Exercices : Théorie de la mesure et probabilités M1

Universit´e Aix-Marseille I. Th´eorie de la mesure et Probabilit´es.
M1 Math´ematiques et Applications.
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TD1. Tribus et mesures.
Exercice 1: Exemples de tribus.
1. Tribu trace.
(a) Soit Tune tribu sur un ensemble Eet F⊂E. Montrez que TF={A∩F;A∈T}
est une tribu sur F(tribu trace de Tsur F).
(b) Si Eest un espace topologique et T=B(E) (B(E) est la tribu bor´elienne de E),
montrez que la tribu trace sur F, not´ee TF, est la tribu engendr´ee par la topologie
trace sur F(tribu bor´elienne de F, not´ee B(F)). [Montrez que B(F)⊂TF. Pour
montrer que TF⊂B(F), consid´erez C={A∈P(E); A∩F∈B(F)}et montrez
que Cest une tribu sur Econtenant les ouverts de E.]
Si Fest un bor´elien de E, montrez que TFest ´egale `a l’ensemble des bor´eliens
de Econtenus dans F.
2. Soit Eun ensemble infini et S={{x}, x ∈E}. D´eterminez la tribu engendr´ee par S
(distinguez les cas Ed´enombrable et non d´enombrable).
3. Soit Eun ensemble et Aun sous-ensemble de E. Trouver la tribu engendr´ee par
C={B⊂E|A⊂B}. A quelle condition obtient-on P(E) ou la tribu grossi`ere ?
Exercice 2: Tribu engendr´ee par une partition.
Soit Eun ensemble. Soit (Ai)i∈Iune partition d´enombrable de E. D´ecrire la tribu engendr´ee
par cette partition, c’est-`a-dire par le sous-ensemble de P(E) dont les ´el´ements sont les Ai.
Exercice 3: Mesure trace et restriction d’une mesure.
Soit (E, T, m) un espace mesur´e.
1. Soit F∈T. Montrer que la tribu trace de Tsur F, not´ee TF, est incluse dans T(cette
tribu est une tribu sur F). Montrer que la restriction de m`a TFest une mesure sur
TF. On l’appelle la trace de msur F. Si m(F)<∞, cette mesure est finie.
2. Soit Aune tribu incluse dans T. La restriction de m`a Aest une mesure. Est-elle finie
(resp. σ-finie) si mest finie (resp. σ-finie) ?
Exercice 4: Soit (E, T, m) un espace mesur´e fini et (An)n∈N⊂Tt.q., pour tout n∈N,
m(An) = m(E). Montrez que m(∩n∈NAn) = m(E).
Exercice 5: limites sup et inf d’ensembles.
Soit (E, T, m) un espace mesur´e et (An)n∈N⊂T. On rappelle que lim supn→+∞An=
∩n∈N∪p≥nApet lim infn→∞ An=∪n∈N∩p≥nAp.
1. On suppose qu’il existe n0∈Nt.q. m(∪p≥n0Ap)<∞. Montrez que
m(lim inf
n→∞ An)≤lim inf n→∞ m(An)≤lim sup
n→∞
m(An)≤m(lim sup
n→∞
An).
2. Donnez un exemple (c’est-`a-dire choisir (E, T, m) et (An)n∈N⊂T) pour lequel :
lim sup
n→∞
m(An)> m(lim sup
n→∞
An).
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3. Donnez un exemple avec mfinie (c’est-`a-dire m(E)<∞) pour lequel
m(lim inf
n→∞ An)<lim inf n→∞ m(An)<lim sup
n→∞
m(An)< m(lim sup
n→∞
An).
4. (Lemme de Borel-Cantelli)
On suppose que Pn∈Nm(An)<∞. Montrez que m(lim supn→∞ An) = 0.
Exercice 6: Contre exemples.
1. Soit λla mesure de Lebesgue sur B(R) et A∈B(R) t.q. λ(A) = 0. A-t-on n´ecessairement
Aferm´e ?
2. Soit (E, T) un espace mesurable et C⊂P(E) qui engendre T. On consid`ere m1et m2
des mesures sur T. Montrez que m1(A) = m2(A) pour tout A∈Cn’implique pas que
m1=m2sur T. [On pourra trouver un exemple (facile) avec (E, T) = (R,B(R)) et m1,
m2non finies. Un exemple avec (E, T) = (R,B(R)) et m1,m2finies est aussi possible
mais plus difficile `a trouver. . . ]
Exercice 7: Soit mune mesure sur B(R) t.q. pour tout intervalle Iet tout x∈Ron ait
m(I) = m(I+x) (avec I+x={a+x, a ∈I}) et m([0,1]) = 1. Montrez que pour tout
x∈R,m({x}) = 0 (i.e. mest diffuse). En d´eduire que mest la mesure de Lebesgue sur
B(R). [On pourra d´ecouper [0,1[ en qintervalles de longueur 1/q.]
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