1 Généralités 2 Déterminer la loi de X : avec quelle probabilité X

VARIABLES ALEATOIRES I Loi d’une variable aléatoire
1 Généralités
Une variable aléatoire sur Ωest :
Définition
•Vocabluaire. On parle de variable aléatoire réelle (v.a.r.) lorsque :
Exemple 1 — On lance deux fois un dé équilibré : Ω = ~ 1 , 6 2 . La fonction X :« somme des deux résultats
obtenus » est une variable aléatoire. L’ensemble des valeurs prises par Xest :
Exemple 2 — On lance une pièce n fois de suite. On note X la variable aléatoire égale au numéro du premier
lancer qui donne pile, si l’on obtient au moins un pile, et qui vaut n+ 1 sinon. X(Ω) =
•Notation. Soit X une v.a.r. : Pour A⊂R , l’événement
{ω∈Ω|X(ω)∈A}
est noté :
De même, si x∈R : •{X=x} = •{X≤x} =
2 Déterminer la loi de X: avec quelle probabilité Xprend ses valeurs ?
La loi de probabilité d’une v.a. Xest l’ensemble de couples :
Définition
i) ii)
En pratique : déterminer la loi de Xrevient à
Exemple 3 — On lance un dé équilibré et on note Xle résultat obtenu. Déterminer la loi de X.
Exemple 4 — Dans l’exemple 2, déterminer la loi de Xsi la pièce donne pile avec probabilité p.
Exemple 5 Une astuce classique — On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne de n
boules numérotées de 1 à n. On note Xle plus grand des deux numéros obtenu. Déterminer la loi de X.
Exemple 6 Ex. 109.1, banque CCP — Une urne contient deux boules blanches et n− 2 boules rouges que l’on
tire une à une sans remise. On note Xle rang de sortie de la première boule rouge. Déterminer la loi de X.
•Remarque. Les événements
{X=k}
, k décrivant X ( Ω ), forment un : .
3 Espérance
Soit Xune variable aléatoire réelle sur Ω. L’espérance de Xest le réel :
Définition
•Vocabulaire. Lorsque E(X) = 0, on dit que :
Exemple 7 — Si Xest constante de valeur a:
Exemple 8 — Calculer E(X) dans le cas des nlancers de pièce (Xest le numéro du 1er lancer qui donne pile)
Exercice 1 Une autre expression de l’espérance —Montrer que l’on a aussi E(X) = P
ω∈Ω
X(ω)P({ω}).
Soient X,Y deux variable aléatoires réelles sur Ωet soient a,b ∈R.
1. Linéarité.
2. • Positivité. •Croissance.
Théorème : Propriétés de l’espérance
Exercice 2 — Démontrer le point 1 (linéarité).
jAttention jEn général :
Soit f:I→R. On suppose que Xest à valeurs dans I. Alors :
Théorème : Formule de transfert
Exercice 3 — Démontrer cette formule.
Exemple 9 — On lance un dé équilibré, on note Xle résultat obtenu. Calculer : E(X2) et E(eX).