TD2 - IECL - Université de Lorraine

Universit´e de Lorraine 2014-2015
D´epartement de Math´ematiques
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Master 1 Math´ematiques
F.Robert, J.Maubon
TD2 : Th´eor`emes d’Ascoli et de Stone-Weierstraß
Exercice 1 : Soit (X, d) un espace m´etrique compact. Montrez que (X, d) est
s´eparable.
Exercice 2 : Soit (X, T) un espace topologique s´epar´e localement compact (cad
tout point admet un voisinage compact), mais non compact. On se donne un point
ω6∈ Xet on pose ˆ X:= X∪ {ω}. Soit Oun sous-ensemble de ˆ X: on dit que Oest
un ouvert de ˆ Xsi
— Soit O=∅,
— Soit Oest un ouvert de X,
— Soit il existe K⊂Xcompact tel que O= (X\K)∪ {∞}.
(1) Montrez que ceci d´efinit une topologie sur ˆ X
(2) Montrez que, muni de cette topologie, ˆ Xest compact. On dit que ˆ Xest le
compactifi´e d’Alexandrov de X.
(3) Montrez que le compactifi´e d’Alexandrov de Rpeut ˆetre assimil´e au cercle C
de centre 0 et de rayon 1.
NB : en devoir, la question de l’unicit´e sera ´etudi´ee.
Exercice 3 : Soit (X, d) un espace m´etrique. On se propose de montrer l’´equivalence
des assertions suivantes :
(i) Xest compact
(ii) Xest complet et pr´ecompact, i.e. pour tout  > 0, il existe un recouvrement
fini de Xpar des boules de rayon .
(1) Montrez que (i)⇒(ii).
(2) Dor´enavant, on suppose que (ii) a lieu. On se donne une suite (xn)n∈XN:
on va en extraire une sous-suite convergente.
(a) Montrez qu’il existe une sous-suite (xj1(n)) dont tous les ´el´ements sont
dans la mˆeme boule de rayon 1/2.
(b) On fixe k≥1 un entier. Montrez qu’il existe j1, ..., jk:N→Ntels que
pour tout 1 ≤l≤k, tous les ´el´ements de la suite (xj1◦..◦jl(n)) sont dans
une boule de rayon 1/2l.
(c) On pose j(n) := j1◦... ◦jn(n) pour n≥1. Montrez que (xj(n)) est une
sous-suite de (xn), et que Xest compact.
Exercice 4 : Soit Fune fonction r´eelle continue sur [0,1]2. Soit
C:= C0([0,1],[0,1]).
On utilise dans tout cet exercice la distance de la convergence uniforme.
1

2
(1) Soit f∈C. Montrez que, pour tout s∈[0,1], la fonction
t7→ F(s, f(t)) sur [0,1]
est continue. On pose
g(s) := Z1
0
F(s, f(t)) dt.
Montrez que g∈C0([0,1],R).
(2) On a donc d´efini une application f7→ gde Cvers C0([0,1],R). Soit ϕcette
application. Montrez que ϕest uniform´ement continue.
(3) Montrez que dans C0([0,1],R), ϕ(C) a une adh´erence compacte.
Exercice 5 : Soit Xun espace m´etrique compact. Soit H ⊂ C0(X, C) un ensemble
tel que :
(i) Hcontient les constantes,
(ii) Hest stable par somme et par produit,
(iii) pour tout u∈ H, ¯u∈ H,
(iv) pour tous x, y ∈Xdistincts, il existe u∈ H tel que u(x)6=u(y).
On cherche `a montrer que Hest dense dans C0(X, C). Pour cela, on va utiliser le
th´eor`eme de Stone-Weierstrass r´eel vu en cours. On pose
Hr:= {Re(u)/ u ∈ H} et Hi:= {Im(u)/ u ∈ H}.
(1) Montrez que Hr:= H ∩ C0(X, R).
(2) En utilisant le th´eor`eme de Stone-Weierstrass du cours, montrez que Hret
Hisont denses dans C0(X, R).
(3) Montrez que Hest dense dans C0(X, C).
Exercice 6 : Montrer que si (X, d) est un espace m´etrique compact alors l’alg`ebre
C0(X, R), munie de la norme infinie, est une alg`ebre de Banach s´eparable. [On
pourra consid´erer des fonctions distance `a des points de Xbien choisis.]