Exercices d`oraux MP Centrales / Mines Algèbre

Exercices d’oraux MP Centrales / Mines
Algèbre
1. Soient Sn le groupe symétrique et . Trouver les extrema de f.
2. Quel est le dernier chiffre de l’écriture décimale de 375 ?
3. Trouver le reste de la division de 20112011 par 9.
4. Pour n ≥ 1, soit pn le n-ième nombre premier. Montrer que pn + pn+1 n’est pas le produit de deux
nombres premiers.
5. a) Soit m dans N* tel que 2m + 1 soit premier. Montrer que m est une puissance de 2.
b) Pour n dans N , soit Fn = 22n + 1. Montrer que si m et n sont distincts, Fm et Fn sont premiers entre eux. En
déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini.
6. Résoudre le système : 3x + 7y = 3,6x - 7y = 0 dans Z⁄36Z, puis dans Z⁄37Z.
7. Soient G un groupe abélien additif, A et B deux parties finies de G.
a) Montrer que si cardA + cardB > cardG, alors A + B = G.
b) Soit H = {x G,A = x + A}. Montrer que H est un sous-groupe de G.
c) Montrer que card(A + B) = cardA si et seulement s’il existe b G tel que B ⊂ b + H.
8. On considère un anneau A commutatif. Un idéal I est dit premier si pour tous x, y A, xy I
x I ou y I.
a) Donner un exemple d’idéal premier de Z.
b) Si f est un morphisme d’anneau de A dans un corps K, Kerf est-il premier ?
c) Que dire de l’intersection de deux idéaux premiers ?
d) On suppose que tous les idéaux de A sont premiers. Montrer que A est intègre. Soit x≠0 ; en comparant
les idéaux engendrés par x et x2, montrer que x est inversible.
9. Montrer que si P est un polynôme réel scindé sur R, il en est de même de Pʹ.
10. Soit p dans N*. Montrer que les racines de sont de module au plus 1 et que la seule
racine de module1 est 1.
11. Trouver les P de C[X] tels que : P(X2) = P(X)P(X + 1).
12. Soient A dans n(R) de rang 1, λ dans R. La matrice In + λA est-elle inversible ? Si oui, calculer son
inverse.
13. À quelle condition les matrices et sont-elles semblables ?
14. Soient K un corps, E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f dans (E, F).
a) On suppose que dimE = dimF . Montrer que f est un isomorphisme si et seulement si : ∀g (F,
E), f • g • f = 0 ⇒g = 0.

b) On note (f) = . Montrer que (f) es un sous-espace vectoriel de (F, E).
Déterminer sa dimension.
15. Soit Φ : M n(R)tr(M)In + M. Montrer que Φ est un endomorphisme de n(R). Déterminer sa
trace et son déterminant.
16. Soient a, b1 , …,bn dans C, M la matrice dont les termes non diagonaux sont tous égaux à a et dont la
diagonale est (a+ b1,…,a + bn). Étudier l’inversibilité de M ; le cas échéant, calculer M-1 .
17. Soit M = (mi,j)1≤i,j≤n GLn(R). On suppose : ∀(i,j), mi,j {0,1}.
a) Montrer que {n,…,n2 - n + 1}.
b) Si k {n, … , n2 - n + 1}, déterminer une matrice de ce type avec = k.
18. Soit G un sous-groupe fini de (GLn(C),×). Soit . Calculer M2. En déduire
que est un multiple entier de cardG.
19. Soient A et B dans n(R).
a) On suppose A inversible et, pour tout réel t : det(A + tB) = detA. Montrer que A-1B est nilpotente.
b) On suppose (A,B) libre et, pour tout (t,s) de R2 \{(0,0)}, sA + tB inversible. Montrer que n est pair.
20. Soient E un K espace vectoriel de dimension n, λ K, r {0,…,n}, f (E) tel que f2 = λf et rg (f) = r.
Déterminer la trace de f.
21. Pour t réel, soit Mt la matrice : .
a) Montrer que Mt a trois valeurs propres réelles at < bt < ct.
b) Déterminer pour chaque valeur propre la limite et un équivalent simple en + ∞.
22. Soit F : P R[X] (X2 - 1)Pʹ(X) - (4X + 1)P(X). Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de F .
23. Soit F : P R2n[X] (X2 - 1)Pʹ- (2nX + 1)P . Montrer que F est un endomorphisme. Vérifier que si P est
vecteur propre alors 1 ou - 1 est racine de P . Déterminer les éléments propres de F.
L’endomorphisme F est-il diagonalisable ?
24. Soient n ≥ 2, A = (ai,j)1≤i,j≤n n(C) telle que : ai,j = 0 si i + j≠n + 1. À quelle condition, la matrice A est-elle
diagonalisable ?
25. Soit A et B dans n(R). Pour M n(R), on pose Φ(M) = M + tr(AM)B. Étudier le caractère
diagonalisable de Φ. Dans le cas où trAB ⁄= 0, donner le polynôme minimal de Φ.
26. Soient (a1 , …,an) Rn et A =.
a) Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de A, ainsi que son polynôme caractéristique.
b) Mêmes questions dans le cas complexe.

27. Résoudre dans 3(R) : X2 = .
28. Soit f (R3) tel que 2f3 = 3f2 - id et tr(f) = 3⁄2. On suppose que a une limite g (R 3 ) \
{0} quand n → +∞.
a) Montrer que g est un polynôme en f.
b) Trouver le commutant de f.
29. Soient A, B,M dans n(C). On suppose A et B diagonalisables et qu’il existe r N avec r ≥ 2 tel
que Ar MBr = 0. Montrer que AMB = 0.
30. Soit A dans n(C). On suppose que A2 - 2A est diagonalisable et que 1 n’est pas valeur propre de A.
Montrer que A est diagonalisable.
31. a) Soient E un espace vectoriel de dimension finie, F1,...,Fp des sous-espaces tels que E = F1 ⊕ ⊕ Fp.
Soit u (E). On suppose que chacun des Fi est stable par u et on note ui la restriction de u à Fi. Montrer
que u est diagonalisable si et seulement si chaque ui est diagonalisable.
b) Soient (a1 , … , an) Rn et A = . Condition nécessaire et suffisante sur les ak pour
que A soit diagonalisable dans n(C) ? dans n (R ) ?
32. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, u (E) et P C[X] tel que Pʹ(u) GL (E). Montrer
que u est diagonalisable si et seulement si P(u) est diagonalisable.
33. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, (f,g) (E)2 tel que f •g -g •f = f.
a) Calculer fk • g - g • fk pour k N*. En déduire que f est nilpotent.
b) Montrer que f et g ont un vecteur propre commun.
c) On suppose dans cette question qu’il existe des scalaires α et β tels que f •g -g •f = αf + βg. Montrer
que f et g ont un vecteur propre commun.
34. Soit A n(K) et B = . Montrer que A est diagonalisable si et seulement si B est
diagonalisable.
35. Soient E un K-espace de dimension n, f (E) dont le polynôme caractéristique est simplement scindé
sur K, (e1,…,en)une base propre de f et x = x1e1 + + xnen. Condition pour que (x, f(x),…,f(n-1)(x)) soit une
base de E ?
36. Soient E un espace euclidien de dimension 2, p et q deux projecteurs orthogonaux de E. On
pose h = p • q. Montrer que h est diagonalisable, à valeurs propres dans [0,1].
37. Soient (E, ) un espace euclidien et p (E) un projecteur. Montrer que p est un projecteur
orthogonal si et seulement si : ∀x E, ∥p(x)∥≤∥x∥.
38. Calculer .

39. Soit (E, ) un espace euclidien. Déterminer les u (E) tels que : ∀(x,y) E2, = 0 ⇒ =
0.
40. Soit A = (ai,j)1≤i,j≤n GLn(R).
a) Montrer qu’il existe un unique couple (Q,R) n(R)2 tel que tQQ = In, R est triangulaire supérieure à
diagonale > 0 et A =QR.
b) Montrer : .
41. Soient (E, ) un espace euclidien, a1,…,an dans E et M = 1≤i,j≤n.
Montrer : .
42. Montrer que si u est un endomorphisme trigonalisable d’un espace euclidien alors il existe une base
orthonormée trigonalisant u.
43. Soient f, g SO3(R) telles que f •g = g •f. Montrer que f et g sont, soit deux rotations de même axe, soit
deux symétries axiales d’axes orthogonaux.
44. Soit A (R). Montrer qu’il existe une unique S de (R) telle que : S3 + S = A.
45. Soient n dans N*, A dans (R), (Ak)kN la suite définie par : .
a) Justifier l’existence de (Ak)k≥0 et montrer que, pour tout k dans N, Ak appartient à (R ).
b) Montrer que (Ak) converge vers une matrice que l’on précisera.
46. Soient A et B dans (R).
a) Montrer que A admet une unique racine carrée dans (R).
b) Ranger dans l’ordre croissant les réels : 0, tr(AB) et tr(A)tr(B).
47. Pour A dans n(R), soit λ(A) la plus petite valeur propre de A. Étudier la convexité de l’application λ.
48. Soit A n(R) telle que 3A2 = tA + A + In. Montrer que la suite (Ap) converge.
49. Soit A n(C) telle que (Ap)p≥0 est bornée. Montrer que converge vers le projecteur
d’image Ker(A -In) et de noyau Im(A - In).
ANALYSE
50. Soient c R et ϕ : P R[X]P(c) R. Étudier la continuité de ϕ lorsque R[X] est muni de l’une des
normes données par : ∥a0 + + anXn∥ = max0≤k≤n|ak| puis ∥P∥∞ = sup [0,1] |P|.
51. Soient (E, ∥∥) un espace vectoriel normé et u (E).
a) Montrer que si u transforme toute suite bornée en une suite bornée alors u est continu.
b) Montrer que si u transforme toute suite tendant vers 0 en une suite bornée alors u est continu.
52. L’espace E des fonctions continues de [0,1] dans R est muni de la norme uniforme. Montrer que la
boule unité de cet espace n’est pas compacte.
53. Déterminer la limite de la suite de terme général
54. Soit . Limite de la suite de terme général ?

55. Nature de la série de terme général ?
56. Soit α > 0. Pour n ≥ 2, on pose . Étudier la nature de la série de terme général an .
57. a) Pour n ≥ 1, soit Montrer que la suite (cn) converge.
b) Trouver des réels r,s,t tels que, pour tout n ≥ 2, on ait :
c) Exprimer en fonction de la constante d’Euler.
58. Quelles sont les fonctions convexes et bornées de R dans R ?
59. Soient f et g deux applications continues de [0,1] dans [0,1] telles que f • g = g • f. Soit A l’ensemble des
points fixes de f.
a) Montrer que A contient un plus grand et un plus petit élément.
b) Montrer qu’il existe x dans [0,1] tel que f(x) = g(x).
60. Montrer qu’il existe un unique x R tel que 3x + 5x = 7x.
61. a) Soient f : R → R bornée et P R[X] non constant. Montrer que l’ensemble des zéros de f - P est une
partie bornée de R.
b) Soit Q R [X]. On suppose que l’ensemble des zéros de Q- sin est infini. Que peut-on dire de Q ?
62. Soit f une application de R dans R+ de classe C1. Montrer qu’il existe une suite (xn) de réels telle
que (fʹ(xn )) tende vers 0.
63. Soit f une fonction dérivable de l’intervalle I de R dans R. Montrer que fʹ(I) est un intervalle.
64. Montrer qu’il n’existe pas de primitive de f : t et2 de la forme t R(t)f(t) où R est une fraction
rationnelle.
65. Soit f 1 (]0,1], R). On suppose t tfʹ(t) intégrable. Montrer que f est intégrable.
66. a) Soit f 0(]0,1[, R) monotone et intégrable. Montrer :
b) En déduire la limite de la suite de terme général (n!⁄nn)1⁄n.
c) Exprimer de deux façons la limite de la suite de terme général : .
67. Justifier l’existence et calculer .
68. Justifier l’existence et calculer : .
69. a) Soit λ R+*. Calculer .
b) Discuter suivant α R l’intégrabilité sur R+* de .
70. a) Montrer l’existence et calculer : .
b) En déduire .