c c MACS 1 – IntÃgration et probabilitÃs Université Paris 13, Institut Galilée Année universitaire 2013-2014 Fiche 5 – Fondements des probabilités, suite Lois continues Exercice 1 – Calculs sur les lois à densité. 1. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 2]. Calculer son espérance et sa variance. 2. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ. Calculer son espérance et sa variance. 1 3. Soit X une variable aléatoire de loi de Cauchy, c’est-à-dire de densité x 7→ 1+x 2 sur R. Que dire de son espérance ? Exercice 2. Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X suit la loi E(λ) et Y suit la loi E(µ). 1. Calculer P (X < Y ). 2. Calculer E[X(1 + Y )], E[eX 1{X>Y } ] et E[emax(X,Y ) ]. Exercice 3. Soit Y une variable aléatoire réelle de densité y 7→ C(1 − y 2 )1[0,1] (y), où C est une constante. 1. Préciser la valeur de C. 2. Calculer E[Y ]. 3. Soit X une variable aléatoire de loi E(1), indépendante de Y . Calculer E[eXY ]. Exercice 4. Soit X une variable de loi exponentielle de paramètre λ. Montrer la propriété d’« absence de mémoire » de X : pour tous s, t > 0, P (X > s + t|X > s) = P (X > t). En raison de cette propriété, la loi exponentielle s’interprète par exemple comme la durée de vie d’une machine sans vieillissement : la probabilité qu’une panne ait lieu entre les instants s et s + t est la même qu’entre les instants 0 et t, comme si la machine ne vieillissait pas (le vieillissement pourrait faire croître (usure) ou décroître (rodage) cette probabitilité). Caractériser une loi Exercice 5 – Calcul direct. 1. Soit deux variables aléatoires X, Y indépendantes, de loi normale N (0, 1). Déterminer la loi de la variable X Y . Pour toute fonction mesurable positive g, exprimer E[g( X )] sous forme d’intégrale, la mettre sous la forme Y R g(z)f (z)dz, ce qui est aussi E[g(Z)] où Z suit la loi de densité f , pour déduire que X Y et Z ont même loi. 2. En déduire la loi de Z −1 si Z est une variable aléatoire de loi de Cauchy. Exercice 6 – E(λ) et E(µ). 1. Déterminer 2. Déterminer 3. Déterminer précisera. Fonction de répartition. Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives la fonction de répartition de X. la fonction de répartition de U = min(X, Y ). En déduire la loi de U . la fonction de répartition de V = max(X, Y ). En déduire que la loi de V a une densité que l’on Exercice 7 – Fonction génératrice. Soit m, n ∈ N et p ∈ [0, 1]. 1. Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire X de loi B(p). 2. Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire N de loi B(n, p). 3. En déduire la propriété suivante (déjà vue) : la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi B(p) suit la loi B(n, p). 4. En déduire la loi de N + M où N suit la loi B(n, p), M suit la loi B(m, p), et M et N sont indépendantes. Exercice 8 – Fonction caractéristique. Soit X une variable aléatoire de loi N (0, 1). 1. Sans calcul, déterminer la partie imaginaire de ΦX (t) pour t ∈ R. Commencer par en donner une expression sous forme d’intégrale. 2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que Φ0X (t) = −tΦX (t). En déduire l’expression de ΦX (t). 3. En déduire la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi N (m, σ 2 ). On rappelle que, pour σ > 0 et m ∈ R, σX + m suit la loi N (m, σ 2 ).