Contrôle continu de Probabilités

Contrôle continu de Probabilités
Troisième année de la Licence de Mathématiques et Economie
Année 2014 - 2015
Correction
1) Soit Eun ensemble quelconque et E ⊂ P(E)un ensemble de parties de E.
Donner les propriétés que doit vérifier l’ensemble Epour être une tribu de
parties de E.
On doit avoir ∅ ∈ E, la stabilité par passage au complémentaire (si A∈ E
alors AC∈ E) et enfin la stabilité par union dénombrable (si (An)n∈Nest
une suite d’éléments de Ealors
[
n∈N
An∈ E.
2) Soit Eun ensemble quelconque et E ⊂ P(E)une tribu de parties de E.
Quelles propriétés doit satisfaire la fonction d’ensemble µ:E 7→ [0,∞]
pour être une mesure ?
Il faut que µ(∅)=0et que µsoit σ-additive c’est-à-dire, si (An)n∈N
est une suite d’éléments de Edisjoints deux à deux alors
µ [
n∈N
An!=X
n∈N
µ(An).
3) Soit E= [0,1] et E={[0,1],∅,[0,1/3],[1/3,1]}un ensemble de parties
de E. L’ensemble Eest-il une tribu (justifier votre réponse) ?
Non car [0,1/3]C=]1/3,1] /∈ E.
4) Soit f: [0,1] 7→ [0,1] la fonction définie par :
f(x) = 1/2si x∈[0,1/3]
1/4si x∈]1/3,1].
a) On munit les ensembles [0,1] de la tribu σ([0,1/3]). Décrire cette
tribu.
On a σ([0,1/3]) = {,[0,1],[0,1/3],]1/3,1]}.
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b) La fonction fest-elle mesurable ?
Il suffit de vérifier que f−1([0,1/3]) ∈σ([0,1/3]). Or, f−1([0,1/3]) =
]1/3,1] ∈σ([0,1/3]).
c) Reprendre les questions a) et b) avec la tribu σ([0,1/3[).
Dans ce cas, fn’est pas mesurable car f−1([0,1/3[) =]1/3,1] /∈
σ([0,1/3[).
5) Un sac contient les 5 lettres A, C, E, N et R. Vous tirez du sac les let-
tres une à une et les placez devant vous en conservant l’ordre du tirage.
Proposer un espace probabilisé permettant de décrire cette expérience et
calculer la probabilité d’obtenir le mot CRANE ou le mot NACRE.
L’espace probabilisé (Ω,F,P)est défini de la façon suivante : Ωest un
ensemble de cardinal 5! = 120 dont un élément est l’une des permutations
des lettres A, C, E, N et R (par exemple ω= (A, E, N, C, R)). Evidem-
ment, F=P(Ω) et Pest la probabilité uniforme. La probabilité d’obtenir
le mot CRANE ou le mot NACRE est de 2/120 = 1/60.
6) Soient E1et E2deux ensembles quelconques et f:E17→ E2une applica-
tion. Montrer que si E1est muni d’une tribu E1quelconque et E2de la
tribu triviale {∅, E2}alors l’application fest mesurable.
Comme f−1(E2) = E1∈ E1alors fest mesurable.
7) Soit f: [0,1[7→ [0,1] l’application définie pour tout x∈[0,1[ par
f(x) = 1
4
4
X
i=1
iI{x∈[(i−1)/4,i/4[}
On munit l’ensemble d’arrivée [0,1] de la tribu E2engendrée par {{i/4}, i =
1,...,4}. Quelle est la plus petite tribu de parties de [0,1[ rendant f
mesurable ?
Comme f−1({i/4}) = [(i−1)/4, i/4[, la plus petite tribu rendant fmesurable
est la tribu σ([(i−1)/4, i/4[, i = 1,...,4).
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