Terminale S Préparation 3 Corrigé 25/09/2012
Exercice 1
1) f est de la forme u v avec u : x
2x et v : x
1 x. f’ est donc de la forme u’v + uv’.
On a donc : f’ (x) = 2 (1 x) + 2x ( 1), soit f’ (x) = 2(1 2x).
Le réel f’ (x) est strictement positif sur l’intervalle ]– ;
2
1
[ et négatif sur l’intervalle ]
2
1
; + [.
Ainsi, la fonction f est croissante sur l’intervalle ]– ;
2
1
[ et décroissante sur l’intervalle ]
2
1
; + [.
On a donc : g (x) = 2 2x + 8x², soit g (x) = 8(x²
),
4
1
2
1x
soit g’ (x) =
.
16
3
4
1
(8
x
Le réel
4
1
(x
est positif ou nul sur IR, donc le réel g (x) est strictement positif sur IR.
Ainsi, la fonction g est strictement croissante sur IR.
2) Soit d1 la tangente à la courbe Cf à l’origine du repère. On a : d1 : y = f’ (0)(x 0) + f (0).
Or, f’ (0) = 2 et f (0) = 0. Ainsi l’équation de la droite d1 est : y = 2x.
Soit d2 la tangente à la courbe Cg à l’origine du repère. On a : d2 : y = g’ (0)(x 0) + g(0).
Or, g’ (0) = 2 et g (0) = 0. Ainsi l’équation de la droite d2 est : y = 2x.
Les droites d1 et d2 sont confondues. Ainsi, les courbes Cf et Cg admettent la même tangente
d’équation y = 2x à l’origine du repère.
3) Étudier la position relative de la courbe Cf et de la droite sur IR revient étudier sur IR le signe du réel
f (x) 2x. Notons A (x) le réel défini sur IR par : A (x) = f (x) 2x.
Sur IR, on a : A (x) = 2x(1 x) 2x, soit A (x) = 2x². Le réel A (x) est négatif ou nul sur IR.
Donc, la courbe Cf est située au dessous de la droite sur IR.
Étudier la position relative de la courbe Cg et de la droite sur IR revient étudier sur IR le signe du réel
g(x) 2x. Notons B (x) le réel défini sur IR par : B (x) = g (x) 2x.
Sur IR, on a : B (x) = 2x 2x² +
3
3
8x
2x, soit B (x) = 2x²(
).1
3
4x
Le réel B (x) est négatif sur ] ;
4
3
[ et positif sur ]
4
3
; + [.
Donc, la courbe Cg est située au dessous de la droite sur ] ;
4
3
[ et au dessus sur ]
4
3
; + [.
Exercice 2
Partie A
1) Il semble que la limite de la suite (un) soit égale à 20.
2) On a
et
.68,0
2615
1769
6,104
76,70
1
2
u
u
On a donc :
.
0
1
1
2u
u
u
u
Donc, la suite (un) n’est pas une suite géométrique.
Partie B
1) À l’aide de la calculatrice, on obtient : u4 = 38,2736.
2)
6,0
)20()20(6,0
20
126,0
20 2086,0
20
20
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
uu
uu
u
u
u
u
v
v
La suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,6 et de 1er terme v0 = 141 (= u0 20 = 161 20).
3) La suite (vn) est définie, pour tout entier naturel n par : vn = 141 (0,6)n.
Or, on a : vn = un 20, soit un = vn + 20.
La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n par : un = 20 + 141 (0,6)n.
4) On a, pour tout réel q compris strictement entre ( 1) et 1 :
n
nqlim
0.
Ainsi, la limite de la suite (un) est bien égale à 20.
Cela confirme la conjecture de la question 1) de la Partie A.
1 / 2 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !