Probabilités Année 2014/15 DEMI2E CC1 du 10 Octobre 2014

Probabilités Année 2014/15
DEMI2E
CC1 du 10 Octobre 2014
Exercice 1. Soit (E, A, µ)un espace mesuré et soit (An)n∈Nune suite d’éléments de A, qu’on
suppose croissante pour l’inclusion : An⊂An+1 pour tout n∈N. Le but est de montrer que
µ [
n∈N
An!= lim
n→+∞µ(An).
On pose B0=A0et pour n≥1on pose Bn=An\An−1.
1. Montrer que les (Bn)sont deux à deux disjoints.
2. Montrer que pour tout n∈N
An=
n
[
k=0
Bk.
3. Conclure.
Exercice 2. Une suite de personnes numérotées se transmettent une information. La première
personne transmet une information à la deuxième, qui à son tour la transmet à la troisième, etc. . .
On suppose qu’à chaque étape, l’information est transformée en son contraire avec probabilité p,
et qu’elle est transmise fidèlement avec probabilité 1−p.
Pour n≥1on note Anl’événement « la n–ième personne reçoit l’information originelle » et on
pose pn=P(An)(on a donc p1= 1).
1. Montrer que (pn)vérifie la relation de récurrence
pn+1 = (1 −2p)pn+p.
2. En déduire l’expression de pnen fonction de n.
3. Déterminer la limite de (pn)et commenter le résultat.
Exercice 3. Soit Eun ensemble et soit f:E→Rune application. On pose
σ(f) = f−1(B), B ∈ B(R).
1. Montrer que σ(f)est une tribu.
2. Montrer que σ(f)est la plus petite tribu sur Erendant fmesurable.
1

Corrigé
Exercice 1. 1. Soit n<m. On a Bn=An\An−1et donc Bn⊂An⊂Am−1(puisque la
suite (An)est croissante pour l’inclusion). De plus Bm=Am\Am−1⊂(Am−1)cet donc
Bn∩Bm=∅.
2. On a Bk⊂Ak⊂Anpour tout k≤n. Donc
n
[
k=0
Bk⊂An.
Réciproquement, soit x∈Anet soit k0le plus petit entier tel que x∈Ak0. Alors k0≤net
x∈Ak0\Ak0−1=Bk0. Donc x∈Sk≤nBk, ce qu’il fallait démontrer.
3. On a donc par additivité
µ(An) = µ n
[
k=0
Bk!=
n
X
k=0
µ(Bk).
En utilisant la σ–additivité, il vient
lim
n→+∞µ(An) =
+∞
X
k=0
µ(Bk) = µ +∞
[
k=0
Bk!.
Enfin l’égalité An=Sk≤nBkpour tout nimplique
+∞
[
k=0
Bk=
+∞
[
n=0
An,
ce qui termine la démonstration.
Exercice 2. 1. On écrit
P(An+1) = P(An+1 |An)P(An) + P(An+1 |Ac
n)P(Ac n)
= (1 −p)pn+p(1 −pn) = (1 −2p)pn+p.
En effet P(An+1 |An)est la probabilité qu’à l’étape nla transmission soit fidèle, à savoir
1−p, tandis que P(An+1 |Ac
n)est la probabilité que la transmission se fasse de manière
erronée, soit p.
2. En soustrayant l’équation 1
2= (1 −2p)1 2+p
à l’équation de récurrence précédente on obtient
pn+1 −1
2= (1 −p)pn−1 2.
On en déduit
pn= (1 −p)n−1p1−1
2+1 2=1 2(1 −p)n−1+1 2.
3. Si p= 0 on obtient pn= 1 pour tout n(l’information est toujours transmise fidèlement). Si
p= 1 la valeur de pnalterne entre 0et 1selon que nsoit pair ou impair. Enfin si p∈]0,1[
alors |1−p|<1et on obtient
lim
n→+∞pn=1
2.
En particulier la limite de (pn)ne dépend pas de p.
2

Exercice 3. 1. On a f−1(∅) = ∅ce qui montre que ∅ ∈ σ(f). Soit A∈σ(f), il existe un
Borélien Btel que A=f−1(B). Alors
Ac=f−1(B)c=f−1(Bc).
Comme Bcest Borélien, on obtient Ac∈σ(f), ce qui montre que σ(f)est stable par passage
au complémentaire. De même si (An)est une suite d’éléments de σ(f)alors pour tout nil
existe un Borélien Bntel que An=f−1(Bn). Alors
[
n≥1
An=[
n≥1
f−1(Bn) = f−1
[
n≥1
Bn
appartient aussi à σ(f), puisque qu’une union dénombrable de Boréliens est Borélienne. Donc
σ(f)est stable par union dénombrable, ce qui termine la démonstration.
2. On a vu que σ(f)est une tribu sur E. Pour tout Borélien B, on a f−1(B)∈σ(f)donc fest
mesurable pour σ(f). Enfin si Aest une tribu sur Erendant fmesurable, alors f−1(B)∈ A
pour tout Borélien B. Autrement dit
σ(f)⊂ A.
Donc σ(f)est la plus petite tribu sur Erendant fmesurable.
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