Feuille d`exercices n°21 : Variables aléatoires à

ECE1-B 2015-2016
Feuille d’exercices n°21 :
Variables aléatoires à densité
Démontrer qu’une fonction est une densité de probabilité
Exercice 1. (☀)
On définit une fonction fsur Rpar :
f(x) = 
0si x < −1
1 + xsi −16x < 0
1−xsi 06x < 1
0si 16x
a. Montrer que fest une densité de probabilité.
b. Soit Xune variable aléatoire de densité f.
Expliciter sa fonction de répartition FX.
c. Tracer les représentations graphiques de fet FX.
d. Calculer E(X)et V(X).
e. Calculer PX > 1
2 et P|X|61 3.
Exercice 2. (☀)
Pour a > 1, on note fla fonction suivante :
f(x) = 
x+ ln x
x2si x∈[1, a]
0sinon
a. Déterminer apour que fsoit une densité de probabilité.
b. Si Xest une variable de densité f, quelle est son espérance ? Sa variance ?
Exercice 3. (☀)
On définit une fonction fsur Rpar :
f(x) = 1
2e−|x|
a. Montrer que fest une densité de probabilité.
b. Soit Xune variable aléatoire de densité f.
Expliciter sa fonction de répartition FX.
c. Est-ce que Xa une espérance ? Si oui, la calculer.
d. Déterminer la loi de Y=|X|.
On donnera son support, sa fonction de répartition ainsi que sa densité,
si elle existe.
Transformation d’une v.a.r. densité quelconque
Exercice 4. (☀)
On suppose que Xest une variable aléatoire à densité, on note fsa densité et
Fsa fonction de répartition. Déterminer (en fonction de fet F) la fonction
de répartition FYet une densité fY(si elle existe) des variables Ysuivantes :
a. Y= 2X+ 1
b. Y=aX +b, où (a, b)∈R2
(il y aura peut-être plusieurs cas à faire . . .)
c. Y=eX
d. Y=X2
Transformations de v.a.r. à densités usuelles
Exercice 5. (☀)
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi exponentielle E(λ), pour λ > 0.
a. Est-ce que Y=√Xest bien définie ? Déterminer sa loi.
b. Déterminer les lois de Z=X2et U=X3.
1

ECE1-B 2015-2016
Exercice 6. (☀)
Soit X → N (0,1).
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y=X2.
b. Calculer E(Y)et V(Y).
c. Déterminer la loi de Z=−X.
Exercice 7. (☀)
Soit X → N (0,1).
a. Déterminer la loi de Y=eX.(c’est ce qu’on appelle la loi log-normale)
b. Quelle est l’espérance de Y?
Exercice 8. (☀)
Soit X → U([0,1]) et Y=eX.
Calculer E(Y)et V(Y).
Théorème d’inversion
Exercice 9. (☀☀)
Soit Xune v.a.r. dont la loi est donnée par sa fonction de répartition F:
R→]0,1[. Soit Uune v.a.r. telle que U → U([0,1]).
On suppose de plus que :
×Fest continue sur R,
×Fest strictement croissante sur R.
1. Démontrer que Fest bijective de Rdans ]0,1[.
2. Déterminer la fonction de répartition de la v.a.r. V=F−1(U)
Exercice 10. (☀)
Soit X → U([0,1]) et λ > 0.
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y=−1
λln(1 −X).
b. En déduire une fonction Scilab permettant de simuler la loi exponentielle.
Loi du min, du max de deux v.a.r. à densité
Exercice 11. (☀☀)
Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0,1].
On définit les variable aléatoires U= min(X, Y )et V= max(X, Y ).
1. Démontrer que :
[U > t]=[X > t]∩[Y > t]et [V6t]=[X6t]∩[Y6t]
2. Déterminer la fonction de répartition G, puis une densité gde U.
3. Déterminer la fonction de répartition H, puis une densité hde V.
4. Calculer l’espérance de U.
5. Exprimer U+Ven fonction de Xet Y.
En déduire l’espérance de V.
Exercice 12. (☀)
Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x) = nxn−1si x∈[0,1]
0sinon
1. Montrer que fest une densité de probabilité.
On considère alors une variable aléatoire Xdont fest une densité.
2. Calculer la fonction de répartition, qu’on notera F, de X.
3. Déterminer P(X61/4),P(X>1/2),P(|X|63/4).
4. On pose Y= 1 −ln(X).
a. Déterminer la fonction de répartition de Y.
b. En déduire que Yest à densité et en donner une densité.
5. Soient X1et X2deux variables aléatoires, indépendantes, suivant la même
loi que X.
a. Déterminer la loi de U= min(X1, X2).
b. Déterminer la loi de V= max(X1, X2).
2

ECE1-B 2015-2016
Exercice 13. (☀)
Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x) = e−|x|si x∈[−ln(2),ln(2)]
0sinon
1. Démontrer que la fonction fest paire et calculer R+∞
0f(t)dt.
2. En déduire que fest une densité de probabilité.
On considère alors une variable aléatoire Xdont fest une densité.
3. Calculer la fonction de répartition, qu’on notera F, de X.
4. On pose Y=|X|.
a. Déterminer la fonction de répartition de Y.
b. En déduire que Yest à densité et en donner une densité.
5. Soient Y1et Y2deux variables aléatoires, indépendantes, suivant la même
loi que Y.
a. Déterminer la loi de U= min(Y1, Y2).
b. Déterminer la loi de V= max(Y1, Y2).
Exercice 14. (☀)
Soit X → E (1).
Déterminer la fonction de répartition de Y= min(X, 1/X).
Loi d’une somme de v.a.r. continues
Exercice 15. (☀☀)
Soient Xet Ydeux v.a.r. indépendantes suivant la loi exponentielle de pa-
ramètre λ > 0.
On admet que si Uet Vsont deux variables aléatoires à densité indépen-
dantes, alors la variable U+Vest à densité et admet pour densité la fonction :
fU+V(x) = Z+∞
−∞
fU(t)fV(x−t)dt =Z+∞
−∞
fV(t)fU(x−t)dt
1. Montrer que la variable aléatoire −Yest à densité et en déterminer une
densité.
2. En déduire, en séparant les cas x < 0et x>0, que la variable Z=X−Y
admet pour densité :
∀x∈R, fZ(x) = λ
2e−λ|x|
3. Démontrer que la variable aléatoire T=|Z|est à densité et en déterminer
une densité.
3