Le pendule pesant
par Gilbert Gastebois
1. Schéma
L0 Longueur du pendule = distance entre
l'axe et le centre de gravité du pendule.
m Masse du pendule
J Moment d'inertie du pendule par rapport à
son axe. Pour un pendule simple J = mL0²
mg Poids du pendule
R Réaction de l'axe
f Force de frottement fluide sur le pendule
2. Etude du mouvement du pendule pesant
2.1 Équation différentielle du mouvement.
Équation de Newton : J d²θ/dt² = Σ MF
J d²θ/dt² = Mmg + Mf + MR
J d²θ/dt² = - mg L0 sinθ - f L0 + 0
f = - k v = - k L0 ω = - k L0 dθ/dt ( frottement fluide laminaire )
J d²θ/dt² = - mg L0 sinθ - k L02 ω = - mg L0 sinθ - k L02 dθ/dt
d²θ/dt² = - k L02/J dθ/dt - mg L0/J sinθ
On pose mg L0/J = ω02 et k L02/J = γ
d²θ/dt² + γ dθ/dt + ω02 sinθ = 0
2.2 Équation différentielle pour les petits angles.
Cette équation n'a pas de solution analytique, sa solution est numérique. Cependant, on peut
la traiter dans l'approximation des petits angles.
θ petit => sinθ = θ
on a alors :
d²θ/dt² + γ dθ/dt + ω02 θ = 0
Solution de l'équation : Cliquer ici
3. Etude du pendule sans frottement
3.1 Équation différentielle pour les petits angles.
Si γ = 0, alors d²θ/dt² + ω02 θ = 0
donc θ = θm sin ( ω0 t + φ )
dθ/dt = θmω0 cos ( ω0 t + φ )
Conditions initiales : A t = 0 θ = θ0 et dθ/dt = θ'0
θ0 = θm sinφ et θ '0 = θm ω0 cosφ
tan φ = ω0 θ0/θ'0 et θm = θ0/arctanφ
3.2 Période du mouvement pour les petits angles.
T0 = 2π/ω0 = 2π( J/mgL0 )1/2
T0 = 2π( J/mgL0 )1/2
Pour un pendule simple J = mL02 donc T0 = 2π( L0/g )1/2
3.3 Étude énergétique
Sans frottement, Em = constante ( On pose dθ/dt = θ' )
Em = Ec + Ep = 1/2 Jθ'2 + mgz = 1/2 Jθ'2 + mg( L0 - L0 cosθ ) = 1/2 Jθ'2 + mgL0 (1 - cosθ )
Em = 1/2 Jθ'2 + mgL0 (1 - cosθ )
A θ = θm , θ' = 0 donc Em = mgL0 (1 - cosθm )
mgL0 (1 - cos θm ) = 1/2 Jθ'2 + mgL0 (1 - cosθ )
mgL0 cos θm = -1/2 Jθ'2 + mgL0 cosθ
θ'2 = 2 mgL0/J( cos θ - cosθm )
θ' = (2 mgL0/J( cosθ - cosθm ))1/2 = (2 ω02 ( cosθ - cosθm ))1/2
Remarque : En dérivant , on retrouve l'équation différentielle du mouvement
θ' = (2 ω02 ( cosθ - cosθm ))1/2
d²θ/dt² = 1/2 (2 ω02 ( cosθ - cosθm ))-1/2( - 2 ω02 sinθ θ' ) =
- ω02 sin θ θ' /(2 ω02 ( cosθ - cosθm ))1/2
Comme θ' = (2 ω02 ( cosθ - cosθm ))1/2, l'expression se simplifie, il reste
d²θ/dt² = - ω02 sinθ
d²θ/dt² + ω02 sinθ = 0
On peut aussi utiliser le Lagrangien :
L = Ec - Ep = 1/2 Jθ'2 - mgL0 (1 - cosθ )
Formule de Lagrange : d(dL/dθ')/dt - dL/dθ = 0
Jd²θ/dt² + mgL0 sinθ = 0 et
d²θ/dt² + ω02 sinθ = 0
4. Etude du mouvement sans frottement pour les grands angles
4.1 Formule de Borda pour les angles moyens.
d²θ/dt² = - ω02 sinθ
On développe sinθ en décomposition de Taylor sinθ = θ - θ3/6 + θ5/120 + ....
d²θ/dt² = - ω02 ( θ - θ3/6 + θ5/120 + .... )
On prend θ = θm sin(ω t) avec ω = ω0 ( 1- ε ) ( ε petit )
- ω2θm sin(ω t) = - ω02 ( θm sin(ω t) - 1/6 θm3 sin3(ω t)) On se limite aux deux premiers
termes.
- ω02 (1 - 2ε ) θm sin(ω t) = - ω02( θm sin(ω t) - 1/6 θm3 sin3(ω t))
sin3ω t = 3/4 sin(ω t) - 1/4 sin(3 ω t) ( d'après sin(ω t) = ( eiωt - e-iωt ) /2i )
- ω02 (1 - 2ε ) θm sin(ω t) = - ω02( θm sin(ω t) - 1/6 θm3 (3/4 sin(ω t) - 1/4 sin(3ω t)))
On obtient :
2 ε θm sin(ω t) = 1/8 θm3 sin(ω t) - 1/24 θm3 sin(3ω t) = f(t)
f(t) est une fonction périodique de pulsation fondamentale ω avec une harmonique de rang 3.
Comme on s'intéresse seulement à la période fondamentale, on peut abandonner le terme
harmonique qui modifie la forme de f(t), mais pas sa période. On remplace ainsi f(t) par son
fondamental : f(t) = 1/8 θm3 sin(ω t). On a donc :
2 ε θm sin(ω t) = 1/8 θm3 sin(ω t)
ε = θm2 /16 donc
ω = ω0 (1 - θm2 /16) θm2 /16 << 1, ce qui fait θm << 4 rd ou θm << 240°. En
pratique, on peut prendre θm < 60°
T = 2π/ω = 2π/(ω0 (1 - θm2/16)) = 2π/ω0 (1 + θm2/16) = T0 (1 + θm2/16)
T = T0 (1 + θm2/16)
Cette formule est valable avec une remarquable précision jusqu'à θm = 60 °.
T = T0 (1 + θm2/16) pour des angles inférieurs à 60°
4.2 Formule générale de la période.
D'après la conservation de l'énergie ( Cf 3.3 ), on a :
θ' = (2 mgL0/J( cosθ - cosθm ))1/2 = (2 ω02 ( cosθ - cosθm ))1/2 or cosθ = 1 - 2 sin2(θ/2)
donc
θ' = dθ/dt donc dt = dθ/θ' = dθ/(2 ω02 ( cosθ - cosθm ))1/2 =
dθ/(2 ω02 (1 - 2sin²(θ/2) - 1 + 2 sin²(θm/2)1/2
dt = dθ/(4 ω02 (sin²(θm/2) - sin²(θ/2))1/2
On pose u = sin(θ/2)/sin(θm/2) et k = sin(θm/2) d'où u = sin(θ/2)/k
donc du = 1/2 cos(θ/2)/k dθ = (1 - sin²(θ/2))1/2 dθ /(2k) = (1 - k²u²)1/2 dθ /(2k) donc
dθ = 2k du/(1 - k²u²)1/2
dt = 2k du/((1 - k²u²)(4 ω02 (k² - k²u²)))1/2 = 2k du/((1 - k²u²)(4 k² ω0² (1 - u²)))1/2 =
du /ω0 /((1 - k²u²)(1 - u²))1/2
dt = du /ω0 /((1 - k²u²)(1 - u²))1/2
Si on intègre dt de θ = 0 à θ = θm, ce qui correspond à u = 1, on obtient le quart de la
période donc
T = 4/ω0du / ((1 - k²u²)(1 - u²))1/2 = 4/ω0 K(k) = 2 T0/π K(sin(θm/2))
K(k) est l'intégrale elliptique de Legendre:
K(k) = π/2 (1 + k2/4 + 9/64 k4 + .... + ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n +...) = π/2 Σ ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n
T = T0 (1 + 1/4 sin2m/2) + 9/64 sin4m/2) + 25/256 sin6m/2) + .... +
((2n)!/(2n n!)2)2 sin2nm/2) + .... )
T = T0 Σ((2n)!/(2n n!)2)2 sin2nm/2)
Si on prend les deux premiers termes pour θm assez petit pour qu'on puisse remplacer sin
θm/2 par θm/2 , on obtient :
T = T0 ( 1 + θm2/16 ) On retrouve la formule de Borda
On obtient :
θm ° 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
1+ θm2/16
(en rd) 1 1,00 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,09 1,12 1,15 1,19 1,23 1,27 1,32 1,37 1,43 1,49 1,55 1,62
2/π
K(sin(θm/2)) 1 1,00 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,10 1,14 1,18 1,23 1,29 1,37 1,47 1,59 1,76 2,01 2,44 infini
Si on prend les trois premiers termes :
T = T0 ( 1 + sin2m/2)/4 + 9/64 sin4m/2) + 25/256 sin6m/2) )
sin2m/2) = ( θm/2 - θm3/48)2 = θm2/4 - θm4/48 + θm6/1440 ( on se limite à la puissance 6 )
sin4m/2) = θm4/16 - θm6/96 ( on se limite encore à la puissance 6 )
sin6m/2) = θm6/64 ( on se limite toujours à la puissance 6 )
1 + sin2m/2)/4 + 9/64 sin4m/2) + 25/64 sin6m/2) = 1 + θm2/16 - θm4/192 + 9/1024 θm4-
9/6144 θm6 + 1/5760 θm6 + 25/16384 θm6 = 1 + θm2/16 + 11/3072 θm4 + 173/737280 θm6
T = T0 ( 1 + 1/16 θm2 + 11/3072 θm4 + 173/737280 θm6 ) ( approximation assez précise
jusqu'à θm = 140 °)
4.3 Équation horaire θ = f(t).
Le mouvement général du pendule est périodique donc f(t) peut être écrit sous forme d'une
série de Fourier :
θ = a1 cos(ωt) + a2 cos(2ωt) + a3 cos(3ωt) + ..... + b1 sin(ωt) + b2 sin(2ωt) + b3 sin(3ωt) + .....
Le mouvement du pendule est le même pour θ > 0 et θ <0 et symétrique pour la montée et
pour la descente.
On prend des conditions initiales telles que à t = 0, f'(t) = 0. Dans ces conditions, les
coefficients des cosinus et ceux des harmoniques paires sont tous nuls.
Il reste θ = b1 sin(ωt) + b3 sin(3ωt) + b5 sin(5ωt) +.... L'oscillation étant proche d'un sinus, il
est probable que les coefficients bn sont faibles par rapport à b1 et qu'ils décroissent très vite,
on ne conserve donc que le premier harmonique. On pose donc :
θ = a sin(ωt) + b sin(3ωt)
L'équation différentielle est :
d²θ/dt² = - ω02 sinθ
On développe sinθ en décomposition de Taylor sinθ = θ - θ3/6 + θ5/120 + .... On ne garde
que les deux premiers termes
d²θ/dt² = - ω02 ( θ - θ3/6 + θ5/120 ) On remplace θ par a sin(ωt) + b sin(3ωt)
- a ω² sin(ωt) - 9bω² sin(3ωt) = a sin(ωt) + b sin(3ωt) - 1/6 ( a sin(ωt) + b sin(3ωt))3 - 1/120
( a sin(ωt) + b sin(3ωt))5
On néglige les termes de puissance supérieure à a5
- a ω² sin(ωt) - 9bω² sin(3ωt) = a sin(ωt) + b sin(3ωt) - 1/6 ( a3 sin3(ωt) + 3a2b
sin2(ωt)sin(3ωt)) - 1/120 a5 sin5(ωt)
On développe et on linéarise par la formule d'Euler ( sinθ = (e - e-iθ)/2i )
sin3θ = 3/4 sinθ -1/4 sin(3θ) sin2θ sin(3θ) = -1/4 sinθ + 1/2 sin(3θ) -1/4 sin(5θ)
sin2(3θ) sinθ = 1/2 sinθ +1/4 sin(5θ) -1/4 sin(7θ)
sin5θ = 5/8 sinθ - 5/16 sin(3θ) + 1/16 sin(5θ)
- a ω² sin(ωt) - 9bω² sin(3ωt) = - ω0²((a - 3a3/24 + 3a2b/24 + 5a5/8) sin(ωt) + (b - 6a2b/24 +
a3/24) sin(3ωt))
Il faut (a - 3a3/24 + 3a2b/24 + a5/192)/a = (b - 6a2b/24 + a3/24)/(9b)
216b - 27a2b + 27ab2 + 9a4b/192 = 24b - 6a2b + a3
192b - 21a2b + 27ab2 + 9a4b/192 = a3
On néglige ab2 et a4b, on obtient : b = a3/(192 - 21a2). Si a << 3, on obtient
b = a3/192 (1 + 21/192 a2) = a3/192 donc :
θ = a sin(ωt) + a3/192 sin(3ωt)
Remarque :
Si on préfère des conditions initiales où θ = θm, on aura ωt remplacé par ωt + π/2 et
θ = a cos(ωt) - a3/192 cos(3ωt)
Amplitude maximale :
On a l'amplitude maximale pour ωt = π/2 donc
θm = a - a3/192
Il n'est pas facile d'en déduire a = f(θm), les équations du troisième degré sont pénibles, mais
a est proche de θm, donc on pose : a = θm(1 + ε) et on se limite au premier ordre en ε
θm = θm(1 + ε) - θm3(1 + 3 ε )/192 = θm + ε θm - θm3/192 - 3 ε θm3/192
ε (1 - 3 θm2/192 ) = θm2/192
ε = θm2/192 /(1 - 3 θm2/192 ) θm2/192 car 3 θm2/192 << 1
a = θm + θm3/192
Période du mouvement :
On a : a ω² = ω0²(a - 3a3/24 + 3a2b/24 + a5/192) avec b = a3/192 donc
ω² = ω0²(1 - a2/8 + a4/1536 + a4/192) = ω0²(1 - a2/8 + 9a4/1536 )
On a ( 1 + ε ) 1/2 = 1 + 1/2 ε - 1/8 ε2 donc (1 - a2/8 + 9a4/1536)1/2 = 1 - a2/16 +
9a4/3072 - a4/512 = 1 - a2/16 + 3a4/3072
ω = ω0(1 - a2/16 + a4/1024 ) ou en remplaçant a par θm + θm3/192
ω = ω0(1 - θm2/16 + θm4/3072) Formules précises jusqu'à a = 2,3 ( θm = 130 ° )
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