MATH-F-211 Introduction aux espaces topologiques Feuille d

MATH-F-211
Introduction aux espaces topologiques
Feuille d’exercices 4
1. (a) Soit Xun espace m´etrique et K⊂Xun sous-espace compact.
D´emontrez que Kest born´e, c’est `a dire qu’il existe x0∈Ket un
r´eel M∈Rtels que pour tous x∈K,d(x, x0)< M.
(b) Soit f:T1→T2une application continue entre deux espaces topolo-
giques dont T1est compact. D´emontrez que l’image f(T1)⊂T2est
compacte (avec la topologie induite).
[Conseil : ´etant donn´e un recouvrement {Ui:i∈I}de f(T1)par
ouverts, il existe ouverts Vi⊂T2tels que Ui=Vi∩f(T1). Maintenant
{f−1(Vi) : i∈I}est un recouvrement de T1par ouverts.]
(c) Soient Tun espace compact et f:T→Xune application `a un espace
m´etrique. D´emontrez que Fest born´e : il existe un point x0∈Xet
un r´eel Mtels que d(f(t), x0)< M pour tous t∈T.
2. Soient Tun espace compact et K⊂Tferm´e (c’est `a dire que T\Kest
ouvert). D´emontrez que Kest compact (pour la topologie induite).
[Conseil : ´etant donn´e un recouvrement {Ui:i∈I}de Kpar ouverts,
par la d´efinition de la topologie induite il existe ouverts Vi⊂Ttels que
Ui=K∩Vi. Maintenant {Vi:i∈I}∪{T\K}est un recouvrement de T
par ouverts.]
3. Soient Tun espace Hausdorff et K⊂Tun sous-espace compact (pour la
topologie induite). Le but de cette question est de d´emontrer que Kest
ferm´e (c’est `a dire que T\Kest ouvert).
(a) Soit x∈T\K. Pour chaque y∈K, puisque Test Hausdorff, il
existe ouverts disjoints U(y), V (y) tels que x∈U(y) et y∈V(y).
D´emontrez qu’il existe un nombre fini y1, . . . , yrde points yj∈K
tels que
U(y1)∩ · · · ∩ U(yr)∩K=∅.
(b) D´eduisez que pour chaque x∈T\Kil existe un ouvert Uxqui
contient xet tel que Ux∩K=∅.
(c) D´eduisez que T\Kest ouvert.
4. Soit f:T1→T2une application entre deux espaces topologiques.
(a) D´emontrez que fest continue si et seulement si f−1(K) est ferm´e
pour tous K⊂T2ferm´e.
(b) Maintenant on pose que fest bijective, T1est compact et T2est
Hausdorff. D´emontrez que fest un hom´eomorphisme, c’est `a dire
que f−1est continue.
[Conseil : il faut v´erifier que f(K)⊂T2est ferm´e pour tous K⊂T1
ferm´e. Un moyen est d’utiliser les trois questions pr´ec´edentes.]
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