Algèbre session contrôle

ISITCOM HAMMAM SOUSSE
EXAMEN
Classe : Premi`ere ann´ee licence T´el´ecom .
Mati`ere: Alg`ebre 1
Documents et Calculatrices Non Au-
toris´es
Dur´ee: 1H30
Date: 02/06/2014.
A. U.: 2013/2014
Session : Contrˆole
Nombre Total de Pages: 2
Exercice 1 (10 points)
I. Soient B(X) et A(X) les polynˆomes donn´es par:
A(X) = X53X4+ 4X34X2+ 3X+ 1 et B(X) = X42X3+ 2X22X+ 1.
1. En utilisant une division euclidienne, montrer que
A(X)=(X1)B(X)+2.
2. Montrer que 1 est une racine double de B(X).
3. En d´eduire que B(X)=(X1)2(X2+ 1).
II. Soit F(X) la fraction rationnelle donn´ee par:
F(X) = A(X)
B(X).
1. Montrer que F(X) = X1 + 2
(X1)2(X2+ 1)
2. D´ecomposition F(X) en ´el´ements simples dans IR(X).
Exercice 2 (10 points)
Soient la matrice Adonn´ee par
A=
010
001
000
.
Pour tout nombre r´eel xon associe la matrice
M(x) = I3+xA +x2
2A2(?)
o`u I3est la matrice unit´e d’ordre 3.
1. Calculer A2et A3et en d´eduire, pour tout entier naturel n, la valeur de
An.
2. Calculer en utilisant la formule (?) le produit M(x)M(y) et montrer que
M(x)M(y) = M(x+y) (??).
3. En d´eduire que pour tout entier naturel n: [M(x)]n=M(nx). Reconnaˆıtre
alors M(0).

4. Ecrire les matrices M(x) et [M(x)]nsous forme de tableaux.
5. Justifier l’inversibilit´e de la matrice M(x) sans chercher `a calculer son
inverse.
6. D´eterminer l’inverse de M(x) en n’utilisant que la relation (??).
7. Soit la matrice B=
148
014
001
.D´eduire des questions pr´ec´edentes les
matrices B−1et Bn.