Problème 1 Problème 2

DM 7
MÉCANIQUE
Problème 1
Un pendule simple, de longueur ℓ, est écarté de sa position verticale d’équi-
libre AB0; la masse oscillante Best abandonnée sans vitesse dans la posi-
tion B1de coordonnées (O,y0,z0) par rapport au repère terrestre B0x yz (B0x
tangente au parallèle de latitude λ, dirigée vers l’Est, B0ydans le plan méri-
dien, dirigé vers le Nord, et B0zverticale ascendante). On tiendra compte de
la rotation uniforme de la terre autour de la ligne des pôles avec une vitesse
angulaire ω=7,3.10−5rad.s−1.
1 - Faire une figure en indiquant les axes et les forces qui s’exercent sur le
pendule. Ecrire la reltion fondamentale de la dynamique (RFD) sous forme
vectorielle dans le référentiel terrestre non-galiléen. Faut-il tenir compte de
l’accélération d’entrainement ?
2 - Projeter la RFD dans la base liée à B0x y z. On introduira Tl’intensité de
la force de tension du fil.
3 - Dans le cas des petites oscillations, le mouvement de Bse fait pratique-
ment dans le plan horizontal, de sorte qu’on pourra négliger les termes en ˙ z
et en ¨ z. Estimer en ordre de grandeur la valeur du produit ω˙ xet le comparer
à l’accélération de la pesanteur g. En déduire une expression très simple de
T.
4 - Ecrire les deux équations restantes en introduisant a=ωsin λet b=qg
l.
Montrer en utilisant des valeurs numériques plausibles que a≪b.
5 - Introduire la grandeur Z=x+i y avec i2= −1et utiliser Zpour résoudre
le système d’équation différentielle. Montrer qu’on obtient ainsi :
x=y0cos bt sin at
y=y0cos bt cos at
6 - Décrire le mouvement du pendule. Calculer la durée d’une révolution
complète du plan d’oscillation de ce pendule de FOUCAULT en un lieu de
latitude λ=45°.
Problème 2
Déviation de la lumière par les étoiles
Ce problème étudie, dans un modèle non relativiste, la déviation d’une parti-
cule par une étoile E, considérée comme une répartition de masse à symétrie
sphérique, de rayon R, de masse Met de centre O. La particule étudiée Aest
ponctuelle et de masse m. On considère le système formé de Aet Ecomme
isolé. Le référentiel d’étude (K) est galiléen.
A. Étude du système Σformé de Aet de E
1. Définir le référentiel barycentrique du mouvement du système Σre-
lativement à (K) ; on le notera (K∗). Quelle propriété importante du
référentiel (K∗) peut-on affirmer ?
2. On notera Oun point fixe de (K), Gle centre d’inertie du système Σ;
on notera rG=OG. On notera aussi r=E A (voir figure). Les dérivées
temporelles successives, prises dans le référentiel (K), de ces vecteurs
sont notées :
vG=drG
dt;v=dr dt;γG=dvG dt;γ=dv dt
A
E
r
rG
O(K)
G
Exprimer la vitesse et l’accélération de Arelativement à (K) en fonc-
tion de vG,v,γet des masses met M.

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3. Exprimer le moment cinétique σOen Odu système Σrelativement à
(K) en fonction de rG,vG,r,vde mT=m+Met de la masse réduite µ
définie par 1
µ=1 m+1 M.
Exprimer aussi l’énergie cinétique Ecdu système Σrelativement à (K)
en fonction de vG,v,mTet µ.
4. Expliciter l’équation différentielle du second ordre qui régit l’évolution
de r. On notera r=°
°r° °et on supposera r>R.
5. En déduire la conservation du moment cinétique barycentrique σ∗du
système. L’énergie cinétique barycentrique du système E∗
cse conserve-
t-elle ?
B. Trajectoires hyperboliques de la particule A
On se place dans toute la suite du problème dans le référentiel (K∗). On
suppose que M≫m.
1. Montrer dans ce cas que G A ≃ret que la vitesse de Adans le référen-
tiel barycentrique est voisine de v. Relier de même les constantes du
mouvement barycentrique σ∗et E∗
cau moment cinétique et à l’énergie
cinétique de Adans le référentiel (K∗).
2. On supposera r>R. Quelle est l’équation du mouvement de A? Mon-
trer que le mouvement de Aest plan.
On appellera Gx y le plan du mouvement ; on repère la position de A
dans le plan G x y par ses coordonnées polaires r=G A et θ=(ex·r).
On notera er,eθla base locale polaire correspondante (voir figure ci-
dessous)
G
z
b
v0
v1
∆
∆′
er
eθ
Ax
y
r
θ
Φ
3. On pose σ∗.ez=mC .
Expliciter Cen fonction de ret ˙ θ=dθ
dt, puis expliciter la dérivée dv dθ
en fonction de G,Met C. En déduire que le vecteur e=αv−eθest,
pour un choix que l’on précisera de la constante α, une constante du
mouvement.
Expliquer pourquoi on ne perd pas de généralité dans l’étude du mou-
vement en posant e=eeyavec e>0.
4. À partir du résultat de la question précédente, exprimer v.eθen fonc-
tion de α,eet θ; en déduire l’équation de la trajectoire, qu’on écrira
sous la forme p
r=1+ecos θ. Expliciter pen fonction de αet C, puis en
fonction de C,Get M.
À quelle condition, portant sur e, la trajectoire de Aest-elle hyperbo-
lique ?
C. Étude de la trajectoire
On ne fait plus ici d’hypothèse particulière quant à la direction du vecteur
edans le plan G x y du mouvement.
1. Lorsque la particule Aest encore située à très grande distance de
l’étoile E(xA→−∞, voir la figure ci-dessus), sa vitesse v0est colinéaire
àGx ; elle a pour norme v0. L’asymptote ∆à cette trajectoire incidente
passe à la distance bde G. Exprimer Cen fonction de bet v0; préciser
en particulier le signe de C.
2. Lorsque la particule As’est largement éloignée de l’étoile E, sa trajec-
toire est à nouveau une droite ∆′parcourue à la vitesse constante v1.
Quelle est la norme de v1?
3. Exprimer, pour t→ −∞ puis pour t→ +∞, le vecteur eprojeté sur la
base ex,eyen fonction de α,v0et de l’angle de déviation Φentre les
droites ∆et ∆′.
En déduire une expression de tan Φ
2en fonction de v0,C,Get M.
4. Lors de son mouvement, la particule Apasse à un certain instant à
une distance minimale ddu centre de l’étoile E. À partir par exemple
de deux lois de conservation, déterminer une équation du second degré

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dont 1
dest solution. En déduire que :
d=C2
GM+qG2M2+C2v2
0
5. Quel est le sens de variation, pour v0fixé, de la fonction Φ(d)reliant
l’angle de déviation et la distance minimale d’approche ? Commenter.
6. Lorsque cette distance minimale correspond à une trajectoire rasante
d=R, quelle est la valeur de la déviation Φ0? On montrera que :
tan Φ0
2=
GM
v2
0pR(R+ρ)
où l’on exprimera ρen fonction de G,M, et v0.
7. Déterminer numériquement ρ, appelé rayon de SCHWARZSCHILD,
dans le cas du Soleil pour une particule de vitesse v0=c.
D. Déviation de la lumière par le Soleil
La lumière est ici traitée comme un faisceau de photons, particules dont
la masse mn’a pas besoin d’être précisée dans la suite (même si on sait
aujourd’hui qu’elle est nulle), et qu’on traitera dans le cadre de la méca-
nique non relativiste (même si cette approximation n’est pas légitime).
Ces photons seront considérés comme soumis, comme une particule ma-
térielle ordinaire, à l’interaction gravitationnelle avec l’étoile.
On admettra que, pour les photons passant à proximité du Soleil, ρ≪R
(voir C6).
1. Déterminer, en secondes d’arc, la déviation Φ0correspondant à un pho-
ton rasant le Soleil. On prendra v0=c.
2. Une expédition fut montée en mai 1919 pour observer cette déviation
à l’occasion d’une éclipse de Soleil. La météo ne fut pas très bonne, pas
plus donc que la qualité des observations ; toutefois, des mesures ulté-
rieures menées lors de diverses éclipses de 1922 à 1999 confirmèrent
progressivement une valeur mesurée expérimentalement Φe=1, 75′′.
Pourquoi la mesure doit-elle être menée lors d’une éclipse du Soleil ?
Commenter la valeur de Φe=1, 75′′.
E. Effets de lentille gravitationnelle
La présence d’un astre massif Esur le trajet d’un faisceau de lumière pa-
rallèle provoque une déviation des rayons lumineux formant ce faisceau.
L’angle de déviation Φdépend de la distance bentre le rayon étudié et
l’astre E, sous la forme
Φ≃κGM
c2b
où M est la masse de l’astre E.
1. Par analyse dimensionnelle, préciser l’unité de la grandeur constante
κ.
2. Montrer que la déviation gravitationnelle de la lumière par l’astre E
se comporte, pour un rayon passant à la distance bde l’astre E(cf. fi-
gure ci-dessous), comme une lentille convergente dont on exprimera la
distance focale f′en fonction de b,κ,c,Get M.
On considère un rayon lumineux rasant la surface du Soleil ; best donc
voisin du rayon Rdu Soleil.
bΦ
E
3. Déterminer f′dans ces conditions ; on prendra κ=2SI et on expri-
mera le résultat en années-lumière (une année-lumière est la distance
parcourue par la lumière pendant une année).
4. L’observation des astres lointains et peu lumineux est parfois amélio-
rée lorsque s’interpose, sur le trajet de la lumière entre ces astres et la
Terre, une galaxie massive. Pouvez-vous expliquer ce fait ?
Données :
Célérité de la lumière dans le vide c=3,00 ×108m.s−1
Constante de BOLTZMANN kB=1,38 ×1023 J.K1
Constante de la gravitation universelle G=6,67 ×1011 m3.kg1.s2
Constante de PLANCK h=6,63 ×1034 J.s
Durée d’une année 365,25 jours =3, 16 ×107s
Masse du Soleil M=1,99 ×1030 kg
Rayon du Soleil R=6, 95 ×108m

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Commentaires et correction :
Problème 1
Un certain nombre d’entre vous n’ont pas compris le sens physique de l’axe (z′z)
suivant le verticale ascendante. Cet axe a la même direction que le vecteur g, dans
lequel on tient compte de l’attraction de la Terre et la force d’inertie d’entrainement.
Dans ce calcul, on n’a à aucun moment besoin de négliger l’accélération d’entraine-
ment, même s’il est vrai que sa contribution est en réalité négligeable.
Beaucoup se sont arrêter au système d’équations :
x=y0cosbt sin at
y=y0cosbt cos at
C’est dommage ! C’est la suite qui est la partie la plus intéressante.
Problème 2
Problème du concours Centrale MP 2009. Il a été bien traité par la plupart d’entre
vous. C’est pourquoi la correction est très rapide.
Ce problème permet de faire le point sur le système à deux corps et sur les forces
centrales. La nature conique des trajectoires pour les forces centrales newtoniennes
est démontrée grâce au vecteur excentricité. Ce même vecteur permet de calculer la
déviation dans le cas d’une trajectoire hyperbolique.
Problème 1
1 - La masse B est soumise à la tension du fil T, à son poids Pqui contient l’attrac-
tion terrestre et la force d’inertie d’entrainement et à la force d’inertie de Coriolis
FC=−2mΩ∧voù vest la vitesse dans le référentiel terrestre non galiléen.
La RFD s’écrit :
ma =mg +T+FC
A
B
z
y
x
T
P
λ
Ω
2 - La tension du fil est de la forme : T=T/ℓB A. En projetant la RFD sur les axes on
obtient :
m¨ x=−Tx
ℓ−2mω¡cosλ˙
z−sin λ˙ y¢
m¨ y=−Ty
ℓ−2mωsin λ˙
x
m¨ z=−mg −Tℓ−z
ℓ+2mωcos λ˙
x
3 - Dans le cas des petites oscillations, on a :
¨
z=0;˙ z=0;ℓ−z
ℓ=1−z ℓ≃1
Le terme 2mωcos λ˙ xa pour ordre de grandeur (1 kg)*(10−4rad.s−1)*(1 m.s−1)=10−4
m.s−2ce qui est faible devant g=10 m.s−2. On néglige donc ce terme et la 3ème
équation donne T≃mg .
4 - Les équations restantes s’écrivent alors :
¨
x−2ωsin λ˙ y+gx
ℓ=0
¨
y+2ωsin λ˙ x+gy
ℓ=0
En introduisant b2=g/ℓet a=ωsin λ, il vient :
¨
x−2a˙ y+b2x=0(1)
¨
y+2a˙ x+b2y=0(2)
Les ordres de grandeur pour aetbsont : a=10−4s−1et b=p10/1 ≃3s−1. On a bien
a≪b.
5 - Avec Z=x+i y, on obtient en écrivant (1)+i(2) :
¨
Z+2ai ˙ Z+b2Z=0
L’équation caractéristique a pour solution :
−ai ±pa2i2−b2= −ai ±pa2+b2
≃−i(a±b)
d’où la solution : Z=A1e−i(a+b)+A2e−i(a−b)où A1et A2sont de la forme : A1=α1+iβ1
et A2=α2+iβ2.

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En prenant la partie réelle et la partie imaginaire de Z, on aboutit a :
x=α1cos(a+b)t+β1sin(a+b)t
+α2cos(a−b)t+β2sin(ab)t
y=−α1sin(a+b)t+β1cos(a+b)t
−α2sin(a−b)t+β2cos(ab)t
Les conditions initiales (t=0;x=0;˙ x=0;y=y0;˙ y=0) conduisent aux équations :
0=α1+α2(3)
0=β1(a+b)+β2(a−b)(4)
y0=β1+β2(5)
0=−α1(a+b)−α2(a−b)(6)
(3) donne α1=α2. En utilisant a≪b(4) conduit à β1≃β2, soit avec (5), β1=β2=1
2y0.
Enfin l’équation (6) conduit à 0=2α2bsoit α1=α2=0
On obtient ainsi :
x=1
2y0[sin(a+b)t+sin(a−b)t]
y=1
2y0[cos(a+b)t+cos(a−b)t]
d’où
x=y0cosbt sin at
y=y0cosbt cos at
6 - Le mouvement de B est la composition d’un mouvement rectiligne sinusoïdal et
d’un mouvement circulaire. On introduit le vecteur unitaire udans la direction BB0.
Le vecteur position de B est r u =xex+yeyavec r=px2+y2=y0cosbt.
Nord
Est
y
x
B0
B
r
B1
ex
u
ey
sens de rotation
du plan d’oscillation
dans l’hémisphère nord
On a ainsi
r=y0cosbt u (7)
=y0cosbt sin at ex+y0cos bt cos at ey
On en déduit que
u=sin at ex+cos at ey(8)
La relation (7) montre que B a un mouvement relatif rectiligne sinusoïdal dans la
direction de uet que, d’après (8), cette direction tourne autour de Ozavec la période :
T′=2π
a=2π ωsin λ≥T
Pour λ=45°, on obtient :
T′=1,72.105s=33 h47 min
Problème 2
Déviation de la lumière par les étoiles
A. Étude du système Σformé de Aet de E
1. Le référentiel (K∗)est le référentiel en translation relativement à (K)à la
vitesse ~ vG/K, où Gest le barycentre de Σ. Le système Σétant isolé, l’accélé-
ration de Gest nulle dans le référentiel galiléen (K)donc le référentiel (K∗)
est galiléen .
2. −→ O A =−→ OG +−→ G A soit aussi −→ O A =−→ OG +M
M+m−→
E A donc par deux dérivations succes-
sives, ~ vA=~ vG+M
M+m
~
vet ~ γA=~ γG+M
M+m
~
γ.
3. Le théorème de König affirme que ~ σO=mT~ rG∧~ vG+~ σ∗où le moment cinétique
barycentrique est indépendant du point de calcul ; on peut donc le calculer en
Esous la forme ~ σ∗=m~ r∧~ v∗
Aavec ~
v∗
A=~
vA−~ vGdonc ~ v∗
A=M
M+m~
vd’après la ques-
tion précédente ; il vient ~ σ∗=Mm
M+m~
r∧~ vdonc enfin ~ σO=mT~ rG∧~ vG+µ~ r∧~ v.
De la même façon, Ec=1
2mT~
v2
G+E∗
coù E∗ c=1
2(m~
v∗2
A+M~
v∗2
E)donc en utilisant
les mêmes expressions que ci-dessus, ~ v∗
A=M
M+m~
vet ~ v∗
E=m
M+m~
vet après sim-
plification, Ec=1
2mT~
v2
G+1
2µ~
v2.