S4 Maths 2008-2009 Probabilités 1 Devoir 3
Université de Picardie Jules Verne 2008-2009
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Devoir 3
A rendre le lundi 1er juin 2009
Exercice 1.Etude d’une v.a.r. discrète
Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. A chaque étape, on tire une boule de
l’urne. Si elle est blanche, on la remet dans l’urne avec une boule noire supplémentaire. On arrête les tirages
dès que l’on obtient une boule noire. On désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre de tirages
effectués.
1) Déterminer la loi de probabilité de X. On justifiera les calculs effectués.
2) a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X1.
b) En déduire l’espérance mathématique de X.
Exercice 2 Couple de v.a.r. discrètes et indépendance
Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes, de même loi Uniforme sur −1,1. Soit la variable
aléatoire ZXY.
1) Déterminer la loi conjointe du couple X,Y.
2) a) Déterminer l’espérance mathématique de Z.
b) Déterminer la loi de probabilité de Z.
3) a) Déterminer la loi conjointe du couple X,Z.
b) Les variables aléatoires Xet Zsont-elles indépendantes ?
Exercice 3.Couple de v.a.r. discrètes et indépendance
Dans un grand magasin, l’étude du mode de paiement a permis d’établir que pour chaque client se
présentant à une caisse, la probabilité que le client règle par carte bancaire est égale à 0,6.
1) Une caissière reçoit nclients dans la journée, avec n2. On définit les deux variables aléatoires Yet
Ztelles que Y(respectivement Z) comptabilise le nombre de clients qui paient (respectivement ne paient pas)
par carte bancaire. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les clients.
a) Donner, sans calcul mais en justifiant la réponse, les lois de probabilité de Yet de Z.
b) Déterminer la loi conjointe du couple Y,Z.
c) Les variables aléatoires Yet Zsont-elles indépendantes ?
2) On suppose maintenant que le nombre de clients se présentant à la caisse est une variable aléatoire X
suivant la loi de Poisson de paramètre , avec 0.
a) Donner, sans calcul et pour n∈ℕ, la loi de probabilité de Yconditionnelle à Xn.
b) Démontrer que Ysuit la loi de Poisson de paramètre p.
c) Donner, par analogie, la loi de Z.
d) Déterminer la loi conjointe du couple X,Y. En déduire celle du couple Y,Z; on pourra utiliser le
fait que YZX.
e) En déduire que les variables aléatoires Yet Zsont indépendantes ? Comparer avec 1)c).
Exercice 4.Un calcul de −
e−x2
2dx
1) Justifier la convergence de l’intégrale I0
e−x2
2dx.
2) Pour tout réel a0, on pose Ia0
ae−x2
2dx. Vérifier que Ia2Cae−x2y2
2dxdy,oùCadésigne
le carré 0,a0,a.
3) Pour tout a0, on considère le quart de disque Darcos,rsin/r∈0,aet r∈0,
2.
a) En effectuant le changement de variables xrcoset yrsin, calculer JaDae−x2y2
2dxdy.
b) En déduire que lim
a→Ja
2.
c) Représenter sur un même graphique les ensembles Da,Caet Da2et préciser les éventuelles
inclusions entre ces ensembles.
Stéphane Ducay 1