Mesures et intégration Feuille II : tribus

D´epartement de Math´ematiques Universit´e d’Orl´eans
Ann´ee 2012-13 Unit´e SOL5MT05
Mesures et int´ egration
Feuille II : tribus
1. Soient Xun ensemble, (Y, B) un espace mesur´e, fune application de Xdans Y. Montrer que,
A={f−1(B)/ B ∈ B}, est une tribu (appel´ee tribu image r´eciproque de Bpar f).
2. Soient Xun ensemble et fune application de Xdans lui-mˆeme.
a) L’ensemble, {E / E ⊂X , f−1(E) = E}, est-il une tribu?
b) Mˆeme question pour l’ensemble, {E / E ⊂X , f(E) = E}.
3. Soient (X, A) un espace mesurable, Yune partie de X,Cla tribu induite par Asur Y.
a) ` A quelle condition sur Ya-t-on C ⊂ A?
b) Soit Eun ensemble de parties de X, on pose, F={E∩Y, E ∈ E}. On suppose que Aest
la tribu engendr´ee par E. Montrer que Cest la tribu engendr´ee par F.
c) En d´eduire que si Xest un espace topologique et Yun sous-ensemble de X, on a B(Y) =
tribu induite par B(X) sur Y.
4. Soient X, Y des ensembles et Aune tribu sur X.
a) Montrer que {A×Y / A ∈ A} est une tribu sur X×Y.
b) Si Best une tribu sur Y, l’ensemble {A×B / A ∈ A , B ∈ B} , est il une tribu sur X×Y?
5. Montrer que la tribu bor´elienne de Rest engendr´ee par les familles suivantes,
a) les intervalles ouverts,
b) les intervalles ferm´es,
c) l’ensemble des intervalles de la forme ] − ∞, a] o`u a∈Q,
d) l’ensemble des compacts.
6. Montrer que B(Rn×Rm) = B(Rn)⊗ B(Rm). Montrer que B(Rn) est aussi engendr´ee par les
compacts.
7. Soient Xun ensemble, Eun sous-ensemble de P(X). On note O(E) la topologie engendr´ee
par E,T(E) la tribu engendr´ee par Eet TO(E) la tribu bor´elienne de (X, O(E)). D´eterminer
O(E),T(E),TO(E), dans chacun des cas suivants,
a) A⊂Xet E={A},
b) E={A1, A2}o`u A1, A2sont disjoints,
c) E={{a}/ a ∈X},
d) E={A∈ P(X)/ A fini},
e) E={A∈ P(X)/CXAfini ou d´enombrable}.
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8. Soit Xun ensemble infini non d´enombrable.
a) L’ensemble des parties au plus d´enombrables de Xest-il une tribu?
b) Montrer que l’ensemble Tdes parties Ade Xtelles que Aou CXAsoit au plus d´enombrable
est une tribu.
c) Montrer que Test la tribu engendr´ee par les singletons de X.
9. Soient Xun ensemble muni d’une tribu A, et (An) une suite d’´el´ements de A. Montrer que
L(An) et L(An) appartiennent `a A.
10. a) Montrer qu’en g´en´eral la r´eunion d’une famille de tribus n’est pas une tribu.
b) Soient Xun ensemble et Eun ensemble de parties de X. Montrer que la tribu T(E)
engendr´ee par Eest ´egale `a la r´eunion des tribus T(F) o`u Fd´ecrit l’ensemble des parties au
plus d´enombrables de E.
11. Soient Ω un ensemble et Eun ensemble de parties de Ω tel que ∅∈E. 1) Soit F={A , A ∈
Eou CA∈ E}. Montrer que E ⊂ F et que Fest stable par passage au compl´ementaire. 2) Soit
Gl’ensemble de parties de Ω qui sont intersection d’une suite finie de parties de Ω appartenant
`a F. Montrer que F ⊂ G et que Gest stable pour l’intersection finie. 3) Soit Hl’ensemble de
parties de Ω qui sont r´eunion d’une suite finie d’ensembles deux `a deux disjoints appartenant `a
G. Montrer que G ⊂ H et que pour tout G∈ G, on a, CG∈ H. 4) Montrer que Hest l’alg`ebre
de Boole engendr´ee par E. 5) Montrer que si Eest fini ( resp. d´enombrable), alors Hest fini
(resp. d´enombrable).
12. Soit Xun espace m´etrique. On d´esigne par Ol’ensemble de ses ouverts et par B(X) sa tribu
bor´elienne.
1) Montrer que tout ferm´e de Xest intersection d’une suite d’ouverts, et que tout ouvert est
r´eunion d’une suite de ferm´es.
2) a) Montrer qu’il existe un plus petit sous-ensemble Ede P(X) contenant Oet stable par
r´eunion et intersection d´enombrables.
b) Soit T={E∈ E ,CXE∈ E}. Montrer que Test une tribu.
c) En d´eduire que B(X) = T.
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