Si on intègre dt de θ = 0 à θ = θm, ce qui correspond à u = 1, on obtient le quart de la
période donc
T = 4/ω0du / ((1 - k²u²)(1 - u²))1/2 = 4/ω0 K(k) = 2 T0/π K(sin(θm/2))
K(k) est l'intégrale elliptique de Legendre:
K(k) = π/2 (1 + k2/4 + 9/64 k4 + .... + ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n +...) = π/2 Σ ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n
T = T0 (1 + 1/4 sin2(θm/2) + 9/64 sin4(θm/2) + 25/256 sin6(θm/2) + .... +
((2n)!/(2n n!)2)2 sin2n(θm/2) + .... )
T = T0 Σ((2n)!/(2n n!)2)2 sin2n(θm/2)
Si on prend les deux premiers termes pour θm assez petit pour qu'on puisse remplacer sin
θm/2 par θm/2 , on obtient :
T = T0 ( 1 + θm2/16 ) On retrouve la formule de Borda
On obtient :
θm ° 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
1+ θm2/16
(en rd) 1 1,00 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,09 1,12 1,15 1,19 1,23 1,27 1,32 1,37 1,43 1,49 1,55 1,62
2/π
K(sin(θm/2)) 1 1,00 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,10 1,14 1,18 1,23 1,29 1,37 1,47 1,59 1,76 2,01 2,44 infini
Si on prend les trois premiers termes :
T = T0 ( 1 + sin2(θm/2)/4 + 9/64 sin4(θm/2) + 25/256 sin6(θm/2) )
sin2(θm/2) = ( θm/2 - θm3/48)2 = θm2/4 - θm4/48 + θm6/1440 ( on se limite à la puissance 6 )
sin4(θm/2) = θm4/16 - θm6/96 ( on se limite encore à la puissance 6 )
sin6(θm/2) = θm6/64 ( on se limite toujours à la puissance 6 )
1 + sin2(θm/2)/4 + 9/64 sin4(θm/2) + 25/64 sin6(θm/2) = 1 + θm2/16 - θm4/192 + 9/1024 θm4-
9/6144 θm6 + 1/5760 θm6 + 25/16384 θm6 = 1 + θm2/16 + 11/3072 θm4 + 173/737280 θm6
T = T0 ( 1 + 1/16 θm2 + 11/3072 θm4 + 173/737280 θm6 ) ( approximation assez précise
jusqu'à θm = 140 °)
4.3 Équation horaire θ = f(t).
Le mouvement général du pendule est périodique donc f(t) peut être écrit sous forme d'une
série de Fourier :
θ = a1 cos(ωt) + a2 cos(2ωt) + a3 cos(3ωt) + ..... + b1 sin(ωt) + b2 sin(2ωt) + b3 sin(3ωt) + .....
Le mouvement du pendule est le même pour θ > 0 et θ <0 et symétrique pour la montée et
pour la descente.
On prend des conditions initiales telles que à t = 0, f'(t) = 0. Dans ces conditions, les
coefficients des cosinus et ceux des harmoniques paires sont tous nuls.
Il reste θ = b1 sin(ωt) + b3 sin(3ωt) + b5 sin(5ωt) +.... L'oscillation étant proche d'un sinus, il
est probable que les coefficients bn sont faibles par rapport à b1 et qu'ils décroissent très vite,
on ne conserve donc que le premier harmonique. On pose donc :
θ = a sin(ωt) + b sin(3ωt)