Module de Probabilités - ENS TD 1 : Espace probabilisé

Module de Probabilités - ENS
TD 1 : Espace probabilisé
Exercice 1 S’approprier les définitions
1.1. Montrer qu’une tribu est stable par intersection dénombrable.
1.2. Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé. On considère G = { A ∈ F | P( A) = 0 ou 1}. G
est-elle une tribu ?
1.3. Soit A = { A ⊆ N | A est fini ou cA fini}. A est-elle une tribu sur N ?
1.4. Masse de Dirac. Soit Ω un ensemble non vide et ω un point de Ω. Pour A ⊆ Ω,
on pose δω ( A) = 1 si ω ∈ A et δω ( A) = 0 sinon. Montrer que δω est une probabilité sur
(Ω, P (Ω)).
1.5. Soit Ω un ensemble non vide et F une tribu de Ω. Soient x1 , . . . , xk des éléments
distincts de Ω et p1 , . . . , pk des éléments de R+∗ . On note
µ: F
B
→ [0, +∞]
7→ µ( B) =
∑
pi δxi ( B)
1≤ i ≤ k
Montrer que µ est une mesure sur (Ω, F ).
Exercice 2
Soient (Ω, F , P) un espace probabilisé et ( An )n∈N une suite d’événements de F . Démontrer
P(lim inf An ) ≤ lim inf P( An ) ≤ lim sup P( An ) ≤ P(lim inf An )
Exercice 3
On considère la suite ( Xn )n∈N composée de fonctions Xn :]0, 1[→ R. Comparer les ensembles {lim sup Xn > 1} et lim sup { Xn > 1} puis les ensembles {lim sup Xn ≥ 1} et
lim sup { Xn ≥ 1}.
Exercice 4 Mesure de Lebesgue λ
4.1. Soit A = ∪n≥0 [n, n + 21n [. Calculer λ( A).
4.2. Soit x ∈ R. Calculer λ({ x }).
4.3. Soit ( xn )n∈N ⊆ RN . Calculer λ(∪n≥0 { xn }).
4.4. En déduire que λ(Q) = 0. Calculer λ([0, 1] \ Q).
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Exercice 5 Mesure de Lebesgue et un ensemble de Cantor
Pour n ≥ 1, on note An = { x ∈ [0, 1] | x n’a que des 1 ou des 5 dans son développement décimal jusqu’à l’ordre n}. An est donc l’ensemble des x ∈ [0, 1[ qui s’écrivent
x = 0, u1 u2 . . . un un+1 . . . avec u1 , . . . , un ∈ {1, 5}.
5.1. Calculer λ( An ) pour tout n.
5.2. Soit B = ∩n≥1 An . Calculer λ( B).
Exercice 6 Mesures à densité
6.1. Soit µ mesure sur (R, B(R)) de densité 1[0,1] ( x ) par rapport à la mesure de Lebesgue.
Calculer µ([0, 1]), µ([0, 2]), µ([0, 1/2]), µ({1/2}).
6.2. Soit µ mesure sur (R, B(R)) de densité 1x>0 e−x par rapport à la mesure de Lebesgue.
Calculer µ(R), µ({1}), µ([0, 1]), µ([1, +∞[).
6.3. Soit µ mesure sur (R, B(R)) de densité 1x>0 xe−x
besgue. Calculer µ([0, 1]).
2 /2
par rapport à la mesure de Le-
Exercice 7
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.
7.1. Soit B un événement de probabilité non nulle. Vérifier que la fonction d’ensembles
P(·| B) vue en cours est une probabilité.
7.2. On suppose que ( Bn )n est une suite d’événements qui forment une partition de Ω.
On suppose de plus que pour tout n, P( Bn ) > 0. Vérifier que pour tout événement A on
a:
P( A ) =
∑ P( A| Bn )P( Bn ).
n∈N
7.3. Sous les mêmes hypothèses qu’à la question précédentes vérifier la formule de Bayes
donnée en cours, i.e. pour tout i :
P( Bi | A) =
P( A| Bi )P( Bi )
∑n P( A| Bn )P( Bn )
7.4. Peut-on remplacer l’hypothèse suivant laquelle les événements ( Bn )n forment une
partition par les conditions suivantes :
( S
P ( n Bn ) = 1
∀n 6= m, P( Bn ∩ Bm ) = 0.
Pourquoi (preuve ou contre-exemple) ?
7.5. Un test de dépistage d’une maladie possède les propriétés suivantes : lorsqu’un patient est atteint par une maladie, le test est positif avec probabilité 0, 99. Si le patient n’est
pas atteint par la maladie le test est tout de même positif avec une probabilité de 10− 3.
Dans la population, la prévalence de la maladie est de 2 × 10− 3. Calculer la probabilité
qu’un patient soit atteint par la maldie si son test de dépistage est positif.
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Exercice 8
Dans la suite, nous considérons un marcheur ivre qui se promène aléatoirement sur Z en
partant de 0. À chaque instant, il décide d’aller à droite (+1) ou à gauche (−1) avec respectivement les probabilités p et q = 1 − p (il se sert par exemple d’une pièce de monnaie
biaisée. On se pose la question suivante : avec quelle probabilité le marcheur va-t-il passer
une infinité de fois par 0.
8.1. On considère A l’événement : repasser une infinité de fois par 0 et A2n l’événement
être en 0 à l’instant 2n. Montrer :
A = lim sup A2n
n
8.2. Calculer P( A2n ).
8.3. Montrer que P( A2n ) est équivalent à la quantité suivante (on pourra utiliser la formule de Stirling) :
(4pq)n
a2n = √
.
πn
8.4. Déduire de ce qui précède que si p 6= q alors P( A) = 0.
8.5. On suppose que p = q = 1/2. Vérifier que :
∑ P( A2n ) = +∞.
n
Les événements A2n sont-ils indépendants entre eux ? Pourquoi ?
8.6. Conclure.
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