P57 Exercices : variables aléatoires discrètes

PC Lycée Thiers Année 2016-2017
P57 Exercices : variables aléatoires discrètes
♥Exercice 1
Mines PC 2015
Deux variables aléatoires Xet Yindépendantes suivent une loi géométrique de paramètre p. On note
U=min{X,Y}et V=max{X,Y}.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (U,V) puis la loi de U.
2. Donner l’espérance et la variance de U.
♥Exercice 2
Mines PC 2015
Une urne contient une proportion p∈]0 ; 1[ de boules noires et q=1−pde boules blanches. On effectue
des tirages successifs avec remise. On note Xla longueur de la première suite de boules de même
couleur, Yla longueur de la seconde.
Déterminer la loi conjointe de (X,Y), en déduire la loi, l’espérance et la variance de X, puis celles de Y.
Vérifier que E(X)Ê2.
♦Exercice 3
ENSEA PC 2015
Soient N∈N∗et xun réel tel que |x| < 1.
1. Déterminer le développement en série entière de 1
(1−x)N+1·
2. Déterminer E(X) où Xest une variable aléatoire réelle de loi de probabilité :
∀k∈N\{0,1,..., N−1}={k∈N,kÊN},P(X=k)=Ãk−1
N−1!pN(1−p)k−N.
♦Exercice 4
ENSEA PC 2015
On considère une suite (Xi)i∈N∗de variables de Bernoulli mutuellement indépendantes de même para-
mètre p∈]0 ; 1[ et pour i∈N∗on pose Yi=XiXi+1. Enfin, on pose Sn=
n
X
i=1
Yi. Déterminer la loi de Yi,
l’espérance et la variance de Sn.
♥Exercice 5
Mines PSI 2015
Soit X une variable aléatoire d’un espace probabilisé (Ω,A,P), telle que X(Ω)=N. On note GXsa
fonction génératrice.
Montrer que ∀r∈]0 ; 1[,P(XÊn)É1−GX(r)
1−rnet étudier les cas d’égalité.
♠Exercice 6
Mines PC 2015
Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La probabilité de tirer une boule blanche
est p>0, celle de tirer une boule noire est q>0 avec p+q=1. On effectue des tirages avec remise. On
note Xla variable aléatoire correspondant à l’apparition de la r-ième boule blanche au n-ième tirage.
1. Étudier les cas r=1, 2 ou 3 et donner la loi de Xpour rquelconque.
2. Donner l’espérance de X.
3. On écrit GX(x)=
+∞
X
n=0
anxn. Trouver le rayon de convergence de cette série entière.
4. Exprimer an+1en fonction de an, établir une équation différentielle vérifiée par GXet la résoudre.
♦Exercice 7
Mines-Ponts PC 2016
Xsuit une loi géométrique. Existence et calcul de Eµ1
X¶?
P 57 : variables aléatoires discrètes page 1/2 R. Thomas

PC Lycée Thiers Année 2016-2017
♦Exercice 8
CCP PC 2016
On pose A=
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 1/3
.
1. Aest-elle diagonalisable ?
2. (Xn)n∈Nest une suite de variables aléatoires à valeurs dans [[1 ; 3]]. On suppose que pour tout
k∈[[1 ; 3]], la variable (Xn+1|Xn=k) suit une loi uniforme sur [[1 ; 3]]. Montrer que
∀n∈N,
P(Xn=1)
P(Xn=2)
P(Xn=3)
=An
P(X0=1)
P(X0=2)
P(X0=3)
.
3. Une matrice M∈M3(R) est dite stochastique si, et seulement si,
–∀(i,j)∈[[1 ; 3]]2,mi j Ê0
–M×V=Voù V=
1
1
1
.
(a) Aest-elle une matrice stochastique ?
(b) Déterminer P∈On(R) telle que P−1×A×P=Ddiagonale.
4. Déterminer lim
n→+∞ P(Xn=k). Interpréter.
♥Exercice 9
CCP PC 2016
On note A=µX(ω) 2
0Y(ω)¶où Xet Ysont deux variables aléatoires définies sur un espace probabi-
lisé (Ω,T,P).
Xsuit une loi binomiale Bµn,1
4¶et Ysuit une loi binomiale Bµn,3 4¶.
1. Calculer la probabilité pour que Asoit inversible.
2. Calculer la probabilité pour que Asoit diagonalisable.
♦Exercice 10
CCP PC 2016
Xet Ysont deux variables aléatoires à valeurs dans N.X,→P(λ), (Y|X=n),→B(n,p).
1. Calculer P(X=j∩Y=i).
2. Calculer P(Y=i).
P 57 : variables aléatoires discrètes page 2/2 R. Thomas