Matrices, appliations linéaires.

Neuvième feuille d’exercices.
bXc
Sur les matrices d’applications linéaires.
Exercice 1. Soit Nune matrice nilpotente. Montrer que Idn−Nest inversible. Une
matrice nilpotente est-elle inversible ?
Exercice 2. Montrer que GLn(R) est un groupe commutatif si et seulement si n=1.
Exercice 3. Soit nun entier. Donne une condition sur npour que l’application Tr :
Mn(R)→Rsoit un isomorphisme.
Exercice 4. Soit A∈Mn(R) une matrice. Montrez que A∈GLn(R) si et seulement si A
possède un polynôme annulateur P∈R[X] tel que P(0) 6= 0. En déduire que A∈GLn(R),
alors A−1est un polynôme en A.
Exercice 5. une matrice nilpotente est-elle inversible ?
Exercice 6. Soit Aune matrice nilpotente de taille n.
1. Montrer que ses valeurs propres sont nulles.
2. En déduire que An=0.
Exercice 7. Soit On(R) l’ensemble des matrices telles que U×(tU)=Idn. Montrer que
c’est un groupe et qu’il est contenu dans GLn(R).
Exercice 8. Montrer que tr(AB)=tr(B A).
Exercice 9. Que dire d’une matrice Atelle que tr(AtA)=0 ?
Exercice 10. L’ensemble des matrices inversibles est-il un espace vectoriel ? Un an-
neau ? Un groupe ?
Exercice 11. Que dire d’une matrice nilpotente dont tous le termes sont strictement
positifs ?
Exercice 12. Soit M=(mi,j)i,j≤nune matrice à coefficients réels. On suppose que pour
tout i∈{1,...,n}, on a
|mi,i| > X
j6=i
|ai,j|
Montrer que l’application linéaire associée à Aest injective.
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