EX 1 : Soit p, la probabilité qu`un individu soit atteint de

EX1 : Soit p, la probabilité qu’un individu soit atteint de drépanocytose, une maladie génétique de l’hémoglobine.
On s’intéresse à un groupe de nindividus testé pour cette maladie et on note X la variable aléatoire correspondant
au nombre de tests positifs (le test est fiable sans « faux négatif »).
1. Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres et la valeur de p(X >1).
2. Pour minimiser le coût des tests, on fait un premier test en regroupant les néchantillons de sang prélevés.
- Si ce test est négatif, avec un seul test, on peut être sûr que les nindividus ne sont pas atteints par la maladie;
- Si ce test est positif, on réalise un test sur chaque échantillon prélevé et on a alors réalisé en tout n+1 tests.
Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre de tests réalisés par le laboratoire.
a. Donner les valeurs que peut prendre Y. Quelle loi suit Y ?
b. Démontrer que E(Y) =n+1−n¡1−p¢n.
3. Soit Z la variable aléatoire correspondant au nombre de tests réalisés sur un seul échantillon de sang.
On admet Z =Y
n
a. Donner les valeurs que peut prendre Z. Quelle loi suit Z ?
b. Démontrer que E(Z) =1−¡1−p¢n+1
n.
4. On admet que p=0, 009. Soit ¡un¢la suite définie sur ∗par un=1−¡1−p¢n+1
n.
a. Représenter graphiquement les premiers termes de cette suite à l’aide de la calculatrice.
b. En déduire la valeur de npour laquelle unadmet la plus petite valeur.
c. Chaque test coûte 10 €.
En pratiquant cette méthode, quelle économie réalise-t-on (en euros par individus) ?
TS. DM3-Probabilités - Suites ♣pour le 17-10-16