DM8 Partie I. Généralités et exemples Partie II. Matrices nilpotentes

PSI-Pasteur 2015/16 DM8
Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2 et Mn(R) l’ensemble des matrices carr´ees poss´edant n
lignes et ncolonnes dont les coefficients sont r´eels. On note Inla matrice identit´e de Mn(R) ,
et Dnl’ensemble des matrices M= (mi,j )16i,j6nde Mn(R) v´erifiant :
(i) les coefficients diagonaux m1,1, ..., mn,n de la matrice Msont des valeurs propres de M
(ii) la matrice Mn’a pas d’autres valeurs propres que les nombres m1,1, ..., mn,n.
Partie I. G´en´eralit´es et exemples
1. Montrer que toute matrice triangulaire de Mn(R) appartient `a Dn.
2. Montrer que si M∈Dnalors M+αIn∈Dnpour tout α∈R.
3. L’ensemble Dnest-il un sous-espace vectoriel de Mn(R) ?
4. Montrer que D2ne contient que des matrices triangulaires (sup´erieures ou inf´erieures).
5. Pour tout t∈R, soit M(t) = 
3 1 1 + t
0 2 −1−t
1 1 4 + 2t
.
a) D´eterminer l’ensemble des valeurs propres de la matrice M(t) selon la valeur de t.
En d´eduire les valeurs de tpour lesquelles M(t)∈D3.
b) D´eterminer les valeurs de tpour lesquelles la matrice M(t) est diagonalisable.
Partie II. Matrices nilpotentes
Une matrice Mde Mn(R) est dite nilpotente lorsqu’il existe un entier naturel pnon nul tel
que la matrice Mpsoit la matrice nulle.
1. Montrer qu’une matrice Mde Mn(R) est nilpotente si, et seulement si, 0 est sa seule et
unique valeur propre complexe.
2. Soit (a, b, c, d, e, f)∈R6. On consid`ere la matrice M=
0a b
c0d
e f 0
.
On d´efinit les r´eels γ(M) = ac +df +be et δ(M) = bcf +ade .
a) ´ Etablir l’´egalit´e M3=γ(M)M+δ(M)I3.
b) Montrer que Mest nilpotente si, et seulement si, γ(M) et δ(M) sont nuls.
c) On suppose a=b=d= 1 .
Justifier l’existence d’une infinit´e de triplets (c, e, f) tels que Msoit nilpotente.
d) En d´eduire que D3contient une infinit´e de matrices nilpotentes non triangulaires.
e) Exhiber une matrice de D3dont les coefficients sont tous non nuls.