Mesures et intégration Feuille II : tribus

Département de Mathématiques
Année 2012-13
Université d’Orléans
Unité SOL5MT05
Mesures et intégration
Feuille II : tribus
1. Soient X un ensemble, (Y, B) un espace mesuré, f une application de X dans Y . Montrer que,
A = {f −1 (B) / B ∈ B}, est une tribu (appelée tribu image réciproque de B par f ).
2. Soient X un ensemble et f une application de X dans lui-même.
a) L’ensemble, {E / E ⊂ X , f −1 (E) = E}, est-il une tribu?
b) Même question pour l’ensemble, {E / E ⊂ X , f (E) = E}.
3. Soient (X, A) un espace mesurable, Y une partie de X, C la tribu induite par A sur Y .
a) À quelle condition sur Y a-t-on C ⊂ A?
b) Soit E un ensemble de parties de X, on pose, F = {E ∩ Y, E ∈ E}. On suppose que A est
la tribu engendrée par E. Montrer que C est la tribu engendrée par F.
c) En déduire que si X est un espace topologique et Y un sous-ensemble de X, on a B(Y ) =
tribu induite par B(X) sur Y .
4. Soient X, Y des ensembles et A une tribu sur X.
a) Montrer que {A × Y / A ∈ A} est une tribu sur X × Y .
b) Si B est une tribu sur Y , l’ensemble {A × B / A ∈ A , B ∈ B} , est il une tribu sur X × Y ?
5. Montrer que la tribu borélienne de R est engendrée par les familles suivantes,
a) les intervalles ouverts,
b) les intervalles fermés,
c) l’ensemble des intervalles de la forme ] − ∞, a] où a ∈ Q,
d) l’ensemble des compacts.
6. Montrer que B(Rn × Rm ) = B(Rn ) ⊗ B(Rm ). Montrer que B(Rn ) est aussi engendrée par les
compacts.
7. Soient X un ensemble, E un sous-ensemble de P(X). On note O(E) la topologie engendrée
par E, T (E) la tribu engendrée par E et TO (E) la tribu borélienne de (X, O(E)). Déterminer
O(E), T (E), TO (E), dans chacun des cas suivants,
a) A ⊂ X et E = {A},
b) E = {A1 , A2 } où A1 , A2 sont disjoints,
c) E = {{a} / a ∈ X},
d) E = {A ∈ P(X) / A fini},
e) E = {A ∈ P(X) / CX A fini ou dénombrable}.
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8. Soit X un ensemble infini non dénombrable.
a) L’ensemble des parties au plus dénombrables de X est-il une tribu?
b) Montrer que l’ensemble T des parties A de X telles que A ou CX A soit au plus dénombrable
est une tribu.
c) Montrer que T est la tribu engendrée par les singletons de X.
9. Soient X un ensemble muni d’une tribu A, et (An ) une suite d’éléments de A. Montrer que
L(An ) et L(An ) appartiennent à A.
10. a) Montrer qu’en général la réunion d’une famille de tribus n’est pas une tribu.
b) Soient X un ensemble et E un ensemble de parties de X. Montrer que la tribu T (E)
engendrée par E est égale à la réunion des tribus T (F) où F décrit l’ensemble des parties au
plus dénombrables de E.
11. Soient Ω un ensemble et E un ensemble de parties de Ω tel que ∅ ∈ E. 1) Soit F = {A , A ∈
E ou CA ∈ E}. Montrer que E ⊂ F et que F est stable par passage au complémentaire. 2) Soit
G l’ensemble de parties de Ω qui sont intersection d’une suite finie de parties de Ω appartenant
à F. Montrer que F ⊂ G et que G est stable pour l’intersection finie. 3) Soit H l’ensemble de
parties de Ω qui sont réunion d’une suite finie d’ensembles deux à deux disjoints appartenant à
G. Montrer que G ⊂ H et que pour tout G ∈ G, on a, CG ∈ H. 4) Montrer que H est l’algèbre
de Boole engendrée par E. 5) Montrer que si E est fini ( resp. dénombrable), alors H est fini
(resp. dénombrable).
12. Soit X un espace métrique. On désigne par O l’ensemble de ses ouverts et par B(X) sa tribu
borélienne.
1) Montrer que tout fermé de X est intersection d’une suite d’ouverts, et que tout ouvert est
réunion d’une suite de fermés.
2) a) Montrer qu’il existe un plus petit sous-ensemble E de P(X) contenant O et stable par
réunion et intersection dénombrables.
b) Soit T = {E ∈ E , CX E ∈ E}. Montrer que T est une tribu.
c) En déduire que B(X) = T .
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