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Etude cinématique
Mouvement rectiligne sinusoïdale
I ) INTRODUCTION
L’exemple étudié est celui d’un pendule élastique
Verticale constitué d’un ressort à spires non jointives
de raideur K dont l’une des extrémités est fixe et l’autre
est liée à un solide (S) se déplaçant, en mouvement rectiligne
sans frottement ,donc il s’agit d’un mouvement oscillatoire
autour d’une position d’équilibre.
II : Etude d’un oscillateur
1)
Courbe et interprétation
On a des oscillations périodiques ( de période T0 ) sinusoïdale
puisqu'il s’agit d’un mouvement rectiligne sinusoïdale la loi
horaire du mouvement s’écrit x ( t ) = Xm sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 )
Xm ( m ) : Amplitude ou élongation maximale
des oscillations
- ωO ( rad.s-1 ) : La pulsation propre des oscillations
T0
Remarque : on peut déterminer ωO à l’aide
0
de deux formules
 ωO = 2𝝅N0 ( N0 c’est la fréquence
propre en Hz )
𝟐𝝅
 ωO = 𝑻 ( T0 c’est la période propre )
𝟎
- 𝝋𝑿 ( rad ) : Phase initiale de l’élongation x
2)
Etude cinématique
On a x ( t ) = Xm sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 ) , donc on a les résultats suivants :
𝒅𝒙
1- Soit V la vitesse du mobile V = 𝒅𝒕 = Xm ω0.sin (ω0.t + 𝝋𝑿 +
𝝅
𝟐
)
On a alors : - La vitesse maximale Vm = Xm. ω0
𝜋
- La phase initiale de la vitesse 𝜑𝑉 = 𝜑𝑋 +
2
𝒅𝟐 𝒙
2- Soit a l’accélération du mobile a = 𝒅𝒕𝟐 = Xm ω02.sin (ω0.t + 𝝋𝑿 + 𝝅)
On a alors : - L’accélération maximale am = Xm. ω02
- La phase initiale de la vitesse 𝝋𝒂 = 𝝋𝑿 + 𝝅
3)
Etude graphique : x( t ) ; V( t ) ; a( t )
𝝋 𝑽 - 𝝋𝑿 =
𝝅
𝟐
donc on dit que v( t ) et x( t ) sont en quadrature de phase : Si x = 0 on a V= ∓ Vm et
si V = 0 on a x = ∓ Xm
𝝋𝒂 - 𝝋𝑿 = 𝝅 donc on dit que a( t ) et x( t ) sont en opposition de phase : Si x = 0 on a a = 0 , si x =
Xm on a a = -am et si x = -Xm on a a = am
4) Relation entre x( t ) et a( t )
On a x( t ) = Xm sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 ) et a( t ) = am sin ( ωO.t + 𝝋𝒂 ) or 𝝋𝒂 = 𝝋𝑿 + 𝝅 et am = Xm. ω02 donc on
aura : a( t ) = Xm. ω02 sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 + 𝝅 ) = - Xm. ω02 sin ( ωO.t + 𝝋𝑿 ) = -x. ω02
𝒅𝟐 𝒙
Donc : a = -x. ω02 = 𝒅𝒕𝟐 d’où on peut écrire :
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ x. ω02 = 0
C’est l’équation du mouvement
 Courbe
a ( m.s-2 )
La pente de cette courbe
est 𝜶 = - ωO2
0
X( m )