Lois continues Caractériser une loi

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 – Intà c gration et probabilità c s
Année universitaire 2013-2014
Fiche 5 – Fondements des probabilités, suite
Lois continues
Exercice 1 – Calculs sur les lois à densité.
1. Soit Xune variable aléatoire de loi uniforme sur [0,2]. Calculer son espérance et sa variance.
2. Soit Xune variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ. Calculer son espérance et sa variance.
3. Soit Xune variable aléatoire de loi de Cauchy, c’est-à-dire de densité x7→ 1
1+x2sur R. Que dire de son
espérance ?
Exercice 2. Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes telles que Xsuit la loi E(λ)et Ysuit la loi
E(µ).
1. Calculer P(X < Y ).
2. Calculer E[X(1 + Y)],E[eX1{X>Y }]et E[emax(X,Y )].
Exercice 3. Soit Yune variable aléatoire réelle de densité
y7→ C(1 −y2)1[0,1](y),
où Cest une constante.
1. Préciser la valeur de C.
2. Calculer E[Y].
3. Soit Xune variable aléatoire de loi E(1), indépendante de Y. Calculer E[eXY ].
Exercice 4. Soit Xune variable de loi exponentielle de paramètre λ. Montrer la propriété d’« absence de
mémoire » de X:
pour tous s, t > 0, P (X > s +t|X > s) = P(X > t).
En raison de cette propriété, la loi exponentielle s’interprète par exemple comme la durée de vie d’une machine
sans vieillissement : la probabilité qu’une panne ait lieu entre les instants set s+test la même qu’entre les
instants 0et t, comme si la machine ne vieillissait pas (le vieillissement pourrait faire croître (usure) ou décroître
(rodage) cette probabitilité).
Caractériser une loi
Exercice 5 – Calcul direct.
1. Soit deux variables aléatoires X, Y indépendantes, de loi normale N(0,1). Déterminer la loi de la variable X
Y.
Pour toute fonction mesurable positive g, exprimer E[g(X
Y)] sous forme d’intégrale, la mettre sous la forme
Rg(z)f(z)dz, ce qui est aussi E[g(Z)] où Zsuit la loi de densité f, pour déduire que X
Yet Zont même loi.
2. En déduire la loi de Z−1si Zest une variable aléatoire de loi de Cauchy.
Exercice 6 – Fonction de répartition.Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives
E(λ)et E(µ).
1. Déterminer la fonction de répartition de X.
2. Déterminer la fonction de répartition de U= min(X, Y ). En déduire la loi de U.
3. Déterminer la fonction de répartition de V= max(X, Y ). En déduire que la loi de Va une densité que l’on
précisera.
Exercice 7 – Fonction génératrice.Soit m, n ∈Net p∈[0,1].
1. Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire Xde loi B(p).
2. Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire Nde loi B(n, p).
3. En déduire la propriété suivante (déjà vue) : la somme de nvariables aléatoires indépendantes de loi B(p)
suit la loi B(n, p).
4. En déduire la loi de N+Moù Nsuit la loi B(n, p),Msuit la loi B(m, p), et Met Nsont indépendantes.
Exercice 8 – Fonction caractéristique.Soit Xune variable aléatoire de loi N(0,1).
1. Sans calcul, déterminer la partie imaginaire de ΦX(t)pour t∈R.Commencer par en donner une expression
sous forme d’intégrale.
2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que Φ0
X(t) = −tΦX(t). En déduire l’expression de ΦX(t).
3. En déduire la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi N(m, σ2).On rappelle que, pour σ > 0
et m∈R,σX +msuit la loi N(m, σ2).