Matrice nilpotente - Campus

Matrice nilpotente
SoitEun K-espace vectoriel de dimension n > 0 et une base B=( #»
e1,...,#» en). Pour
A∈Mn(R) on notera fAl’endomorphisme de Edont la matrice est Adans la base B.
Une matrice A∈Mn(R) est nilpotente s’il existe un entier p∈Ntel que Ap= 0, et on
appellera indice de Ale plus petit entier pv´erifiant Ap= 0.
On notera :
–Nl’ensemble des matrices nilpotentes de Mn(R),
–Tl’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures de Mn(R),
–Ekle sous-espace vectoriel de Eengendr´e par (#» e1,...,#» ek),1 ≤k≤n, et E0={#» 0}.
1
1. Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) appartient `a Tsi et seulement si pour tout
entier k∈ {1,...,n}Ekest stable par f.
2. Montrer que Test une sous-alg`ebre de Mn(R).
3. Soit A∈T. Montrer que A∈GLn(R) si et seulement si :
pour tout entier k∈ {1,...,n}, fA(Ek) = Ek
4. On note A= (ai,j ). Montrer que la condition pr´ec´edente ´equivaut `a : ∀i, ai,i 6= 0.
5. Montrer que si A∈T∩GLn(R) alors A−1∈T.
MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION NATIONALE
MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE
T
Devoir n°2
Pierre Burg
Capes externe de mathématique
Epreuve d’admissibilité
Algèbre et géométrie
1
1-2507-DV-WB-02-13

2
Soit A= (ai,j )∈Tdont tous les coefficients diagonaux ai,i sont nuls.
1. Montrer que Aest nilpotente d’indice p≤n.
2. Montrer que l’indice de Aest exactement nsi et seulement si, pour tout iv´erifiant
1≤i≤n−1, les coefficients ai,i+1 sont tous non nuls.
3
Soit Aune matrice nilpotente.
1. Soit P∈GLn(R). Montrer que P AP −1est nilpotente de mˆeme indice que A.
2. Montrer alors qu’il existe une base (#» v1,...,#» vn) dans laquelle la matrice de fest
triangulaire sup´erieure `a diagonale nulle.
3. Que peut-on dire de l’indice de A?
4. Pour n= 2, trouver une matrice nilpotente non triangulaire.
5. Montrer que tr(Ak) = 0 pour tout k∈N∗.
6. Montrer que r´eciproquement, si tr(Ak) = 0 pour tout k∈N∗alors Aest nilpotente.
4
Soient Aet Bdeux matrices nilpotentes v´erifiant AB =BA.
1. Montrer que A+Best nilpotente,
2. Pour λ∈R, que vaut (A+λB)n?
3. Montrer que si pet qsont deux entiers naturels tels que p+q≥n, alors ApBq= 0.
5
Soient Aet Bdeux matrices de Mn(R).
1. On suppose que Aet Bv´erifient AB −BA =B. Prouver que Best nilpotente.
2. On pose [A, B] = AB −BA et on suppose que [A, [A, B]] = 0
– Prouver que [A, B] est nilpotente.
– On suppose Anilpotente. Prouver que A.B l’est aussi.
6
Soit Aune matrice nilpotente, on pose exp(A) =
n−1
X
k=0
Ak
k!.
1. Montrer que exp(A)−Iest nilpotente,
2
1-2507-DV-WB-02-13

2. Soient Aet Bnilpotentes tels que AB =BA.
Montrer que exp(A+B) = exp(A)×exp(B),
3. En d´eduire que exp(A) est inversible,
4. Montrer plus g´en´eralement, que toute matrice Mtelle que M−Isoit nilpotente, est
inversible.
7
Soient Aet Bdeux matrices telles que AB =BA et Bnilpotente.
1. D´emontrer que A+Best inversible si, et seulement si Aest inversible.
2. D´emontrer que det(A+B) = det(A)
8
On suppose n≥2 et on consid`ere les polynˆomes :
P= 1 + X+X2
2! +· · ·+Xn−1 (n−1)!
Q=X−X2
2+· · ·+(−1)nXn−1 (n−1)
1. Montrer que la valuation de P(Q(X)) −(1 + X) est sup´erieure ou ´egale `a n.
2. Soit A=I+No`u Nest une matrice nilpotente. Montrer que P(Q(N)) = A.
3. Simplifier Q(P(N)−I).
9
Notons Ul’ensemble des matrices Atelle que I−Asoit nilpotente.
1. Prouver que l’application exp est une bijection de Nsur U.
2. Montrer que pour tout entier k∈N∗, l’application A→Akest une bijection de U
sur U.
3
1-2507-DV-WB-02-13