Série de TD 1

Département de Mathématiques Probabilités de base Guelma: 2012-2013
Série de TD 1
Exercice1. Soient Ω = {1, ..., 6}et A={{1,3,5},{1,2,3}} .
1) Décrire F=σ(A), la tribu engendrée par A.
NB : Si Ωest fini, le nombre d’éléments d’une tribu sur Ωest toujours égal à 2m, avec mentier.
2) Donner la liste des éléments non-vides Gde Ftels que
si F∈ F et F⊂G, alors F=φou G
Ces éléments sont appelés les atomes de la tribu F. Ils forment une partition de l’ensemble Ωet engendrent
également la tribu F.
Exercice 2. Soit Fune tribu (ou σ-algèbre) définie sur un ensemble Ω. En se basant uniquement sur les
axiomes de la définition d’une tribu, démontrer les propriétés suivantes :
1) ∪N
n=1An∈ F,si (An)N
n=1 ⊂ F.
2) Ω∈ F.
3) ∩∞
n=1An∈ F,si (An)∞
n=1 ⊂ F.
4) ∩N
n=1An∈ F,si (An)N
n=1 ⊂ F.
5) B\A∈ F,si B⊂A, A, B ∈ F.
Exercice 3. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. En se basant uniquement sur les axiomes de la définition
d’une mesure de probabilité, démontrer les propriétés suivantes :
1) P(A)≤P(B), si A⊂B,A, B ∈ F.
2) P(∪∞
n=1Bn)≤P∞
n=1 P(Bn),si (Bn)∞
n=1 ⊂ F.
3) P(B\A) = P(B)−P(A),si A⊂B, A, B ∈ F.
4) P(Ac)=1−P(A), si A∈ F.
5) P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B), si A, B ∈ F.
Exercice 4.
Soit Xune variable aléatoire définie sur un espace de probabilité (Ω,F,P)et Yla variable aléatoire définie
par Y(ω) = exp(X(ω)), ω ∈Ω.
1) Quelles valeurs la variable aléatoire Ypeut-elle prendre ? Exprimer sa fonction de répartition FYen
fonction de FX.
2) Supposons que Xsoit une variable aléatoire continue. Yest alors également continue ; exprimer sa densité
fYen fonction de fX.
3) Supposons X∼ N (0,1) ; calculer fYet P(Y≤1).
Remarque : dans ce dernier cas, la loi de Yest appelée la loi log-normale ; cette loi est fréquemment utilisée
en finance pour modéliser le prix des actions.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications -1-