Terminale S - Saint Joseph Machecoul

Terminale S Préparation 3 – Corrigé 25/09/2012
Exercice 1
1)  f est de la forme u  v avec u : x 2x et v : x 1 – x. f’ est donc de la forme u’v + uv’.
On a donc : f’ (x) = 2  (1 – x) + 2x  (– 1), soit f’ (x) = 2(1 – 2x).
Le réel f’ (x) est strictement positif sur l’intervalle ]–  ;
2
1
[ et négatif sur l’intervalle ]
2
1
; + [.
Ainsi, la fonction f est croissante sur l’intervalle ]–  ;
2
1
[ et décroissante sur l’intervalle ]
2
1
; + [.
 On a donc : g’ (x) = 2 – 2x + 8x², soit g’ (x) = 8(x² –
),
4
1
2
1x
soit g’ (x) =
.
16
3
)²
4
1
(8 
x
Le réel
)²
4
1
(x
est positif ou nul sur IR, donc le réel g’ (x) est strictement positif sur IR.
Ainsi, la fonction g est strictement croissante sur IR.
2)  Soit d1 la tangente à la courbe Cf à l’origine du repère. On a : d1 : y = f’ (0)(x – 0) + f (0).
Or, f’ (0) = 2 et f (0) = 0. Ainsi l’équation de la droite d1 est : y = 2x.
 Soit d2 la tangente à la courbe Cg à l’origine du repère. On a : d2 : y = g’ (0)(x – 0) + g(0).
Or, g’ (0) = 2 et g (0) = 0. Ainsi l’équation de la droite d2 est : y = 2x.
 Les droites d1 et d2 sont confondues. Ainsi, les courbes Cf et Cg admettent la même tangente 
d’équation y = 2x à l’origine du repère.
3)  Étudier la position relative de la courbe Cf et de la droite  sur IR revient étudier sur IR le signe du réel
f (x) – 2x. Notons A (x) le réel défini sur IR par : A (x) = f (x) – 2x.
Sur IR, on a : A (x) = 2x(1 – x) – 2x, soit A (x) = – 2x². Le réel A (x) est négatif ou nul sur IR.
Donc, la courbe Cf est située au dessous de la droite  sur IR.
 Étudier la position relative de la courbe Cg et de la droite  sur IR revient étudier sur IR le signe du réel
g(x) – 2x. Notons B (x) le réel défini sur IR par : B (x) = g (x) – 2x.
Sur IR, on a : B (x) = 2x – 2x² +
3
3
8x
– 2x, soit B (x) = 2x²(
).1
3
4x
Le réel B (x) est négatif sur ]–  ;
4
3
[ et positif sur ]
4
3
; + [.
Donc, la courbe Cg est située au dessous de la droite  sur ]–  ;
4
3
[ et au dessus sur ]
4
3
; + [.

Exercice 2
Partie A
1) Il semble que la limite de la suite (un) soit égale à 20.
2) On a
,65,0
805
523
1616,104
0
1
u
u
et
.68,0
2615
1769
6,104
76,70
1
2
u
u
On a donc :
.
0
1
1
2u
u
u
u
Donc, la suite (un) n’est pas une suite géométrique.
Partie B
1) À l’aide de la calculatrice, on obtient : u4 = 38,2736.
2)
6,0
)20()20(6,0 20
126,0
20 2086,0 20
20
11 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
uu uu u
u
u
u
v
v
La suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,6 et de 1er terme v0 = 141 (= u0 – 20 = 161 – 20).
3) La suite (vn) est définie, pour tout entier naturel n par : vn = 141  (0,6)n.
Or, on a : vn = un – 20, soit un = vn + 20.
La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n par : un = 20 + 141  (0,6)n.
4) On a, pour tout réel q compris strictement entre (– 1) et 1 :
n
nqlim
0.
Ainsi, la limite de la suite (un) est bien égale à 20.
Cela confirme la conjecture de la question 1) de la Partie A.