MATHF302 Probabilités II. Fiche d`exercices 3.

F X F (u) := inf{x:F(x)u}
XF(U)UU(0,1)
(Ci,j)i,j1π
σAn:= σ(Cn,k,k 1)
n1
(Cn)n1π
Aσ(C1,...,Cn)n1Aσ(C1,C2, . . .)
XnX
• ∀ε > 0, P (n0,nn0,|XnX|< ε) = 1
• ∀ε > 0, P (|XnX| ≥ ε)=0
• ∀ε > 0,limn→∞ P(maxkn|XkX| ≥ ε)=0
Xn
P
X(nk)k1XnkX
(Xn)
lim
α→∞ sup
n
E|Xn|I{|Xn|> α}= 0.
(Xn)n1XnX
supnE|Xn|<
X
α > 0Xα
nXαZα=ZI{|Z| ≤ α}
EXnEX
Xn
L1
X
supnE|Xn|1+< > 0Xn
L1
X
1p, q ≤ ∞ 1/p + 1/q = 1 XLpYLq
E|XY | ≤ (E|X|p)1/p(E|X|q)1/q
(Xn)EXp
n<p > 0Xnn1/p 0
(Xn)B1,1/2n
Ln:=
1Xn= 0, Xn+1 = 1
2Xn= 0, Xn+1 = 0, Xn+2 = 1
P
n=1 2rn<=P(Lnrn,)=0
P(Ln(1 + ε) log2(n) ) = 0 ε > 0
PSεQ]0,[{Ln(1 + ε) log2(n),}= 0
lim supn→∞
Ln
log2(n)1,
lim sup
n→∞
Ln
log2(n)= 1,
(Xn)n1EX1=µVar(X1) = σ2<
¯
Xn=1
nPn
i=1 Xi¯
Xn2µ
ε > 0
Pmax
n2<k(n+1)2|¯
Xn2¯
Xk|> ε = 0.
¯
Xn
p.s.
µ
1 / 2 100%

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