Probabilités Année 2014/15 DEMI2E CC1 du 10 Octobre 2014

Probabilités
DEMI2E
Année 2014/15
CC1 du 10 Octobre 2014
Exercice 1. Soit (E, A, µ) un espace mesuré et soit (An )n∈N une suite d’éléments de A, qu’on
suppose croissante pour l’inclusion : An ⊂ An+1 pour tout n ∈ N. Le but est de montrer que
!
[
µ
An = lim µ(An ).
n→+∞
n∈N
On pose B0 = A0 et pour n ≥ 1 on pose Bn = An \An−1 .
1. Montrer que les (Bn ) sont deux à deux disjoints.
2. Montrer que pour tout n ∈ N
An =
n
[
Bk .
k=0
3. Conclure.
Exercice 2. Une suite de personnes numérotées se transmettent une information. La première
personne transmet une information à la deuxième, qui à son tour la transmet à la troisième, etc. . .
On suppose qu’à chaque étape, l’information est transformée en son contraire avec probabilité p,
et qu’elle est transmise fidèlement avec probabilité 1 − p .
Pour n ≥ 1 on note An l’événement « la n–ième personne reçoit l’information originelle » et on
pose pn = P(An ) (on a donc p1 = 1).
1. Montrer que (pn ) vérifie la relation de récurrence
pn+1 = (1 − 2p) pn + p.
2. En déduire l’expression de pn en fonction de n.
3. Déterminer la limite de (pn ) et commenter le résultat.
Exercice 3. Soit E un ensemble et soit f : E → R une application. On pose
σ(f ) = f −1 (B), B ∈ B(R) .
1. Montrer que σ(f ) est une tribu.
2. Montrer que σ(f ) est la plus petite tribu sur E rendant f mesurable.
1
Corrigé
Exercice 1.
1. Soit n < m. On a Bn = An \An−1 et donc Bn ⊂ An ⊂ Am−1 (puisque la
suite (An ) est croissante pour l’inclusion). De plus Bm = Am \Am−1 ⊂ (Am−1 )c et donc
Bn ∩ Bm = ∅.
2. On a Bk ⊂ Ak ⊂ An pour tout k ≤ n. Donc
n
[
Bk ⊂ An .
k=0
Réciproquement, soit x ∈ An et soit
S k0 le plus petit entier tel que x ∈ Ak0 . Alors k0 ≤ n et
x ∈ Ak0 \Ak0 −1 = Bk0 . Donc x ∈ k≤n Bk , ce qu’il fallait démontrer.
3. On a donc par additivité
µ(An ) = µ
!
n
[
Bk
=
k=0
n
X
µ(Bk ).
k=0
En utilisant la σ–additivité, il vient
lim µ(An ) =
n→+∞
Enfin l’égalité An =
S
k≤n
+∞
X
µ(Bk ) = µ
k=0
+∞
[
!
Bk
.
k=0
Bk pour tout n implique
+∞
[
Bk =
+∞
[
An ,
n=0
k=0
ce qui termine la démonstration.
Exercice 2.
1. On écrit
P(An+1 ) = P(An+1 | An ) P(An ) + P(An+1 | Acn ) P(Acn )
= (1 − p) pn + p (1 − pn ) = (1 − 2p) pn + p.
En effet P(An+1 | An ) est la probabilité qu’à l’étape n la transmission soit fidèle, à savoir
1 − p, tandis que P(An+1 | Acn ) est la probabilité que la transmission se fasse de manière
erronée, soit p.
2. En soustrayant l’équation
1
1
= (1 − 2p) + p
2
2
à l’équation de récurrence précédente on obtient
1
1
pn+1 − = (1 − p) pn −
.
2
2
On en déduit
pn = (1 − p)
n−1
1
p1 −
2
+
1
1
1
= (1 − p)n−1 + .
2
2
2
3. Si p = 0 on obtient pn = 1 pour tout n (l’information est toujours transmise fidèlement). Si
p = 1 la valeur de pn alterne entre 0 et 1 selon que n soit pair ou impair. Enfin si p ∈]0, 1[
alors |1 − p| < 1 et on obtient
1
lim pn = .
n→+∞
2
En particulier la limite de (pn ) ne dépend pas de p.
2
Exercice 3.
1. On a f −1 (∅) = ∅ ce qui montre que ∅ ∈ σ(f ). Soit A ∈ σ(f ), il existe un
Borélien B tel que A = f −1 (B). Alors
c
Ac = f −1 (B) = f −1 (B c ).
Comme B c est Borélien, on obtient Ac ∈ σ(f ), ce qui montre que σ(f ) est stable par passage
au complémentaire. De même si (An ) est une suite d’éléments de σ(f ) alors pour tout n il
existe un Borélien Bn tel que An = f −1 (Bn ). Alors


[
[
[
An =
f −1 (Bn ) = f −1 
Bn 
n≥1
n≥1
n≥1
appartient aussi à σ(f ), puisque qu’une union dénombrable de Boréliens est Borélienne. Donc
σ(f ) est stable par union dénombrable, ce qui termine la démonstration.
2. On a vu que σ(f ) est une tribu sur E. Pour tout Borélien B, on a f −1 (B) ∈ σ(f ) donc f est
mesurable pour σ(f ). Enfin si A est une tribu sur E rendant f mesurable, alors f −1 (B) ∈ A
pour tout Borélien B. Autrement dit
σ(f ) ⊂ A.
Donc σ(f ) est la plus petite tribu sur E rendant f mesurable.
3