Algèbre et géométrie II Série 4

Algèbre et géométrie II
Cours du Prof. Dr. Anand Dessai
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 4
À rendre avant le jeudi 20 mars, 16h
Exercice 0
Soit X un espace topologique compact. Montrez que X + est la somme topologique de X et
d'un point à l'inni.
(Compactiés d'Alexandrov)
(a) Décrivez les compactiés d'Alexandrov de
Exercice 1
R, B1 (0) = {x ∈ R2 ||x| < 1}, B 1 (0) = {x ∈ R2 ||x| ≤ 1}.
(b) On dit que U ⊂ X + est ouvert dans le compactié d'Alexandrov de X si l'une des conditions
suivantes est satisfaite :
(i) U est ouvert dans X ,
(ii) U = X + − C où C ⊂ X est un sous-ensemble compact.
Montrez que cela dénit une topologie sur X + .
(Produits d'espaces topologiques, 6 points)
Soient X1 , X2 et Y des espaces topologiques. On suppose que X1 et X2 sont non-vides.
1. Montrez que le produit X1 × X2 est compact si et seulement si X1 et X2 sont compacts.
2. Montrez que le produit X1 × X2 est Hausdor si et seulement si X1 et X2 sont Hausdor.
3. Montrez que la donnée d'une application continue f : Y −→ X1 × X2 est équivalente à
la donnée d'une paire d'applications continues f1 : Y −→ X1 et f2 : Y −→ X2 .
Exercice 2
(Graphe d'une application)
Soit f : X → Y une application entre deux espaces topologiques.
(a) Montrez que si f est continue et Y Hausdor, alors le graphe
Exercice 3
Gf := {(x, f (x)) ∈ X × Y |x ∈ X}
est fermé dans X × Y .
(b) Inversement, montrez que si Gf est fermé et Y compact, alors f est continue.
(2 points)
Soit Y = {p, q} muni de la topologie grossière O = {∅, Y }, N>0 = {1, 2, 3, . . .} muni de la
topologie discrète et X := Y × N>0 muni de la topologie produit. Montrez que chaque sousensemble non vide A ⊂ X a un point d'accumulation.
Exercice 4
(Innité de nombres premiers, bonus, 4 points)
Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe une innité de nombres premiers en considérant
une topologie sur Z.
Pour a ∈ N \ {0} et b ∈ Z, on dénit l'ensemble
Exercice 5
Za,b = an + b : n ∈ Z ⊂ Z.
1. Montrez que l'ensemble T constitué de ∅ et des unions d'ensembles Za,b dénit une topologie sur Z.
2. Montrez que tous les ouverts sauf ∅ possèdent une innité d'éléments.
3. Supposons que l'ensemble P des nombres premiers soit ni, disons P = {p1 , . . . , pr }.
Ecrivez Z \ {−1, 1} à l'aide des ensembles Zpi ,bi .
4. Trouvez une contradiction.