Matrice nilpotente - Campus

MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION NATIONALE
MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE
T
Capes externe de mathématique
Epreuve d’admissibilité
Algèbre et géométrie
Devoir n°2
Pierre Burg
Matrice nilpotente
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n > 0 et une base B =( #»
e 1 , . . . , #»
e n ). Pour
A ∈ Mn (R) on notera fA l’endomorphisme de E dont la matrice est A dans la base B.
Une matrice A ∈ Mn (R) est nilpotente s’il existe un entier p ∈ N tel que Ap = 0, et on
appellera indice de A le plus petit entier p vérifiant Ap = 0.
On notera :
– N l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn (R),
– T l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de Mn (R),
#»
– Ek le sous-espace vectoriel de E engendré par ( #»
e 1 , . . . , #»
e k ),1 ≤ k ≤ n, et E0 = { 0 }.
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1. Montrer qu’une matrice A ∈ Mn (R) appartient à T si et seulement si pour tout
entier k ∈ {1, . . . , n} Ek est stable par f .
2. Montrer que T est une sous-algèbre de Mn (R).
3. Soit A ∈ T. Montrer que A ∈ GLn (R) si et seulement si :
pour tout entier k ∈ {1, . . . , n}, fA (Ek ) = Ek
4. On note A = (ai,j ). Montrer que la condition précédente équivaut à : ∀i, ai,i 6= 0.
5. Montrer que si A ∈ T ∩ GLn (R) alors A−1 ∈ T.
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2
Soit A = (ai,j ) ∈ T dont tous les coefficients diagonaux ai,i sont nuls.
1. Montrer que A est nilpotente d’indice p ≤ n.
2. Montrer que l’indice de A est exactement n si et seulement si, pour tout i vérifiant
1 ≤ i ≤ n − 1, les coefficients ai,i+1 sont tous non nuls.
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Soit A une matrice nilpotente.
1. Soit P ∈ GLn (R). Montrer que P AP −1 est nilpotente de même indice que A.
2. Montrer alors qu’il existe une base ( #»
v 1 , . . . , #»
v n ) dans laquelle la matrice de f est
triangulaire supérieure à diagonale nulle.
3. Que peut-on dire de l’indice de A ?
4. Pour n = 2, trouver une matrice nilpotente non triangulaire.
5. Montrer que tr(Ak ) = 0 pour tout k ∈ N∗ .
6. Montrer que réciproquement, si tr(Ak ) = 0 pour tout k ∈ N∗ alors A est nilpotente.
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Soient A et B deux matrices nilpotentes vérifiant AB = BA.
1. Montrer que A + B est nilpotente,
2. Pour λ ∈ R, que vaut (A + λB)n ?
3. Montrer que si p et q sont deux entiers naturels tels que p + q ≥ n, alors Ap B q = 0.
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Soient A et B deux matrices de Mn (R).
1. On suppose que A et B vérifient AB − BA = B. Prouver que B est nilpotente.
2. On pose [A, B] = AB − BA et on suppose que [A, [A, B]] = 0
– Prouver que [A, B] est nilpotente.
– On suppose A nilpotente. Prouver que A.B l’est aussi.
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Soit A une matrice nilpotente, on pose exp(A) =
n−1
X
Ak
k=0
k!
.
1. Montrer que exp(A) − I est nilpotente,
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2. Soient A et B nilpotentes tels que AB = BA.
Montrer que exp(A + B) = exp(A) × exp(B),
3. En déduire que exp(A) est inversible,
4. Montrer plus généralement, que toute matrice M telle que M − I soit nilpotente, est
inversible.
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Soient A et B deux matrices telles que AB = BA et B nilpotente.
1. Démontrer que A + B est inversible si, et seulement si A est inversible.
2. Démontrer que det(A + B) = det(A)
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On suppose n ≥ 2 et on considère les polynômes :

n−1
2

 P = 1+X + X +···+ X

2!
(n − 1)!
2
X
(−1)n X n−1


+···+
 Q=X−
2
(n − 1)
1. Montrer que la valuation de P (Q(X)) − (1 + X) est supérieure ou égale à n.
2. Soit A = I + N où N est une matrice nilpotente. Montrer que P (Q(N)) = A.
3. Simplifier Q(P (N) − I).
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Notons U l’ensemble des matrices A telle que I − A soit nilpotente.
1. Prouver que l’application exp est une bijection de N sur U.
2. Montrer que pour tout entier k ∈ N∗ , l’application A → Ak est une bijection de U
sur U.
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