topologique, supposé abélien, séparé et localement compact. Soit f : G → R une fonction. On dit qu’elle est uniformément continue sur G
si
∀ > 0, ∃U ⊂ G voisinage de 0 tel que ∀x, y ∈ G, {x−y ∈ U ⇒ |f (x)−f (y)| < }.
On montre dans cette section le théorème de Heine :
Théorème 1. Toute fonction continue sur G et à support compact est uniformément
continue.
3
On se donne une fonction f ∈ C(G) à support compact.
1. Soit U un ouvert de G tel que 0 ∈ U . Montrez qu’il existe U 0 ⊂ U tel que 0 ∈ U 0
et pour tous x, y ∈ U 0 , alors x + y ∈ U . Montrez alors que U 0 ⊂ U .
Indication : utilisez la continuité de la fonction somme (x, y) 7→ x + y.
2. Soit U un ouvert de G tel que 0 ∈ U . Montrez que −U := {−x/ x ∈ U } est aussi
un ouvert de G. On pose U 0 := U ∩ (−U ) : montrez que 0 ∈ U 0 ouvert et que U 0 est
symétrique (c’est-à-dire que x ∈ U 0 ⇔ −x ∈ U 0 ). Indication : utilisez la fonction
inverse x 7→ −x.
3. Soit U un ouvert de G tel que x0 ∈ U . Soit U 0 := {x − x0 / x ∈ U }. Montrez que
U 0 est un ouvert de G qui contient 0.
Dorénavant, on fixe > 0. Pour x ∈ G, il suit de la continuité de f qu’il existe un
ouvert Ux de G qui contient x tel que
∀y ∈ G, y ∈ Ux ⇒ |f (y) − f (x)| < /4.
4. Soit x ∈ G. Montrez qu’il existe Vx ⊂ G tel que :
• 0 ∈ Vx ouvert de G
• Vx est symétrique,
• Pour tout z, z 0 ∈ Vx , alors z + z 0 + x ∈ Ux .
5. Soit K un compact de G tel que Supp f ⊂ K. En utilisant un recouvrement de
K par les x + Vx , montrez qu’il existe U 0 ouvert de G contenant 0 tel que pour tous
x, y ∈ K, on a x − y ∈ U 0 ⇒ |f (x) − f (y)| < /2.
6. Montrez que f est uniformément continue.