fonctions associées.

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30 septembre 2014 FONCTIONS ASSOCIÉES 1re STI2D
I VALEUR ABSOLUE
1 – FONCTION VALEUR ABSOLUE
VALEUR ABSOLUE D’UN NOMBRE
Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de xest égale à la distance de ce nombre à 0. Elle est notée |x|.
|x|=−xsi x60
xsi x>0
EXEMPLES :
|2|=2; | − 3|=3; 
−3
4
=3
4; 1−
−4
3
=1−4
3=−1 3
REMARQUES :
|x|=| − x|;
|x|=0 équivaut à x=0.
ÉTUDE DE LA FONCTION VALEUR ABSOLUE
La fonction f:x7→ |x|, définie sur Rest une fonction affine par morceaux. En effet :
– sur l’intervalle ]−∞;0],f(x) = −x;
– sur l’intervalle [0;+∞[,f(x) = x.
VARIATIONS :
La fonction valeur absolue définie pour tout réel xpar f(x) = |x|est :
– strictement décroissante sur l’intervalle ]−∞;0];
– strictement croissante sur l’intervalle [0;+∞[.
x−∞0+∞
f(x) = |x|
0
COURBE REPRÉSENTATIVE :
01
1
x
y
|x|=−x|x|=x
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2 – VALEUR ABSOLUE D’UNE FONCTION
Soit uune fonction définie sur un intervalle I. La fonction f=|u|est définie pour tout réel xappartenant à I
par :
–f(x) = u(x)lorsque u(x)>0;
–f(x) = −u(x)lorsque u(x)60.
VARIATIONS :
– Les fonctions f=|u|et uont les mêmes variations sur tous les intervalles où u(x)>0
– Les fonctions f=|u|et uont des variations contraires sur tous les intervalles où u(x)60
EXEMPLE :
Soit ula fonction définie sur Rpar u(x) = x2−2x−8. Le tableau de variation de la fonction uest :
x−∞−21 4 +∞
u(x)
−9
0 0
Le tableau des variations de la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 
x2−2x−8 est :
x−∞−21 4 +∞
f(x) = |u(x)|
0
9
0
COURBE REPRÉSENTATIVE :
– La courbe représentative C|u|de la fonction |u|est confondue avec celle de la fonction usur tous les intervalles
où u(x)>0
– La courbe représentative C|u|de la fonction |u|est symétrique de la courbe de la fonction usur tous les
intervalles où u(x)60
EXEMPLE :
01
-9
9
x
y
Cu
C|u|
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II FONCTION f:x7→ u(x) + k
1 – VARIATIONS
Soit uune fonction définie sur un intervalle Iet kun réel fixé.
fest la fonction définie pour tout réel xde l’intervalle Ipar f(x) = u(x) + k.
Les fonctions uet font les mêmes variations sur I
❊DÉMONSTRATION
Supposons que la fonction usoit strictement croissante sur un intervalle [a;b]de I.
Pour tous nombres réels x1et x2de l’intervalle [a;b], si x1<x2alors u(x1)<u(x2), d’où u(x1)+k<u(x2)+k,
soit f(x1)<f(x2).
La fonction fest strictement croissante sur l’intervalle [a;b].
On démontre de la même manière que si uest strictement décroissante sur un intervalle [a;b]de I, alors fest
aussi strictement décroissante sur [a;b].
2 – COURBE REPRÉSENTATIVE
Soit uune fonction définie sur un intervalle Iet kun réel fixé.
fest la fonction définie pour tout réel xde l’intervalle Ipar f(x) = u(x) + k.
La courbe Cf, représentative de la fonction f, est l’image de la courbe Cu, représentative de la fonction u, par
la translation de vecteur k#» j
0#»
i
#»
j
k#» j
N
M
x
Cf
Cu
❊DÉMONSTRATION
Soit N(x;y)un point de la courbe Cfalors
y=f(x)⇔y=u(x) + k⇔y−k=u(x)
Donc le point M(x;y−k)appartient à la courbe Cu
Les coordonnées du vecteur # » MN sont # » MN(0;k)d’où # » MN =k#» j.
Par conséquent, Nest l’image du point Mpar la translation de vecteur k#» j.
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30 septembre 2014 FONCTIONS ASSOCIÉES 1re STI2D
III FONCTION f:x7→ u(x+k)
1 – VARIATIONS
Soit uune fonction définie sur un intervalle Iet kun réel fixé.
Jest l’intervalle constitué des réels x−k, avec xdans I.
fest la fonction définie sur l’intervalle Jpar f(x) = u(x+k).
Pour tout intervalle [a;b]où uest monotone, la fonction fa les mêmes variations sur [a−k;b−k]que la
fonction usur [a;b]
REMARQUE :
Si la fonction uest définie sur un intervalle [a;b], on peut calculer u(x+k)seulement lorsque x+k∈[a;b]soit
pour x∈[a−k;b−k].
❊DÉMONSTRATION
Supposons que la fonction usoit strictement croissante sur un intervalle [a;b].
Pour tous nombres réels x1et x2de l’intervalle [a−k;b−k], si x1<x2alors x1+k<x2+kavec x1+ket x2+k
dans l’intervalle [a;b], d’où u(x1+k)<u(x2+k), soit f(x1)<f(x2).
La fonction fest strictement croissante sur l’intervalle [a−k;b−k].
On démontre de la même manière que si uest strictement décroissante sur un intervalle [a;b], alors fest aussi
strictement décroissante sur [a−k;b−k].
2 – COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe Cf, représentative de la fonction fdéfinie par f(x) = u(x+k), est l’image de la courbe Cu,
représentative de la fonction u, par la translation de vecteur −k#» i
0#»
i
#»
j
k#» i
NM
xx+k
CfCu
❊DÉMONSTRATION
Soit N(x;y)un point de la courbe Cfalors
y=f(x)⇔y=u(x+k)
Donc le point M(x+k;y)appartient à la courbe Cu
Les coordonnées du vecteur # » MN sont # » MN(−k;0)d’où # » MN =−k#» i.
Par conséquent, Nest l’image du point Mpar la translation de vecteur −k#» i.
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30 septembre 2014 FONCTIONS ASSOCIÉES :EXERCICES 1re STI2D
EXERCICE 1
Soit fla fonction affine telle que f(−1) = 3 et f(3)−f(−2) = 2.
1. Quel est le sens de variation de la fonction f?
2. Donner le tableau de signes de la fonction f.
3. Soit gla fonction définie pour tout réel xpar g(x) = |f(x)|.
a) Donner une expression de g(x).
b) Tracer la courbe représentative de la fonction g.
EXERCICE 2
Soit ula fonction définie sur Rpar u(x) = x2−x−6. On note Cusa courbe représentative dans le plan muni
d’un repère orthogonal. La parabole Cuest tracée en annexe ci-dessous.
1. Étudier les variations de la fonction u.
2. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la parabole Cuavec l’axe des abscisses.
3. Étudier le signe de u(x).
4. Soit fla fonction définie pour tout réel xpar f(x) = |u(x)|.
a) Donner une expression de f(x).
b) Tracer la courbe représentative de la fonction fdans le même repère que la fonction u.
2
4
6
8
10
12
14
16
-2
-4
-6
-8
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 0x
y
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