MATH-F-211 Introduction aux espaces topologiques Feuille d’exercices 4 1. (a) Soit X un espace métrique et K ⊂ X un sous-espace compact. Démontrez que K est borné, c’est à dire qu’il existe x0 ∈ K et un réel M ∈ R tels que pour tous x ∈ K, d(x, x0 ) < M . (b) Soit f : T1 → T2 une application continue entre deux espaces topologiques dont T1 est compact. Démontrez que l’image f (T1 ) ⊂ T2 est compacte (avec la topologie induite). [Conseil : étant donné un recouvrement {Ui : i ∈ I} de f (T1 ) par ouverts, il existe ouverts Vi ⊂ T2 tels que Ui = Vi ∩f (T1 ). Maintenant {f −1 (Vi ) : i ∈ I} est un recouvrement de T1 par ouverts.] (c) Soient T un espace compact et f : T → X une application à un espace métrique. Démontrez que F est borné : il existe un point x0 ∈ X et un réel M tels que d(f (t), x0 ) < M pour tous t ∈ T . 2. Soient T un espace compact et K ⊂ T fermé (c’est à dire que T \ K est ouvert). Démontrez que K est compact (pour la topologie induite). [Conseil : étant donné un recouvrement {Ui : i ∈ I} de K par ouverts, par la définition de la topologie induite il existe ouverts Vi ⊂ T tels que Ui = K ∩ Vi . Maintenant {Vi : i ∈ I} ∪ {T \ K} est un recouvrement de T par ouverts.] 3. Soient T un espace Hausdorff et K ⊂ T un sous-espace compact (pour la topologie induite). Le but de cette question est de démontrer que K est fermé (c’est à dire que T \ K est ouvert). (a) Soit x ∈ T \ K. Pour chaque y ∈ K, puisque T est Hausdorff, il existe ouverts disjoints U (y), V (y) tels que x ∈ U (y) et y ∈ V (y). Démontrez qu’il existe un nombre fini y1 , . . . , yr de points yj ∈ K tels que U (y1 ) ∩ · · · ∩ U (yr ) ∩ K = ∅. (b) Déduisez que pour chaque x ∈ T \ K il existe un ouvert Ux qui contient x et tel que Ux ∩ K = ∅. (c) Déduisez que T \ K est ouvert. 4. Soit f : T1 → T2 une application entre deux espaces topologiques. (a) Démontrez que f est continue si et seulement si f −1 (K) est fermé pour tous K ⊂ T2 fermé. (b) Maintenant on pose que f est bijective, T1 est compact et T2 est Hausdorff. Démontrez que f est un homéomorphisme, c’est à dire que f −1 est continue. [Conseil : il faut vérifier que f (K) ⊂ T2 est fermé pour tous K ⊂ T1 fermé. Un moyen est d’utiliser les trois questions précédentes.] 1