Module de Probabilités - ENS TD 1 : Espace probabilisé

Module de Probabilités - ENS
TD 1 : Espace probabilisé
Exercice 1 S’approprier les définitions
1.1.Montrer qu’une tribu est stable par intersection dénombrable.
1.2.Soit (Ω,F,P)un espace probabilisé. On considère G={A∈ F | P(A) = 0 ou 1}.G
est-elle une tribu ?
1.3.Soit A={A⊆N|Aest fini ou cAfini}.Aest-elle une tribu sur N?
1.4. Masse de Dirac. Soit Ωun ensemble non vide et ωun point de Ω. Pour A⊆Ω,
on pose δω(A) = 1 si ω∈Aet δω(A) = 0 sinon. Montrer que δωest une probabilité sur
(Ω,P(Ω)).
1.5.Soit Ωun ensemble non vide et Fune tribu de Ω. Soient x1, . . . , xkdes éléments
distincts de Ωet p1, . . . , pkdes éléments de R+∗. On note
µ:F → [0, +∞]
B7→ µ(B) = ∑
1≤i≤k
piδxi(B)
Montrer que µest une mesure sur (Ω,F).
Exercice 2
Soient (Ω,F,P)un espace probabilisé et (An)n∈Nune suite d’événements de F. Démon-
trer
P(lim inf An)≤lim inf P(An)≤lim sup P(An)≤P(lim inf An)
Exercice 3
On considère la suite (Xn)n∈Ncomposée de fonctions Xn:]0, 1[→R. Comparer les en-
sembles {lim sup Xn>1}et lim sup {Xn>1}puis les ensembles {lim sup Xn≥1}et
lim sup {Xn≥1}.
Exercice 4 Mesure de Lebesgue λ
4.1.Soit A=∪n≥0[n,n+1
2n[. Calculer λ(A).
4.2.Soit x∈R. Calculer λ({x}).
4.3.Soit (xn)n∈N⊆RN. Calculer λ(∪n≥0{xn}).
4.4.En déduire que λ(Q) = 0. Calculer λ([0, 1]\Q).
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Exercice 5 Mesure de Lebesgue et un ensemble de Cantor
Pour n≥1, on note An={x∈[0, 1]|xn’a que des 1 ou des 5 dans son dévelop-
pement décimal jusqu’à l’ordre n}.Anest donc l’ensemble des x∈[0, 1[qui s’écrivent
x=0, u1u2. . . unun+1. . . avec u1, . . . , un∈ {1, 5}.
5.1.Calculer λ(An)pour tout n.
5.2.Soit B=∩n≥1An. Calculer λ(B).
Exercice 6 Mesures à densité
6.1.Soit µmesure sur (R,B(R)) de densité 1[0,1](x)par rapport à la mesure de Lebesgue.
Calculer µ([0, 1]),µ([0, 2]),µ([0, 1/2]),µ({1/2}).
6.2.Soit µmesure sur (R,B(R)) de densité 1x>0e−xpar rapport à la mesure de Lebesgue.
Calculer µ(R),µ({1}),µ([0, 1]),µ([1, +∞[).
6.3.Soit µmesure sur (R,B(R)) de densité 1x>0xe−x2/2 par rapport à la mesure de Le-
besgue. Calculer µ([0, 1]).
Exercice 7
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé.
7.1.Soit Bun événement de probabilité non nulle. Vérifier que la fonction d’ensembles
P(·|B)vue en cours est une probabilité.
7.2.On suppose que (Bn)nest une suite d’événements qui forment une partition de Ω.
On suppose de plus que pour tout n,P(Bn)>0. Vérifier que pour tout événement Aon
a :
P(A) = ∑
n∈N
P(A|Bn)P(Bn).
7.3.Sous les mêmes hypothèses qu’à la question précédentes vérifier la formule de Bayes
donnée en cours, i.e. pour tout i:
P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)
∑nP(A|Bn)P(Bn)
7.4.Peut-on remplacer l’hypothèse suivant laquelle les événements (Bn)nforment une
partition par les conditions suivantes :
(P(SnBn)=1
∀n6=m,P(Bn∩Bm) = 0.
Pourquoi (preuve ou contre-exemple) ?
7.5.Un test de dépistage d’une maladie possède les propriétés suivantes : lorsqu’un pa-
tient est atteint par une maladie, le test est positif avec probabilité 0, 99. Si le patient n’est
pas atteint par la maladie le test est tout de même positif avec une probabilité de 10−3.
Dans la population, la prévalence de la maladie est de 2 ×10−3. Calculer la probabilité
qu’un patient soit atteint par la maldie si son test de dépistage est positif.
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Exercice 8
Dans la suite, nous considérons un marcheur ivre qui se promène aléatoirement sur Zen
partant de 0. À chaque instant, il décide d’aller à droite (+1) ou à gauche (−1) avec res-
pectivement les probabilités pet q=1−p(il se sert par exemple d’une pièce de monnaie
biaisée. On se pose la question suivante : avec quelle probabilité le marcheur va-t-il passer
une infinité de fois par 0.
8.1.On considère Al’événement : repasser une infinité de fois par 0 et A2nl’événement
être en 0 à l’instant 2n. Montrer :
A=lim sup
n
A2n
8.2.Calculer P(A2n).
8.3.Montrer que P(A2n)est équivalent à la quantité suivante (on pourra utiliser la for-
mule de Stirling) :
a2n=(4pq)n
√πn.
8.4.Déduire de ce qui précède que si p6=qalors P(A) = 0.
8.5.On suppose que p=q=1/2. Vérifier que :
∑
n
P(A2n) = +∞.
Les événements A2nsont-ils indépendants entre eux ? Pourquoi ?
8.6.Conclure.
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