Matrices, appliations linéaires.

Neuvième feuille d’exercices.
bXc
Sur les matrices d’applications linéaires.
Exercice 1. Soit N une matrice nilpotente. Montrer que Idn − N est inversible. Une
matrice nilpotente est-elle inversible ?
Exercice 2. Montrer que GLn (R) est un groupe commutatif si et seulement si n = 1.
Exercice 3. Soit n un entier. Donne une condition sur n pour que l’application Tr :
Mn (R) → R soit un isomorphisme.
Exercice 4. Soit A ∈ Mn (R) une matrice. Montrez que A ∈ GLn (R) si et seulement si A
possède un polynôme annulateur P ∈ R[X ] tel que P (0) 6= 0. En déduire que A ∈ GLn (R),
alors A −1 est un polynôme en A.
Exercice 5. une matrice nilpotente est-elle inversible ?
Exercice 6. Soit A une matrice nilpotente de taille n.
1. Montrer que ses valeurs propres sont nulles.
2. En déduire que A n = 0.
Exercice 7. Soit On (R) l’ensemble des matrices telles que U × (tU ) = Idn . Montrer que
c’est un groupe et qu’il est contenu dans GLn (R).
Exercice 8. Montrer que tr(AB ) = tr(B A).
Exercice 9. Que dire d’une matrice A telle que tr(A t A) = 0 ?
Exercice 10. L’ensemble des matrices inversibles est-il un espace vectoriel ? Un anneau ? Un groupe ?
Exercice 11. Que dire d’une matrice nilpotente dont tous le termes sont strictement
positifs ?
Exercice 12. Soit M = (m i , j )i , j ≤n une matrice à coefficients réels. On suppose que pour
tout i ∈ {1, ..., n}, on a
X
|m i ,i | >
|a i , j |
j 6=i
Montrer que l’application linéaire associée à A est injective.
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