Exercices d`oraux MP Centrales / Mines Algèbre

Exercices d’oraux MP Centrales / Mines
Algèbre
1. Soient Sn le groupe symétrique et
. Trouver les extrema de f.
2. Quel est le dernier chiffre de l’écriture décimale de 375 ?
3. Trouver le reste de la division de 20112011 par 9.
4. Pour n ≥ 1, soit pn le n-ième nombre premier. Montrer que pn + pn+1 n’est pas le produit de deux
nombres premiers.
5. a) Soit m dans N* tel que 2m + 1 soit premier. Montrer que m est une puissance de 2.
b) Pour n dans N , soit Fn = 22n + 1. Montrer que si m et n sont distincts, Fm et Fn sont premiers entre eux. En
déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini.
6. Résoudre le système : 3x + 7y = 3,6x - 7y = 0 dans Z⁄36Z, puis dans Z⁄37Z.
7. Soient G un groupe abélien additif, A et B deux parties finies de G.
a) Montrer que si cardA + cardB > cardG, alors A + B = G.
b) Soit H = {x G,A = x + A}. Montrer que H est un sous-groupe de G.
c) Montrer que card(A + B) = cardA si et seulement s’il existe b G tel que B ⊂ b + H.
8. On considère un anneau A commutatif. Un idéal I est dit premier si pour tous x, y A, xy I
x I ou y I.
a) Donner un exemple d’idéal premier de Z.
b) Si f est un morphisme d’anneau de A dans un corps K, Kerf est-il premier ?
c) Que dire de l’intersection de deux idéaux premiers ?
d) On suppose que tous les idéaux de A sont premiers. Montrer que A est intègre. Soit x≠0 ; en comparant
les idéaux engendrés par x et x2, montrer que x est inversible.
9. Montrer que si P est un polynôme réel scindé sur R, il en est de même de Pʹ.
10. Soit p dans N*. Montrer que les racines de
racine de module1 est 1.
sont de module au plus 1 et que la seule
11. Trouver les P de C[X] tels que : P(X2) = P(X)P(X + 1).
12. Soient A dans
inverse.
n(R)
de rang 1, λ dans R. La matrice In + λA est-elle inversible ? Si oui, calculer son
13. À quelle condition les matrices
et
sont-elles semblables ?
14. Soient K un corps, E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f dans (E, F).
a) On suppose que dimE = dimF . Montrer que f est un isomorphisme si et seulement si : ∀g
E), f • g • f = 0 ⇒g = 0.
(F,
b) On note (f) =
Déterminer sa dimension.
. Montrer que
(f) es un sous-espace vectoriel de
15. Soit Φ : M
tr(M)In + M. Montrer que Φ est un endomorphisme de
n(R)
trace et son déterminant.
n(R).
(F, E).
Déterminer sa
16. Soient a, b1 , …,bn dans C, M la matrice dont les termes non diagonaux sont tous égaux à a et dont la
diagonale est (a+ b1,…,a + bn). Étudier l’inversibilité de M ; le cas échéant, calculer M-1 .
17. Soit M = (mi,j)1≤i,j≤n GLn(R). On suppose : ∀(i,j), mi,j {0,1}.
a) Montrer que
{n,…,n2 - n + 1}.
b) Si k {n, … , n2 - n + 1}, déterminer une matrice de ce type avec
18. Soit G un sous-groupe fini de (GLn(C),×). Soit
que
est un multiple entier de cardG.
= k.
. Calculer M2. En déduire
19. Soient A et B dans n(R).
a) On suppose A inversible et, pour tout réel t : det(A + tB) = detA. Montrer que A-1B est nilpotente.
b) On suppose (A,B) libre et, pour tout (t,s) de R2 \{(0,0)}, sA + tB inversible. Montrer que n est pair.
20. Soient E un K espace vectoriel de dimension n, λ
Déterminer la trace de f.
K, r {0,…,n}, f
(E) tel que f2 = λf et rg (f) = r.
21. Pour t réel, soit Mt la matrice :
.
a) Montrer que Mt a trois valeurs propres réelles at < bt < ct.
b) Déterminer pour chaque valeur propre la limite et un équivalent simple en + ∞.
22. Soit F : P
de F .
R[X]
(X2 - 1)Pʹ(X) - (4X + 1)P(X). Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
23. Soit F : P R2n[X] (X2 - 1)Pʹ- (2nX + 1)P . Montrer que F est un endomorphisme. Vérifier que si P est
vecteur propre alors 1 ou - 1 est racine de P . Déterminer les éléments propres de F.
L’endomorphisme F est-il diagonalisable ?
24. Soient n ≥ 2, A = (ai,j)1≤i,j≤n
diagonalisable ?
n(C)
telle que : ai,j = 0 si i + j≠n + 1. À quelle condition, la matrice A est-elle
25. Soit A et B dans n(R). Pour M
n(R), on pose Φ(M) = M + tr(AM)B. Étudier le caractère
diagonalisable de Φ. Dans le cas où trAB ⁄= 0, donner le polynôme minimal de Φ.
26. Soient (a1 , …,an) Rn et A =
.
a) Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de A, ainsi que son polynôme caractéristique.
b) Mêmes questions dans le cas complexe.
27. Résoudre dans
3(R)
: X2 =
.
28. Soit f
(R3) tel que 2f3 = 3f2 - id et tr(f) = 3⁄2. On suppose que
{0} quand n → +∞.
a) Montrer que g est un polynôme en f.
b) Trouver le commutant de f.
a une limite g
29. Soient A, B,M dans n(C). On suppose A et B diagonalisables et qu’il existe r
que Ar MBr = 0. Montrer que AMB = 0.
(R 3 ) \
N avec r ≥ 2 tel
30. Soit A dans n(C). On suppose que A2 - 2A est diagonalisable et que 1 n’est pas valeur propre de A.
Montrer que A est diagonalisable.
31. a) Soient E un espace vectoriel de dimension finie, F1,...,Fp des sous-espaces tels que E = F1 ⊕
⊕ Fp .
Soit u
(E). On suppose que chacun des Fi est stable par u et on note ui la restriction de u à Fi. Montrer
que u est diagonalisable si et seulement si chaque ui est diagonalisable.
b) Soient (a1 , … , an) Rn et A =
que A soit diagonalisable dans
. Condition nécessaire et suffisante sur les ak pour
n(C)
? dans
n (R
)?
32. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, u
(E) et P
que u est diagonalisable si et seulement si P(u) est diagonalisable.
C[X] tel que Pʹ(u)
GL (E). Montrer
33. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, (f,g)
(E)2 tel que f •g -g •f = f.
a) Calculer fk • g - g • fk pour k N*. En déduire que f est nilpotent.
b) Montrer que f et g ont un vecteur propre commun.
c) On suppose dans cette question qu’il existe des scalaires α et β tels que f •g -g •f = αf + βg. Montrer
que f et g ont un vecteur propre commun.
34. Soit A
n(K) et B =
diagonalisable.
. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si B est
35. Soient E un K-espace de dimension n, f
(E) dont le polynôme caractéristique est simplement scindé
sur K, (e1,…,en)une base propre de f et x = x1e1 +
+ xnen. Condition pour que (x, f(x),…,f(n-1)(x)) soit une
base de E ?
36. Soient E un espace euclidien de dimension 2, p et q deux projecteurs orthogonaux de E. On
pose h = p • q. Montrer que h est diagonalisable, à valeurs propres dans [0,1].
37. Soient (E, ) un espace euclidien et p
(E) un projecteur. Montrer que p est un projecteur
orthogonal si et seulement si : ∀x E, ∥p(x)∥≤∥x∥.
38. Calculer
.
39. Soit (E,
0.
(E) tels que : ∀(x,y)
) un espace euclidien. Déterminer les u
40. Soit A = (ai,j)1≤i,j≤n GLn(R).
a) Montrer qu’il existe un unique couple (Q,R)
diagonale > 0 et A =QR.
b) Montrer :
n(R)
2
E2,
=0⇒
=
tel que tQQ = In, R est triangulaire supérieure à
.
41. Soient (E,
Montrer :
) un espace euclidien, a1,…,an dans E et M =
.
1≤i,j≤n.
42. Montrer que si u est un endomorphisme trigonalisable d’un espace euclidien alors il existe une base
orthonormée trigonalisant u.
43. Soient f, g SO3(R) telles que f •g = g •f. Montrer que f et g sont, soit deux rotations de même axe, soit
deux symétries axiales d’axes orthogonaux.
44. Soit A
(R). Montrer qu’il existe une unique S de
(R) telle que : S3 + S = A.
45. Soient n dans N*, A dans
(R), (Ak)k N la suite définie par :
a) Justifier l’existence de (Ak)k≥0 et montrer que, pour tout k dans N, Ak appartient à
b) Montrer que (Ak) converge vers une matrice que l’on précisera.
.
(R ).
46. Soient A et B dans
(R).
a) Montrer que A admet une unique racine carrée dans
(R).
b) Ranger dans l’ordre croissant les réels : 0, tr(AB) et tr(A)tr(B).
47. Pour A dans
48. Soit A
n(R),
n(R)
soit λ(A) la plus petite valeur propre de A. Étudier la convexité de l’application λ.
telle que 3A2 = tA + A + In. Montrer que la suite (Ap) converge.
p
49. Soit A
n(C) telle que (A )p≥0 est bornée. Montrer que
d’image Ker(A -In) et de noyau Im(A - In).
converge vers le projecteur
ANALYSE
50. Soient c R et ϕ : P R[X] P(c) R. Étudier la continuité de ϕ lorsque R[X] est muni de l’une des
normes données par : ∥a0 +
+ anXn∥ = max0≤k≤n|ak| puis ∥P∥∞ = sup [0,1] |P|.
51. Soient (E, ∥∥) un espace vectoriel normé et u
(E).
a) Montrer que si u transforme toute suite bornée en une suite bornée alors u est continu.
b) Montrer que si u transforme toute suite tendant vers 0 en une suite bornée alors u est continu.
52. L’espace E des fonctions continues de [0,1] dans R est muni de la norme uniforme. Montrer que la
boule unité de cet espace n’est pas compacte.
53. Déterminer la limite de la suite de terme général
54. Soit
. Limite de la suite de terme général
?
55. Nature de la série de terme général
?
56. Soit α > 0. Pour n ≥ 2, on pose
. Étudier la nature de la série de terme général an .
57. a) Pour n ≥ 1, soit
Montrer que la suite (cn) converge.
b) Trouver des réels r,s,t tels que, pour tout n ≥ 2, on ait :
c) Exprimer
en fonction de la constante d’Euler.
58. Quelles sont les fonctions convexes et bornées de R dans R ?
59. Soient f et g deux applications continues de [0,1] dans [0,1] telles que f • g = g • f. Soit A l’ensemble des
points fixes de f.
a) Montrer que A contient un plus grand et un plus petit élément.
b) Montrer qu’il existe x dans [0,1] tel que f(x) = g(x).
60. Montrer qu’il existe un unique x
R tel que 3x + 5x = 7x.
61. a) Soient f : R → R bornée et P R[X] non constant. Montrer que l’ensemble des zéros de f - P est une
partie bornée de R.
b) Soit Q R [X]. On suppose que l’ensemble des zéros de Q- sin est infini. Que peut-on dire de Q ?
62. Soit f une application de R dans R+ de classe C1. Montrer qu’il existe une suite (xn) de réels telle
que (fʹ(xn )) tende vers 0.
63. Soit f une fonction dérivable de l’intervalle I de R dans R. Montrer que fʹ(I) est un intervalle.
64. Montrer qu’il n’existe pas de primitive de f : t et2 de la forme t R(t)f(t) où R est une fraction
rationnelle.
65. Soit f
1
(]0,1], R). On suppose t
tfʹ(t) intégrable. Montrer que f est intégrable.
0
66. a) Soit f
(]0,1[, R) monotone et intégrable. Montrer :
b) En déduire la limite de la suite de terme général (n!⁄nn)1⁄n.
c) Exprimer de deux façons la limite de la suite de terme général :
67. Justifier l’existence et calculer
.
68. Justifier l’existence et calculer :
.
69. a) Soit λ
R+*. Calculer
b) Discuter suivant α
.
R l’intégrabilité sur R+* de
70. a) Montrer l’existence et calculer :
b) En déduire
.
.
.
.
71. Soit α > 0. Pour n ≥ 1 et x ≥ 0, soit
a) Étudier la convergence simple et uniforme de (fn).
b) Pour quels α les fn sont-elles intégrables sur R+ ? Dans ce cas, étudier la suite
.
72. Pour x dans ] - 1,1[, soit
a) Justifier la définition de f et étudier la continuité de cette fonction.
b) Si x ] - 1, 1[, montrer :
c) Déterminer la limite de f(x) en 1-, puis en trouver un équivalent.
73. Soit (an ) une suite réelle telle que la série de terme général an converge. Pour x réel,
. Comparer f(x) et ex en + ∞.
soit
74. Que dire de la somme d’une série entière convergeant uniformément sur le disque ouvert de
convergence ?
75. Calculer, pour z dans C,
76. Rayon de convergence et somme de la série entière
77. Soit α
.
R . Trouver le domaine de définition puis développer en série entière au voisinage de 0 la
fonction
.
78. Soit A l’ensemble des suites (an)n≥0 telles que : ∀n N, 2an+3 + 3an+1 - an = 0.
a) Soit a A. Montrer que le rayon de convergence de la série entière de terme général anxn est
strictement positif, minoré par un réel r > 0 (indépendant de a A).
b) Donner une base de l’espace vectoriel des
lorsque a décrit A.
79. Pour n N *, on pose
a) Montrer que In est bien définie.
b) Donner deux expressions de la limite de (In).
80. Soit, pour n ≥ 2,
.
. Étudier la convergence et donner la limite de la suite (In ).
81. Soit, pour n N* :
.
a) Déterminer la nature de la suite de terme général an.
b) Déterminer un équivalent de an.
82. Soit, pour n N :
.
a) Étudier la suite (un).
b) Étudier la nature de la série de terme général un.
83. Pour x ≥ 0, on pose
.
a) Montrer que F est bien définie sur [0,+∞[.
b) Montrer que F admet une limite l en + ∞.
c) Donner au voisinage de + ∞ un développement asymptotique à n termes de F(x) - l.
84. Soit
asymptotes.
Étudier le domaine de définition de f, sa continuité, sa dérivabilité, ses
85. Soit g une application continue, monotone et bornée de R+ dans R. Montrer que si f est une application
de classe C2 deR+ dans R telle que fʹʹ + f = g, alors f est bornée.
86. a) Résoudre sur R+* l’équation différentielle (E) :
.
+
b) Montrer que toute solution y de (E) possède un prolongement à R de classe 1. Ce prolongement est
noté ỹ.
c) Déterminer un équivalent en + ∞ de la solution y telle que ỹ(0) = 0 et ỹʹ(0) = 1.
87. Soit f une fonction réelle deux fois dérivable sur [0,1] telle que f(0) = f(1) = 0 et telle que fʹʹ + 2fʹ + f ≥ 0.
Montrer que f ≤ 0 sur [0,1].
88. Montrer qu’il existe une unique fonction continue f de R2 dans R telle que, si x≠y, on
. Montrer que cette fonction est de classe C1 sur R2.
ait :
89. a) Domaine de définition de
b) Existence et continuité de
90. a) Calculer
e-t2 d t.
b) Résoudre sur R l’équation différentielle yʹ =
c) Calculer
d t et
d t.
91. Définition et calcul de
92. Soit f : x
d t.
d t.
a) Montrer que f est de classe
b) Montrer que x
y.
∞
sur R+.
xf(x) vérifie (E) : x2yʹ + y = x.
c) Montrer qu’il existe une unique solution g de (E) telle que limx→0+g(x) = 0.
d) Montrer que g n’est pas rationnelle.
93. Soit f une application de classe 1 de R2 dans R telle que
= f(t, 0) si t ≥ 0,φ(t) = f(0,-t) si t < 0. Montrer que φ est de classe
y).
94. Soit
sur .
1
Pour t dans R, on pose φ(t)
sur R et que : ∀(x, y) R 2 , f(x,y) = φ(x -
l’hyperbole d’équation xy = 1. Montrer que l’orthocentre de trois points distincts de
est
95. Soient A = (1,1,-1), = (2,3,-1), D la droite passant par A et dirigée par , P le plan d’équation 3x +
2y + z = 1. Déterminer l’expression analytique de la projection de R 3 sur P parallèlement à D, puis la
matrice canonique de la partie linéaire de cette projection.
96. Soient S la surface d’équation xy = z3 de R3, D la droite d’équations x = 2,y = 3z - 3. Déterminer les
points réguliers deS en lesquels le plan tangent à S contient D.
PROBABILITES
97. Soit (Ω,
, P) un espace probabilisé.
a) Soient A1 et A2 dans
. Calculer P(A1 ∪ A2) + P(A1 ∪A2) + P(A1 ∪ A2) + P(A1 ∪A2).
b) Soient A1 , … , An dans
P
. On pose Γ =
×
×
. Calculer
.
98. Soit n N avec n ≥ 3. On dispose d’une urne pourvue de n boules numérotées de 1 à n. On tire les
boules sans remise jusqu’à ce que les boules 1,2 et 3 soient sorties. On note X le nombre de boules tirées.
a) Calculer la probabilité que les boules 1,2,3 sortent consécutivement et dans cet ordre.
b) Calculer la probabilité que les boules 1,2,3 sortent dans cet ordre consécutivement ou pas.
c) Déterminer la loi et l’espérance de X.
99. On tire selon l’usage et avec remise une boule parmi 100, dont 20 sont blanches et 80 sont noires. On
note X l’instant d’apparition de la troisième boule blanche. Déterminer la fonction génératrice de X, son
espérance et sa variance éventuelles.
100. Soient λ > 0 et, pour tout n
(à valeurs dans N).
N*, Xn une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre λ⁄n
a) Pour x > 0, calculer F(x) = limn→+∞P
.
b) Donner une fonction f telle que, pour tout x ≥ 0,
lim
et
f = F(x). Comparer lim
et
tf(t) d t, puis
t2f(t)d t.
c) Soit Y une variable aléatoire telle que, pour tout k
2
).
N, P(Y = k) = F(k + 1) - F(k). Calculer E(Y ) et E(Y
101. Une personne effectue une série de sauts numérotés à partir de 1. La probabilité de réussir le i-ième
saut est 1⁄i, et on s’arrête au premier échec. On note X le nombre de sauts effectués.
a) Montrer que X est presque sûrement finie et déterminer sa loi.
b) Calculer E(X) et V (X).
102. Quelqu’un réalise des appels téléphoniques vers r destinataires. La probabilité que le destinataire
décroche est p ]0,1[. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’appels nécessaires pour contacter
les r destinataires. Calculer GX, E(X) et V (X).
103. Soit n N avec n ≥ 2. On pose Ω = {1,…,n}. On munit Ω de la probabilité uniforme. Soit d
divisant n. On note Dd l’ensemble des multiples de d dans Ω.
N*
a) Déterminer P(Dd).
b) On écrit n = p1α1 × × prαr la décomposition de n en produit de nombres premiers. Les événements Dp1
,…,Dpr sont-ils mutuellement indépendants ?
c) On note φ(n) le nombre d’éléments de Ω premiers à n. Montrer :
=
.
104. Soient p ]0,1[ et (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de
Bernoulli de paramètre p. Soit N une variable aléatoire indépendante des Xk et suivant une loi de Poisson de
paramètre λ > 0. On pose S = X1 +
+ XN et T = N -S. Déterminer la loi de (S, N). En déduire les lois de S
et de T .
105. Que dire d’une variable aléatoire indépendante d’elle-même ?
106. Soit (an )n N* une suite réelle positive telle que la série de terme général an converge.
a) On considère f : x
[0,1]
b) On pose, pour k
calculer sa somme.
N*, pk =
anxn. Montrer que f est définie et continue sur [0, 1].
et on suppose que
f(t)d t = 1. Montrer que
pk converge et
c) On considère l’espace probabilisé (Ω, ,P) et une variable aléatoire X où X(Ω) = N* et pour tout k N * ,
P(X = k) = pk. Montrer que la fonction génératrice de X, notée GX, est de classe 1 sur [-1, 1]. En déduire
que X admet une espérance et la calculer.
107. Python. On considère une suite (Xn) de variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli (1⁄2) à
valeurs dans {0,1} (avec ≪ pile ≫ = 1). Si L N*, on considère l’événement ≪ il n’y a pas deux piles
consécutifs dans les L premiers lancers ≫.
a) Écrire un programme simulant N expériences aléatoires (de ces L lancers) et renvoyant la proportion
d’expériences pour lesquelles l’événement B est réalisé.
b) Calculer P(B) pour L = 2,3,4.
c) Soit AN l’événement ≪ on n’obtient que des piles à partir de l’indice N ≫ et A l’événement ≪on
n’obtient que des piles à partir d’un certain rang ≫. Montrer que P(AN) = 0, puis que P(A) = 0.
d) On considère l’univers Ω = {0,1}N* . On admet qu’il existe sur cet univers une tribu et une probabilité P
tels que Xn soit la variable qui à ω = (ϵk)k≥1 associe ϵn. Montrer que A est infini et dénombrable.
108. Python. ⋆ a) Soit (Ω, ,P) un espace probabilisé, X une variable aléatoire à valeurs dans N , (Xn)n≥1
une suite de variables aléatoires i.i.d suivant la loi de X et N une variable aléatoire indépendante des Xi et à
valeurs dans N. Pour ω
a) Soient
X,
S,
N
Ω, on pose S(ω) =
Xk(ω).
les séries génératrices de X,S et N. Montrer : ∀t
[0,1],
S (t)
=
N•
X(t).
b) On suppose que X et N possèdent une espérance. Montrer que S possède une espérance et la calculer.
c) On suppose que X et N ont un moment d’ordre 2. Montrer que S possède un moment d’ordre 2 et calculer
E(S2 ).
d) On étudie la transmission du nom de famille au cours des générations dans une société patriarcale. On
suppose que le nombre de descendants masculins d’un individu suit une loi de Poisson de paramètre λ
]0,+∞[. On note Z0 le nombre d’individus masculins au début de l’étude, Zn le nombre de descendants à la nième génération. On suppose que Z0 = 1.
i) Écrire une fonction python renvoyant le nombre de descendants masculins à la n-ième génération.
ii) Fixer λ et n. Calculer une moyenne, sur un grand nombre de mesures, du nombre de descendants
masculins. Comparer à E(Zn).
109. On considère des variables aléatoires réelles discrètes T,X1,X2,… à valeurs dans N et indépendantes.
Les Xi suivent la même loi, notée μ.
a) Montrer que X1 +
,GX1+
b) Posons S =
∀t
+XN(t)
+ XN-1 et Xn sont des variables aléatoires discrètes indépendantes, puis que : ∀t
= G (t).
Xi. Montrer que S est un variable aléatoire discrète et que :
, GS (t) = GT Gμ(t) .
c) On considère un insecte qui pond un nombre d’œufs selon une loi de Poisson de paramètre λ. Chaque œuf
donne naissance à un nouvel insecte avec une probabilité p ]0,1[. Trouver la loi que suit le nombre
d’enfants qu’aura la mère.
110. Soit (U, V ) un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale
(2, 1⁄2).
a) Montrer que la somme de n variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de
paramètre p ]0,1[ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) On pose S = (U - 1)2 + (V - 1)2. Déterminer la loi de S et calculer l’écart-type de S2 .
c) On pose T = (U - 1)(V - 1) + 1. Calculer E
(S, T). Les variables S et T sont-elles indépendantes ?
. Déterminer la loi de T . Calculer la covariance de
111. Python. a) On s’intéresse à la première apparition du motif 10 dans un tirage infini de pile ou face,
indépendants et non truqués (pile=1 et face=0). On note Ai : ≪ le motif 10 apparaît pour la première fois au
rang i ≫ (c’est-à-dire que le 1 est en position i - 1 et le 0 en position i), qi = P(Ai) et T la variable aléatoire
donnant le rang d’apparition du motif.
i) Ecrire un programme Python calculant la moyenne d’apparition du motif. Conjecture ?
ii) Montrer que P
= 1.
iii) Décrire An, pour n ≥ 2 et en déduire qn.
iv) Montrer que T est d’espérance finie et calculer son espérance.
b) On s’intéresse maintenant à la première apparition du motif 11. On note toujours T la variable aléatoire
donnant le rang de première apparition du motif et qn = P(T = n), n ≥ 2.
i) Calculer avec Python la moyenne d’apparition du motif. Conjecture ?
ii) Montrer que q2 = 1⁄4, q3 = 1⁄8 et ∀n ≥ 4, qn =
+
⋅
iii) Montrer que T est d’espérance finie et calculer son espérance.
112. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [0,1]. On suppose X non dégénérée, c’est-à-dire que ∀x
[0,1],P(X = x)≠1.
a) Montrer que X possède un moment à tout ordre et 0 < E(X)2 < E(X2) ≤ E(X) < 1.
b) On suppose : ∀n
N,P
=
⋅ Calculer P(X = 1) et P(X = 0).
Montrer que P(0 < X < 1) = 0,3.
c) On suppose que X ne prend que des valeurs inverses d’entiers impairs ainsi que 0. Déterminer P
, pour n
N.
d) Calculer l’espérance de X.
113. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre p.
Déterminer la loi de X⁄Y .
114. Python.Un fumeur a un paquet de N cigarettes dans chacune de ses deux poches. chaque fois qu’il veut
fumer, il choisit une poche au hasard pour prendre une cigarette. Il répète cela jusqu’à ce qu’il tombe sur un
paquet vide. Soit XN la variable aléatoire qui donne le nombre de cigarettes restant dans l’autre paquet à ce
moment-là.
a) Ecrire une fonction Python qui simule l’expérience et retourne XN. Faire la moyenne pour 1000 tests.
b) Proposer un espace probabilisé (Ω,T,P) qui modélise l’expérience.
c) Exprimer la loi de XN.
d) Montrer que (2N -k)P(XN = k + 1) = 2(N -k)P(XN = k). Calculer l’espérance de XN puis donner un
équivalent de E(Xn).
e) Déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire qui associe le nombre de cigarettes restantes dès
qu’un des paquets est vide.
115. Python. a) i) Ecrire une fonction S(n,p) qui simule une variable aléatoire Sn = Y⁄n, où Y suit une loi
binomiale (n,p).
ii) En déduire une fonction test(n,p) qui affiche les courbes interpolant les points (k,Sk),
puis
b) i) Soient t
et
R et x
. Que remarque-t-on ?
[-1,1]. Montrer que exp(tx) ≤ (1 - x)e-t + (1 + x)et.
ii) On considère une variable aléatoire X telle que |X|≤ 1 et E(X) = 0. Montrer que exp (tX) est d’espérance
finie et que : E exp(tX) ≤ cht ≤ exp(t2⁄2).
c) i) Soient X1 , …,Xn des variables aléatoires centrée indépendantes telles que, pour tout i, |Xi | ≤ ai . On
pose Sn =
Xi. Montrer E
≤ exp
.
ii) Soit ϵ > 0. Montrer : P(Sn > ε) ≤ exp
.
a) En choisissant une bonne valeur de t, montrer : P(Sn > ε) ≤ exp
.
d) Commenter le résultat observé à la première question.
116. Python.Soit h définie sur [0,1] par : h(x) = -xlnx si x≠0 et h(0) = 0. Soit X une variable aléatoire réelle.
On définit l’entropie de X par H(X) =
h P(X = x) (si la famille est sommable).
a) i) Ecrire une fonction entropie(p) qui renvoie un couple (e,d), avec e = H(X) et d = e-lnn, où n est le
nombre de valeurs prises par la variable aléatoire X et p la liste des probabilités correspondantes.
ii) Ecrire une fonction loibin(n,p) et loiuni(N) qui renvoient respectivement la liste des probabilités d’une
variable aléatoire suivant respectivement les lois
(n,p) et U {0,…,N} .
iii) Calculer H(X) lorsque X ~ (15,2⁄5) puis lorsque X ~ U({0,…,15}).
iv) Montrer que toute variable aléatoire prenant un nombre n fini de valeurs admet une entropie avec 0 ≤
H(X) ≤ lnn.
v) Caractériser les cas d’égalité.
b) On considère une urne avec une boule noire et une boule rouge. On tire une boule : si elle est rouge, on
s’arrête ; sinon, on la remet dans l’urne avec une autre boule noire et l’on recommence. On note X le nombre
de tirages, avec X = 0 si l’on n’obtient jamais de boule rouge. La variable aléatoire X admet-elle une
espérance ? une entropie ?
c) Pour n ≥ 2, on pose P(X = n) = ln2
⋅ Montrer que l’on définit bien ainsi une loi. La
variable aléatoire X admet-elle une espérance ? une entropie ?
117. On effectue une succession de tirages dans une urne contient une proportion p de boules bleues, q de
boules vertes, r de boules rouges. Tous les tirages sont effectués avec remise. On note Xn le nombre de
boules bleues tirées après n tirages et Y n le nombre de boules vertes tirées après n tirages.
a) Déterminer les lois de Xn et Y n. Ces variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
b) Soit N une variable qui suit le loi de Poisson
aléatoires sont-elles indépendantes ?
(λ). Déterminer les lois de XN et Y N. Ces variables
118. Python. l’instant n = 0, une urne contient une boule blanche et une boule noire. l’instant n N * , on
tire une boule au hasard. Si c’est une boule blanche, on la remet et l’on ajoute une boule blanche et une
boule noire. Si c’est une boule noire, on la remet et l’on ajoute deux boules noires.
a) Ecrire une fonction Python qui prend en argument le nombre n de tirages et qui renvoie une liste L telle
que L[i] soit égal au nombre de boules blanches à l’instant i.
b) Effectuer environ 100 simulations pour n = 30. partir de ces simulations, tracer :
- le nombre moyen de boules blanches à l’instant i en fonction de i ;
- le carré du nombre moyen de boules blanches à l’instant i en fonction de i.
Quelle conjecture peut-on proposer ?
c) On note pn,r,s la probabilité d’avoir r boules blanches et s boules noires à l’instant n et : H(z, u, v) =
pn,r,survszn.
i) Que vaut pn,r,s si r + s≠2n + 2 ?
ii) Montrer que
(z,1,1) =
blanches à l’instant n.
iii) Montrer que pn+1,r,s =
E(Xn)zn, où Xn est la variable aléatoire donnant le nombre de boules
pn,r-1,s-1 +
119. Python. Soit M = (mi,j)1≤i,j≤n
nuls.
pn,r,s-2.
n(R)
telle que mn,1 = m1,2 =
= mn-1,n = 1, les autres termes étant
a) Donner un polynôme annulateur de J.
On pose ak = e2ikπ⁄n. On considère un mobile qui se déplace sur les ak, qui à l’instant 0 est en a0 et qui, à
chaque instant, fait un pas dans le sens direct ou dans le sens indirect avec équiprobabilité et indépendance.
On note Sm la position de ce mobile à l’instant m.
b) Donner une fonction qui renvoie saut(n,m), position du mobile à l’instant m. Donner de même une
fonction qui renvoie proba(n,m,N), liste à n éléments contenant la proportion des N expériences aléatoires
qui amènent le mobile en position ak (k = 0,…,n - 1) à l’instant m.
c) On suppose que n ≥ 3 est un entier impair. On note Um le vecteur colonne tel que Um (k) = P(Sm = k).
Trouver A telle que Um+1 = AUm. Donner le spectre de A, puis déterminer la limite de P(Sm = k) lorsque m
tend vers + ∞.
d) Étudier le cas où n ≥ 2 est pair.
120. Python.On dispose d’une urne contenant N dés : Nr dés rouges, Nv dés verts et Nb dés bleus. On note pα
= Nα⁄N la probabilité de tirer un dé de couleur α {r,v,b}. Chaque dé possède 4 faces numérotées de 1 à 4.
Pour le dé rouge, la probabilité d’obtenir 4 est de 1⁄2 et les autres faces sont équiprobables. Pour le dé vert,
les faces sont équiprobables. Pour le dé bleu, les faces paires sont équiprobables, les faces impaires sont
équiprobables, la probabilité d’obtenir une face paire étant deux fois plus grande que celle d’obtenir une face
impaire.
a) Pour α
{r, v,b}, Xα est le numéro obtenu en lançant un dé de couleur α. Déterminer la loi de Xα .
b) Ecrire en Python les fonctions Xr(n), Xv(n) et Xb(n) qui simulent n lancers. Proposer une méthode pour
vérifier la validité de ces fonctions et la mettre en œuvre.
c) On tire un dé de l’urne et on le lance. On note X la variable aléatoire donnant le résultat du lancer.
Exprimer la loi de X, son espérance m et sa variance σ2 en fonction de pα .
d) On tire 3 dés avec remise et l’on note X, Y et Z les variables aléatoires donnant le résultat de ces 3
lancers. Exprimer l’espérance de W = (X + Y + Z)2 et de T = XY Z en fonction de m et σ2 .
e) On tire un dé de l’urne, on le lance et l’on obtient 4. Quelle est la probabilité que le dé soit rouge ? Ecrire
un programme Python permettant de le vérifier lorsque pr = 4⁄7, pv = 2⁄7 et pb = 1⁄7.
f) On tire 15 dés avec remises. On note R, V et B le nombre de dés respectivement rouges, verts et bleus.
Calculer P(R = 4,V = 2,B = 9).
g) Même question pour un tirage avec remise.
121. Python. Soit (Ω,
,P) un espace probabilisé. Pour A
a) Montrer que 1⋃
=1-
P
=
Ai
(-1)k-1
, on note 1A sa fonction indicatrice.
(1 - 1Ai). En déduire :
où Jk(n) est l’ensemble des parties à k éléments de {1, …,n}.
P
b) On définit une permutation σ comme une liste σ(0),…,σ(n- 1) . Coder une fonction T(s) renvoyant
l’indice du premier point fixe de la permutation s.
c) On a défini ainsi une variable aléatoire T sur 𝔖n muni de la probabilité uniforme. Coder une fonction
donnant P(T = n). Afficher P(T = n) pour n {3,…,9} et une valeur approchée de 1⁄e. On pourra utiliser la
fonction permutations du module itertools ainsi que de la syntaxe for s in permutations(n).
d) On revient au cas général. On note Ei =
σ
𝔖
i) Que vaut P(Ei) ? P(Ei ∩ Ej), pour i≠j ? P
ii) Pour k
{0,…,n - 1}, montrer que : P(T ≤ k) =
que P(T = n)
n≥2
converge.
e) i) Montrer que E(T) = n -
P(T ≤ k).
,σ(i) = i pour i
, pour J
(-1)j+1
{0, … , n - 1}.
Jk(n) ?
⋅ En déduire P(T = n) et montrer
ii) On admet
=
lorsque n tend vers + ∞.
⋅ En déduire un équivalent de E(T)
. Montrer que E(T) = n - (n + 1)
iii) Montrer l’égalité admise à la question précédente.
122. Python.Un pion se déplace sur des cases numérotées par les entiers naturels. Initialement, il se trouve
sur la case 0 et à chaque instant, il se déplace d’un nombre strictement positif de cases. On note Y i la
variable aléatoire donnant le nombre de cases parcourues lors de la i-ème étape. On suppose que les Y i sont
indépendantes et suivent la même loi. On pose : Sn =
P(Y 1 = i) et u(t) =
Y i qui donne la position du pion à l’instant n, fi =
fiti.
a) On suppose que Y 1 - 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre p
]0,1[.
i) Ecrire une fonction qui prend un paramètre entier k et qui renvoie 1 si le pion atteint la case k et 0 sinon.
ii) Ecrire une fonction qui, sur une trentaine d’essais, renvoie la proportion de fois où le pion atteint la
case k. Comparer à 1⁄E(Y 1).
b) On note Ek l’événement : ≪ le pion atteint la case k ≫ et uk = P(Ek).
i) Décrire l’événement Ek à l’aide des variable aléatoires Sn.
ii) Calculer P Ek ∩{Y 1 = j} pour 1 ≤ j ≤ k.
iii) En déduire ∀k
N*,uk =
uk-jfj.
iv) Justifier la définition de f(t) =
uktk et montrer que f(t) =
⋅
v) Calculer f dans le cas où Y 1 - 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre p
]0,1[ et en déduire les uk .
vi) On suppose que Y 1 prend un nombre fini de valeurs et que les entiers k tels que P(Y 1 = k)≠0 sont
premiers entre eux dans leur ensemble. Montrer que (uk) tend vers 1⁄E(Y 1 ).