EX 1 : Soit p, la probabilité qu`un individu soit atteint de

♣ pour le 17-10-16
TS. DM3 - Probabilités - Suites
E X 1 : Soit p, la probabilité qu’un individu soit atteint de drépanocytose, une maladie génétique de l’hémoglobine.
On s’intéresse à un groupe de n individus testé pour cette maladie et on note X la variable aléatoire correspondant
au nombre de tests positifs (le test est fiable sans « faux négatif »).
1. Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres et la valeur de p(X > 1).
2. Pour minimiser le coût des tests, on fait un premier test en regroupant les n échantillons de sang prélevés.
- Si ce test est négatif, avec un seul test, on peut être sûr que les n individus ne sont pas atteints par la maladie;
- Si ce test est positif, on réalise un test sur chaque échantillon prélevé et on a alors réalisé en tout n + 1 tests.
Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre de tests réalisés par le laboratoire.
a. Donner les valeurs que peut prendre Y. Quelle loi suit Y ?
¡
¢n
b. Démontrer que E(Y) = n + 1 − n 1 − p .
3. Soit Z la variable aléatoire correspondant au nombre de tests réalisés sur un seul échantillon de sang.
Y
On admet Z =
n
a. Donner les valeurs que peut prendre Z. Quelle loi suit Z ?
¡
¢n 1
b. Démontrer que E(Z) = 1 − 1 − p + .
n
¡ ¢
¡
¢n 1
4. On admet que p = 0, 009. Soit u n la suite définie sur ∗ par u n = 1 − 1 − p + .
n
a. Représenter graphiquement les premiers termes de cette suite à l’aide de la calculatrice.
N
b. En déduire la valeur de n pour laquelle u n admet la plus petite valeur.
c. Chaque test coûte 10 €.
En pratiquant cette méthode, quelle économie réalise-t-on (en euros par individus) ?