1 Généralités 2 Déterminer la loi de X : avec quelle probabilité X

VARIABLES ALEATOIRES
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I Loi d’une variable aléatoire
Généralités
Définition
Une variable aléatoire sur Ω est :
• Vocabluaire. On parle de variable aléatoire réelle (v.a.r.) lorsque :
Exemple 1 — On lance deux fois un dé équilibré : Ω = ~1 , 62 . La fonction X :« somme des deux résultats
obtenus » est une variable aléatoire. L’ensemble des valeurs prises par X est :
Exemple 2 — On lance une pièce n fois de suite. On note X la variable aléatoire égale au numéro du premier
lancer qui donne pile, si l’on obtient au moins un pile, et qui vaut n + 1 sinon. X(Ω) =
• Notation. Soit X une v.a.r. :
Pour A ⊂ R, l’événement {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A} est noté :
De même, si x ∈ R : • {X = x} =
2
• {X ≤ x} =
Déterminer la loi de X : avec quelle probabilité X prend ses valeurs ?
Définition
La loi de probabilité d’une v.a. X est l’ensemble de couples :
En pratique : déterminer la loi de X revient à
i)
ii)
Exemple 3 — On lance un dé équilibré et on note X le résultat obtenu. Déterminer la loi de X.
Exemple 4 — Dans l’exemple 2, déterminer la loi de X si la pièce donne pile avec probabilité p.
Exemple 5 Une astuce classique — On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne de n
boules numérotées de 1 à n. On note X le plus grand des deux numéros obtenu. Déterminer la loi de X.
Exemple 6 Ex. 109.1, banque CCP — Une urne contient deux boules blanches et n − 2 boules rouges que l’on
tire une à une sans remise. On note X le rang de sortie de la première boule rouge. Déterminer la loi de X.
• Remarque. Les événements {X = k}, k décrivant X(Ω), forment un :
3
.
Espérance
Définition
Soit X une variable aléatoire réelle sur Ω. L’espérance de X est le réel :
• Vocabulaire. Lorsque E(X) = 0, on dit que :
Exemple 7 — Si X est constante de valeur a :
Exemple 8 — Calculer E(X) dans le cas des n lancers de pièce (X est le numéro du 1er lancer qui donne pile)
P
Exercice 1 Une autre expression de l’espérance — Montrer que l’on a aussi E(X) =
X(ω)P ({ω}).
ω∈Ω
Théorème : Propriétés de l’espérance
Soient X, Y deux variable aléatoires réelles sur Ω et soient a, b ∈ R.
1. Linéarité.
2. • Positivité.
• Croissance.
Exercice 2 — Démontrer le point 1 (linéarité).
j Attention j En général :
Théorème : Formule de transfert
Soit f : I → R. On suppose que X est à valeurs dans I. Alors :
Exercice 3 — Démontrer cette formule.
Exemple 9 — On lance un dé équilibré, on note X le résultat obtenu.
Calculer :
E(X 2 )
et
E(eX ).