x - Math Plp

Analyse.
Partie I. Recherche de primitives.
Le réel α est supposé non nul et l'entier n strictement positif.
I-1. On note f la fonction f : x 7−→ xn (A cos(α x) + B sin(α x))
La fonction f est la somme de deux fonctions continues sur R, une primitive de la fonction f
est déterminée par l'intégrale dénie :
Z x
F (x) =
tn (A cos(α t) + B sin(α t)) dt
0
Z
x
= A
Z
x
n
t cos(α t) dt + B
0
tn sin(α t) dt
0
n
La fonction monôme, x 7−→ x , est indéniment dérivable sur R.
Les deux fonctions trigonométriques, x 7−→ cos(α x) et x 7−→ sin(α x), sont continues sur R.
Deux intégrations par parties sont légitimes qui donnent :
·
¸x
Z
A n
A n x n−1
F (x) =
t sin(α t) −
t
sin(α t) dt
α
α 0
0
·
¸x
Z
B n x n−1
B n
−
t cos(α t) +
t
cos(α t) dt
α
α 0
0
Pour n = 1, nous obtenons :
Z
Z
B
A x
B x
A
sin(α t) dt − x cos(α x) +
cos(α t) dt
x sin(α x) −
F (x) =
α
α 0
α
α 0
µ
¶
µ
¶
A
B
B
A
A
=
x + 2 sin(α x) −
x − 2 cos(α x) − 2
α
α
α
α
α
Le résultat du calcul est conrmé par la machine ( gure 1 ), même si on peut regretter que celle
ci ne tienne pas compte de la casse.
gure 1.
gure 2.
La proposition est donc établie à l'ordre n = 1, nous la supposons vériée jusqu'à l'ordre n − 1
et notamment à l'ordre n − 1 :
A n n−1
B n n−1
Toute primitive de la fonction x 7−→
x
sin(α x) −
x
cos(α x) peut s'écrire sous
α
α
la forme : x 7−→ P (x) cos(α x) + Q(x) sin(α x) + K où P et Q sont des polynômes de degré
inférieur ou égal à n − 1 et K une constante.
Pour 2 ≤ n le calcul général nous donne :
Z
Z
A n
A n x n−1
B n
B n x n−1
F (x) =
x sin(α x) −
t
sin(α t) dt − x cos(α t) +
t
cos(α t) dt
α
α 0
α
α 0
¶
Z xµ
B n
A n n−1
B n n−1
A n
x sin(α x) − x cos(α x) −
t
sin(α t) −
t
cos(α t) dt
=
α
α
α
α
0
Bnal0407, page 1/8 - 6 juillet 2007
En appliquant l'hypothèse de récurrence, cela donne :
µ
¶
µ
¶
A n
B n
F (x) =
x − Q(x) sin(α x) −
x − P (x) cos(α x) − K
α
α
La proposition est établie à l'ordre n.
La proposition, vériée à l'ordre n = 1 et démontrée par récurrence est donc établie pour tout
entier n positif :
Une primitive, F , de f peut s'écrire sous la forme générale :
F (x) = P (x) cos(α x) + Q(x) sin(α x) + K
où P et Q sont des polynômes de degré au plus égal à n et K une constante.
A titre d'exemple, nous vous proposons le calcul eectué à la machine pour n = 2 ( gure 2 ).
Comme pour le calcul précédent, nous avons calculé deux fois le même résultat pour acher
simultanément le début et la n d'une ligne qui dépasse la largeur de l'écran.
I-2. Nous reprenons le calcul précédent en l'anant :
L'intégration par parties donne :
¸x
·
Z
n x n−1
1 n
Gn (x) =
t sin(α t) −
t
sin(α t) dt
α
α 0
0
Z
1 n
n x n−1
=
x sin(α t) −
t
sin(α t) dt
α
α 0
1≤n
D'après la question précédente, la dernière intégrale peut s'écrire sous la forme :
Z x
tn−1 sin(α t) dt = Pn−1 (x) cos(α x) + Qn−1 (x) sin(α x) + Kn−1
0
où Pn−1 et Qn−1 sont des polynômes de degré au plus égal à n − 1.
Nous en déduisons qu'une primitive, Gn , de la fonction g : x 7−→ xn cos(α x) peut s'écrire sous
la forme :
Gn (x) = Pn (x) cos(α x) + Qn (x) sin(α x) + Kn
où Pn est un polynôme de degré au plus égal à n − 1 et Qn un polynôme de degré n.
1 n
Remarquons que le monôme de poids fort du polynôme Qn s'écrit toujours :
x .
α
I-3. Les polynômes Pn et Qn sont dénis par la relation :
Z x
Pn (x) cos(α x) + Qn (x) sin(α x) + Kn =
tn cos(α t) dt
0
Nous savons que Pn est un polynôme de degré n − 1 et Qn un polynôme de degré n.
En dérivant l'identité précédente, nous obtenons l'identité :
Pn0 (x) cos(α x) − α Pn (x) sin(α x) + Q0n (x) sin(α x) + α Qn (x) cos(α x) = xn cos(α x)
Par identication cela donne :
Nous en tirons :
½
½
Pn0 (x) + α Qn (x) = xn
Q0n (x) − α Pn (x) = 0
(1)
Pn0 (x) + α Qn (x) = xn
Q00n (x) = α Pn0 (x)
Pour que les polynômes Pn et Qn soient solution du système diérentiel (1) ci-dessus, il faut
que le polynôme Qn soit solution de l'équation linéaire du second ordre suivante :
Q00n (x) + α2 Qn (x) = α xn
(Eq )
Bnal0407, page 2/8 - 6 juillet 2007
I-4. La solution, ϕ, de l'équation sans second membre est classique :
ϕ(x) = A cos(α x) + B sin(α x)
Une solution particulière de l'équation avec second membre est un polynôme de degré n dont
nous calculons les coecients ai :
n
X
Φ(x) =
ai xi
i=0
En reportant dans l'équation (Eq ), nous obtenons les conditions :


α2 an = α

α2 an−1 = 0

 i (i − 1) a + α2 a
2≤i<n−1
i
i−2 = 0
Une récurrence élémentaire nous donne :

n!
(−1)i


×
an−2 i =
2
i+1
α
(n − 2 i) !

 an−2 i−1 = 0
n
2
n
0≤i<
2
0≤i≤
La solution générale de l'équation (Eq ) est ainsi ( gures 3 et 4 ) :
X
A cos(α x) + B sin(α x) +
0≤i≤
n
2
(−1)i
n!
×
× xn−2 i
α2 i+1 (n − 2 i) !
Les gures 3 et 4, ci-dessous montrent quelques cas particuliers obtenus sur la calculatrice.
gure 3.
gure 4.
La seule solution polynomiale de l'équation (Eq ) est la solution particulière :
X
Φ(x) =
n
2
0≤i≤
Donc :
X
Qn (x) =
0≤i≤
n
2
n!
(−1)i
×
× xn−2 i
2
i+1
α
(n − 2 i) !
n!
(−1)i
×
× xn−2 i
2
i+1
α
(n − 2 i) !
En reportant dans le système (1) de la question I-3, nous obtenons :
Pn (x) =
X
0≤i≤
n−1
2
(−1)i
n!
×
× xn−2 i−1
2
(i+1)
α
(n − 2 i − 1) !
Il est possible de reporter cette expression dans le système (1) pour vérier le résultat.
Bnal0407, page 3/8 - 6 juillet 2007
Les gures 5 et 6 donnent quelques exemples de la fonction
x 7−→ Gn (x) = Pn (x) cos(α x) + Qn (x) sin(α x) + K
pour les premières valeurs de n :
gure 5.
gure 6.
I-5. La fonction cosinus étant paire, la fonction x 7−→ xn cos(α x) est paire si n est pair et impaire
si n est impair.
Pour n = 0, un calcul direct donne immédiatement le résultat ( gure 7 ) :
·
¸x
Z x
1
cos(α t) dt =
sin(α t)
α
−x
−x
2
sin(α x)
α
Le segment d'intégration étant symétrique par rapport à zéro, l'intégrale d'une fonction impaire
sur ce segment est nulle ( gure 8 ) :
Z x
Pour n impair,
tn cos(α t) dt = 0.
=
Z
Pour n pair,
−x
x
Z
x
n
t cos(α t) dt =
−x
Z
−x
n
t cos(α t) dt −
0
Z
x
n
t cos(α t) dt = 2
0
0
Dans ce dernier cas, les résultats de la question I-4 donnent :
Z x
tn cos(α t) dt = 2 (Pn (x) cos(α x) + Qn (x) sin(α x))
−x
tn cos(α t) dt.
(2)
La fonction à intégrer étant paire, l'intégrale prise entre zéro et x est une fonction impaire de
sa borne supérieure x, on en déduit que le polynôme Pn ne contient que des monômes de degré
impair et le polynôme Qn ne contient que des monômes de degré pair.
Quelques calculs eectués à la machine conrment notre propos :
gure 7.
gure 8.
1 2
2
1
2
x − 3 et donc P2 (x) = Q02 (x) = 2 x.
α
α
α
α
µ
¶
Z π
4π
2 2
4
Nous en déduisons (2) :
t2 cos(α t) dt = 2 cos(α π) +
π − 3 sin(α π).
α
α
α
−π
I-6. En particulier pour n = 2, nous avons Q2 (x) =
Bnal0407, page 4/8 - 6 juillet 2007
Partie II. Etude d'une série de Fourier.
II-1. Représentation de la fonction f telle que f (x) = 1 −
x2
sur ]− π, π].
π2
y
1.5
y = f(x)
0.5
−4 −π
0
−2
2
π
4
6
8
3π
x
−0.5
gure 9.
La même représentation peut être eectuée sur une calculatrice ( gures 10 et 11 ).
gure 10.
gure 11.
On remarque l'emploi de la fonction alternative when utilisée à la place de la syntaxe plus
classique ( ? : ) courante sur d'autres systèmes :
Dene f(x)=1−x b 2/π b 2
Dene y1(x)=when(x<−π ,f(x+2∗π ),when(x< π ,f(x),when(x< 3 ∗ π ,f(x−2 ∗ π ),f(x−4 ∗ π ))))
II-2. La restriction de la fonction f à l'intervalle ]− π, π] est une fonction polynôme, elle y est donc
continue et dérivable et sa dérivée s'écrit :
2x
x ∈ ]− π, π]
π2
Sur l'intervalle ]π, 2, π] l'expression de la fonction f devient :
f 0 (x) = −
(x − 2 π)2
x ∈ ]π, 3 π]
π2
Nous retrouvons une fonction polynôme dont la dérivée s'écrit :
f (x) = 1 −
−2 (x − 2 π)
x ∈ ]π, 3 π]
π2
Quand x tend vers π à gauche et à droite, nous avons :
f 0 (x) =
lim f (x) = lim f (x) = 0
x→π−
x→π+
La fonction f est continue en π , elle est donc continue sur l'intervalle ]− π, 3 π].
Bnal0407, page 5/8 - 6 juillet 2007
La fonction f , continue sur un intervalle supérieur à sa période, est continue sur R.
Quand x tend vers π à gauche et à droite, nous avons :
−2
2
lim f 0 (x) =
et lim f 0 (x) =
x→π−
x→π+
π
π
La fonction f n'est pas dérivable pour toutes les valeurs de x multiples de π .
La dérivée de f est dénie sur R, sauf aux multiples de π où elle admet une discontinuité de
première espèce.
La fonction f étant continue en −π , sa restriction au segment [−π, π] est la fonction polynôme
x2
x 7−→ f (x) = 1 − 2 .
π
Ce polynôme ne contient que des termes de degré pair et le segment [−π, π] est centré sur zéro,
la restriction de la fonction f au segment [−π, π] est une fonction paire.
La périodicité de f entraîne alors sa parité sur R.
II-3. La fonction f est 2 π périodique, nous eectuons tous les calculs sur la période [−π, π].
L'expression du coecient d'ordre n de la série de Fourier exponentielle de f est ainsi :
Z π
1
cn =
e−i n t f (t) dt
2 π −π
µ
¶
Z π
1
x2
−i n t
=
e
1 − 2 dt
2 π −π
π
Le calcul, classique, ne présente pas un intérêt exceptionnel et donne ( gure 12 ) :
cn = (−1)n+1 ×
2
π2
(3)
n ∈ Z
n2
II-3. Calcul des coecients de la série de Fourier trigonométrique de la fonction f . :
• Le calcul de a0 ( qui est égal à c0 ) ne présente pas d'intérêt ( gure 12 ) :
Z π
1
a0 =
f (t) dt
2 π −π
=
• Calcul de an , 1 ≤ n :
an
1
=
π
1
=
π
Z
2
3
π
cos(n t) f (t) dt
−π
Z π
1
cos(n t) dt − 3
π
−π
Z
π
t2 cos(n t) dt
−π
Nous utilisons les résultats de la première partie en prenant α = n :
Z π
2
cos(n t) dt =
sin(n π)
n
−π
Z
= 0
π
t2 cos(n t) dt = 2 P2 (π) cos(n π) + 2 Q2 (π) sin(n π)
−π
= 2 P2 (π) cos(n π)
4π
= (−1)n × 2
n
Bnal0407, page 6/8 - 6 juillet 2007
En reportant dans l'expression de an , cela donne :
1
4π
an = − 3 × (−1)n × 2
π
n
Nous aurions aussi pu utiliser la relation : an = cn + cn .
Nous retenons ( gure 13 ) :
4π
1≤n
n2
• La fonction f étant paire, tous les coecients bn sont nuls :
an = (−1)n+1 ×
bn = 0
(4)
(5)
∀n ∈ N
gure 12.
II-5. La série à termes positifs,
∞
X
gure 13.
|an cos(n x)| est dominée indépendamment de x par une série
n=1
∞
X
1
, convergente :
de Riemann,
n2
n=1
µ
|an cos(n x)| ∈ O
n→∞
1
n2
¶
∀x ∈ R
La série de Fourier de f est donc uniformément convergente sur R.
La fonction f est continue et admet une dérivée continue par morceaux, elle vérie les
conditions de Dirichlet.
Comme f est continue, nous avons :
∞
X
an cos(n x) = f (x)
∀x ∈ R
n=0
Avec les valeurs des an obtenues plus haut, cela donne :
∞
4
2 X
−
(−1)n 2 2 cos(n x) = f (x)
3 n=1
nπ
∀x ∈ R
(6)
Partie III. Application au calcul de quelques sommes.
III-1. Pour x = π , nous avons f (π) = 0 et cos(n π) = (−1)n , l'identité (5) donne alors :
∞
2 X 4
−
=0
3 n=1 n2 π 2
Nous en tirons immédiatement :
S1 =
∞
X
1
π2
=
n2
6
n=1
La calculatrice nous conrme ce résultat ( gure 14 ).
Bnal0407, page 7/8 - 6 juillet 2007
III-2. La série (S1 ) est convergente, une sommation par paquets est légitime sous la forme :
¶
∞
∞ µ
X
X
1
1
1
=
+
n2
(2 p − 1)2 (2 p)2
n=1
p=1
Toutes les séries en cause étant convergentes, nous pouvons écrire :
¶ X
∞ µ
∞
∞
X
X
1
1
1
1
+
=
+
(2 p − 1)2 (2 p)2
(2 p − 1)2 p=1 (2 p)2
p=1
p=1
Soit encore :
∞
∞
∞
X
X
1
1
1X 1
=
+
n2
(2 p − 1)2 4 p=1 p2
n=1
p=1
En reportant la valeur de S1 , nous obtenons ( gure 14 ) :
S2 =
∞
X
p=1
1
π2
=
(2 p − 1)2
8
gure 14.
gure 15.
III-3. La fonction x 7−→ f 2 (x), continue sur le segment [−π, π], est intégrable sur ce segment et l'on
obtient ( gure 15 ) :
Z
π
f 2 (t) dt =
−π
16 π
15
L'égalité de Parseval nous donne :
1
2π
Z
π
2
f (t) dt =
−π
+∞
X
c2n
n=−∞
ou encore, en utilisant les résultats (4) et (5),
Z π
∞
1X 2
1
2
2
f (t) dt = a0 +
(an + b2n )
2 π −π
2 n=1
µ ¶2
¶2
∞ µ
2
1X
4
=
+
3
2 n=1 n2 π 2
Nous en déduisons :
et donc ( gure 15 ) :
µ
¶2
¶
∞ µ
X
4
8
4
=2×
−
2 π2
n
15
9
n=1
∞
X
π4
1
=
S3 =
n4
90
n=1
Bnal0407, page 8/8 - 6 juillet 2007