Devoir 3 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S4 Maths 2008-2009 Probabilités 1 Devoir 3
Université de Picardie Jules Verne 2008-2009
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Devoir 3
A rendre le lundi 1er juin 2009
Exercice 1.Etude d’une v.a.r. discrète
Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. A chaque étape, on tire une boule de
l’urne. Si elle est blanche, on la remet dans l’urne avec une boule noire supplémentaire. On arrête les tirages
dès que l’on obtient une boule noire. On désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre de tirages
effectués.
1) Déterminer la loi de probabilité de X. On justifiera les calculs effectués.
2) a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X1.
b) En déduire l’espérance mathématique de X.
Exercice 2 Couple de v.a.r. discrètes et indépendance
Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes, de même loi Uniforme sur −1,1. Soit la variable
aléatoire ZXY.
1) Déterminer la loi conjointe du couple X,Y.
2) a) Déterminer l’espérance mathématique de Z.
b) Déterminer la loi de probabilité de Z.
3) a) Déterminer la loi conjointe du couple X,Z.
b) Les variables aléatoires Xet Zsont-elles indépendantes ?
Exercice 3.Couple de v.a.r. discrètes et indépendance
Dans un grand magasin, l’étude du mode de paiement a permis d’établir que pour chaque client se
présentant à une caisse, la probabilité que le client règle par carte bancaire est égale à 0,6.
1) Une caissière reçoit nclients dans la journée, avec n2. On définit les deux variables aléatoires Yet
Ztelles que Y(respectivement Z) comptabilise le nombre de clients qui paient (respectivement ne paient pas)
par carte bancaire. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les clients.
a) Donner, sans calcul mais en justifiant la réponse, les lois de probabilité de Yet de Z.
b) Déterminer la loi conjointe du couple Y,Z.
c) Les variables aléatoires Yet Zsont-elles indépendantes ?
2) On suppose maintenant que le nombre de clients se présentant à la caisse est une variable aléatoire X
suivant la loi de Poisson de paramètre , avec 0.
a) Donner, sans calcul et pour n∈ℕ, la loi de probabilité de Yconditionnelle à Xn.
b) Démontrer que Ysuit la loi de Poisson de paramètre p.
c) Donner, par analogie, la loi de Z.
d) Déterminer la loi conjointe du couple X,Y. En déduire celle du couple Y,Z; on pourra utiliser le
fait que YZX.
e) En déduire que les variables aléatoires Yet Zsont indépendantes ? Comparer avec 1)c).
Exercice 4.Un calcul de −
e−x2
2dx
1) Justifier la convergence de l’intégrale I0
e−x2
2dx.
2) Pour tout réel a0, on pose Ia0
ae−x2
2dx. Vérifier que Ia2Cae−x2y2
2dxdy,oùCadésigne
le carré 0,a0,a.
3) Pour tout a0, on considère le quart de disque Darcos,rsin/r∈0,aet r∈0, 
2.
a) En effectuant le changement de variables xrcoset yrsin, calculer JaDae−x2y2
2dxdy.
b) En déduire que lim
a→Ja
2.
c) Représenter sur un même graphique les ensembles Da,Caet Da2et préciser les éventuelles
inclusions entre ces ensembles.
Stéphane Ducay 1

S4 Maths 2008-2009 Probabilités 1 Devoir 3
d) En déduire que pour tout réel a0, Ja≤Ia2≤J a 2 .
e) En déduire que la valeur de I.
4) En déduire la valeur de −
e−x2
2dx.
Exercice 5.V.a.r. à densité
1) Vérifier que la fonction fdéfinie sur par fx
x
2si 0 ≤x≤2
0 sinon est une densité de probabilité.
Dans toute la suite de l’exercice, X désigne une variable aléatoire admettant f pour densité.
2) a) Déterminer la fonction de répartition FXde X.
b) Calculer l’espérance mathématique EXet la variance VarXde X.
3) On note Ula variable aléatoire définie par UX2; on pose YU
4.
a) Déterminer la fonction de répartition FUde U, puis celle FYde Y.
b) Etablir qu’une densité fYde Yest donnée par fYx1si0≤x≤1
0 sinon . Reconnaître la loi de Y.
c) En déduire la valeur de l’espérance EYde Y.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Dans la suite, on considère n variables aléatoires X1,...,Xn
indépendantes, suivant toutes la même loi que X.
4) On note Znla variable aléatoire définie par ZnmaxX1,X2,...,Xn.
a) Montrer que la fonction de répartition FZnde Znest donnée par :
FZnx
0six≤0
x
2
2nsi 0 ≤x≤2
1six≥2
b) En déduire une densité fZnde Zn.
c) Calculer l’espérance EZnde Zn, ainsi que sa limite quand ntend vers .
Exercice 6.Loi de Pareto (Vilfredo Pareto (1848-1923), sociologue et économiste italien)
Soient aet bdes réels strictement positifs. Par définition, on dit d’une variable aléatoire Xqu’elle suit la
loi de Pareto de paramètres aet bsi elle admet pour densité de probabilité la fonction fXdéfinie sur par
fXxaba
xa1si xb
0sixb
Soit alors Xune variable aléatoire de loi de Pareto de paramètres aet b.
1) a) Vérifier que fXdéfinit bien une densité de probabilité.
b) Calculer l’espérance et la variance de X, en précisant à quelle(s) condition(s) elles existent.
2) a) Déterminer la fonction de répartition FXde X.
b) En déduire la fonction de survie GXdéfinie sur par GXxPXx.
c) Démontrer que, pour tout réel ypositif ou nul, la probabilité conditionnelle PXxy/Xx
tend vers 1 quand xtend vers . Que peut-on dire d’un phénomène dont la durée de vie est modélisée par X?
3) On considère la variable aléatoire Yln X
b.
Déterminer la fonction de répartition, puis une densité de Y. Reconnaître une loi usuelle.
Stéphane Ducay 2