énoncé

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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
Feuille d’exercices no7
Exercice 1 : questions diverses
1. Soit A⊂R2un ensemble d´enombrable. Montrer que R2−Aest connexe par arcs.
2. Soit Xun espace topologique localement compact. Soient Yun autre espace topologique et
f:X→Yune application continue. L’ensemble f(X), muni de la topologie induite par celle
de Y, est-il localement compact ?
3. a) Montrer que F(R,[0; 1]), muni de la topologie produit, est un espace s´eparable.
b) Donner un exemple d’espace topologique compact non-s´eparable.
Exercice 2 : espaces de Hilbert
Soit Hun espace de Hilbert s´eparable, r´eel, de dimension infinie. On note h., .ison produit
scalaire.
Soit (en)n∈Nune base hilbertienne de H.
Soient :
F1=®X
n
unentq u∈l2(N) et un= 0 pour tout n≡1[2]´
F2=®X
n
unentq u∈l2(N) et un=un−1/n pour tout n≡1[2]´
Montrer que F1et F2sont des sous-espaces vectoriels ferm´es de Hmais que F1+F2n’est pas
ferm´e.
Exercice 3
Soit E=C0([0; 1],R). Soit F⊂Eun sous-espace vectoriel ferm´e dont tous les ´el´ements sont
des fonctions de classe C1.
1. Montrer que T:f∈F→f0∈Eest une application continue.
2. Montrer que la boule unit´e de Fforme une famille ´equicontinue de fonctions.
3. En d´eduire que Fest de dimension finie.
Exercice 4 : continuit´e des op´erateurs auto-adjoints
Soit Hun espace de Hilbert. Soit T:H→Hune application lin´eaire telle que, pour tous
x, y ∈H:
hT(x), yi=hx, T (y)i
D´emontrer que Test continue.
Exercice 5 : th´eor`eme du point fixe de Schaefer
Soit Eun espace de Banach. Soit T:E→Eune application continue v´erifiant les deux
propri´et´es suivantes :
1

(1) Si Ω ⊂Eest born´ee, T(Ω) est compacte.
(2) {x∈Etq ∃λ∈[0; 1], x =λT (x)}est born´e.
Montrer que Ta un point fixe.
[Indication : Utiliser le th´eor`eme du point fixe de Schauder, vu dans le TD pr´ec´edent.]
Exercice 6 : une d´emonstration du th´eor`eme de Brouwer
Soit n∈N∗. On note Bnla boule euclidienne ferm´ee de Rnet Snson bord, la sph`ere unit´e.
1. Dans cette question, on d´emontre qu’il n’existe pas de fonction C1φ:Bn→Sntelle que
φ(x) = xpour tout x∈Sn.
On suppose par l’absurde qu’une telle fonction φexiste. Pour tout t∈[0; 1], on note :
φt:Bn→Bn
x→(1 −t)x+tφ(x)
a) Montrer que, si test assez proche de 0, φtest injective.
b) Montrer que, si test assez proche de 0, φtest un diff´eomorphisme local en tout point de ˚ Bn.
c) Montrer que, si test assez proche de 0, φtest un hom´eomorphisme de Bndans Bn.
d) En d´eduire que, pour tassez proche de 0, RBndet(Dφt(x))dnx=RBn1.dnx.
e) Montrer que, pour tout x∈˚ Bn, det(Dφ1(x)) = 0. En d´eduire une absurdit´e.
2. Montrer que toute fonction φ:Bn→Bn, de classe C1, admet un point fixe.
3. Montrer que toute fonction φ:Bn→Bn, de classe C0, admet un point fixe.
[Indication : On pourra admettre qu’une telle fonction φest limite uniforme de fonctions φk:
Bn→Bnde classe C1.]
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