TD2 - IECL - Université de Lorraine

Université de Lorraine
Département de Mathématiques
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Master 1 Mathématiques
F.Robert, J.Maubon
2014-2015
TD2 : Théorèmes d’Ascoli et de Stone-Weierstraß
Exercice 1 : Soit (X, d) un espace métrique compact. Montrez que (X, d) est
séparable.
Exercice 2 : Soit (X, T ) un espace topologique séparé localement compact (cad
tout point admet un voisinage compact), mais non compact. On se donne un point
ω 6∈ X et on pose X̂ := X ∪ {ω}. Soit O un sous-ensemble de X̂ : on dit que O est
un ouvert de X̂ si
— Soit O = ∅,
— Soit O est un ouvert de X,
— Soit il existe K ⊂ X compact tel que O = (X \ K) ∪ {∞}.
(1) Montrez que ceci définit une topologie sur X̂
(2) Montrez que, muni de cette topologie, X̂ est compact. On dit que X̂ est le
compactifié d’Alexandrov de X.
(3) Montrez que le compactifié d’Alexandrov de R peut être assimilé au cercle C
de centre 0 et de rayon 1.
NB : en devoir, la question de l’unicité sera étudiée.
Exercice 3 : Soit (X, d) un espace métrique. On se propose de montrer l’équivalence
des assertions suivantes :
(i) X est compact
(ii) X est complet et précompact, i.e. pour tout > 0, il existe un recouvrement
fini de X par des boules de rayon .
(1) Montrez que (i)⇒(ii).
(2) Dorénavant, on suppose que (ii) a lieu. On se donne une suite (xn )n ∈ X N :
on va en extraire une sous-suite convergente.
(a) Montrez qu’il existe une sous-suite (xj1 (n) ) dont tous les éléments sont
dans la même boule de rayon 1/2.
(b) On fixe k ≥ 1 un entier. Montrez qu’il existe j1 , ..., jk : N → N tels que
pour tout 1 ≤ l ≤ k, tous les éléments de la suite (xj1 ◦..◦jl (n) ) sont dans
une boule de rayon 1/2l .
(c) On pose j(n) := j1 ◦ ... ◦ jn (n) pour n ≥ 1. Montrez que (xj(n) ) est une
sous-suite de (xn ), et que X est compact.
Exercice 4 : Soit F une fonction réelle continue sur [0, 1]2 . Soit
C := C 0 ([0, 1], [0, 1]).
On utilise dans tout cet exercice la distance de la convergence uniforme.
1
2
(1) Soit f ∈ C. Montrez que, pour tout s ∈ [0, 1], la fonction
t 7→ F (s, f (t)) sur [0, 1]
est continue. On pose
Z
1
g(s) :=
F (s, f (t)) dt.
0
Montrez que g ∈ C 0 ([0, 1], R).
(2) On a donc défini une application f 7→ g de C vers C 0 ([0, 1], R). Soit ϕ cette
application. Montrez que ϕ est uniformément continue.
(3) Montrez que dans C 0 ([0, 1], R), ϕ(C) a une adhérence compacte.
Exercice 5 : Soit X un espace métrique compact. Soit H ⊂ C 0 (X, C) un ensemble
tel que :
(i) H contient les constantes,
(ii) H est stable par somme et par produit,
(iii) pour tout u ∈ H, ū ∈ H,
(iv) pour tous x, y ∈ X distincts, il existe u ∈ H tel que u(x) 6= u(y).
On cherche à montrer que H est dense dans C 0 (X, C). Pour cela, on va utiliser le
théorème de Stone-Weierstrass réel vu en cours. On pose
Hr := {Re(u)/ u ∈ H} et Hi := {Im(u)/ u ∈ H}.
(1) Montrez que Hr := H ∩ C 0 (X, R).
(2) En utilisant le théorème de Stone-Weierstrass du cours, montrez que Hr et
Hi sont denses dans C 0 (X, R).
(3) Montrez que H est dense dans C 0 (X, C).
Exercice 6 : Montrer que si (X, d) est un espace métrique compact alors l’algèbre
C 0 (X, R), munie de la norme infinie, est une algèbre de Banach séparable. [On
pourra considérer des fonctions distance à des points de X bien choisis.]