Notions sur les fonctions

Cours
Notions sur
1a-1 les fonctions
Sommaire
1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3 Étude qualitative d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.1 Sens de variation
3
3.2 Extremum
4
L’idée de relation entre des quantités est très ancienne. Le premier
âge de l’idée de fonction est celui de l’antiquité avec notamment les
mathématiciens babyloniens qui usaient largement des tables sexagésimales de réciproques, de carrés, de racines carrées, de cubes. . .
Mais peut-on dire que l’idée de fonction était présente ? Ces tables
étaient conçues comme des relations entre des ensembles discrets
et finis de quantités constantes, bien loin avant que la quantité
variable, et la loi de variation soient exhibés comme des objets
mathématiques.
Il faudra attendre la fin du 17e siècle pour que le terme de fonction
(du latin fuctio qui signifie exécution) soit introduit par le mathématicien allemand Leibniz Gottfried, dans un cadre géométrique.
La notation fx apparaît chez Léonard Euler en 1734. a
a. Une histoire des mathématiques, Dahan-Dalmedico et Peiffer
Leibniz Gottfried (1646-1716)
CM1a-1
M1-MEEF-PE
Notions sur les fonctions
1 Vocabulaire
Soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de R.
Définition 1.
il y a toujours une
image, mais il peut y
avoir 0, 1 ou
plusieurs antécédents
Une fonction est une relation qui à chaque élément x de D est associé un
unique élément y.
f
On note : y = f (x) ou f : x 7→ y ou encore x 7→ y .
• D est appelé ensemble de définition de la fonction f ;
• y est l’image de x par f et x est un antécédent de y par f .
Exemple 2
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 + 3.
• l’image de 5 par f est f (5) = 52 + 3 = 28 ;
• les antécédents de 7 vérifient f (x) = 7 c’est à dire x2 + 3 = 7 soit x2 = 4.
On obtient alors x = −2 ou x = 2 ;
• il n’y a pas d’antécédent de 1 car l’équation f (x) = 1 n’a pas de solution :
x2 + 3 = 1 ⇐⇒ x2 = −2 (un carré est toujours positif).
2 Courbe représentative
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur R par :
f (x) = x2 − 4x + 1.
b
b
6
On trace par exemple la portion de courbe
représentative de f dont les abscisses sont
comprises entre −1 et 5.
On commence par compléter un tableau
de valeurs :
la touche
de la calculatrice
TI-Collège Plus
permet de créer une
table de valeurs
5
4
3
x
−1
0
1
2
3
4
5
2
f (x)
6
1
−2
−3
−2
1
6
1
Puis on place les points de coordonnées
M (x, f (x)) dans le repère ci-contre avant
de tracer « à main levée » la courbe
passant par les points.
−1 0
−1
Le point A de coordonnées (3 ;1) n’appartient pas à la courbe représentative de la
fonction f car f (3) = −2 6= 1.
Cf
−2
−3
A
b
1
2
b
b
b
3
4
5
b
b
−4
N@thalie DAVAL
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Au 17e siècle, René
Descartes invente le
repère cartésien :
deux axes gradués
nommés axe des
abscisses et des
ordonnées
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Notions sur les fonctions
Définition 3.
Dans un repère (O, I, J), l’ensemble des points M de coordonnées (x, f (x))
forme la courbe représentative de la fonction f , souvent notée Cf .
Méthode pour lire une image/un antécédent dans un repère orthogonal.
lecture de l’image d’un nombre :
image de 1
antécédent(s) d’un nombre :
antécédent(s) de 1
Cf
Cf
2
2
1
1
−1 0
−1
1
2
3
4
−1 0
−1
−2
−2
−3
−3
1
2
3
4
on se place en x = 1 sur l’axe des
abscisses, puis on se déplace
verticalement jusqu’à rencontrer Cf .
Enfin, on lit y = f (x) sur l’axe des
ordonnées :
on trace la droite horizontale d’ordonnée
y = 1. À partir des points d’intersection
avec la courbe, on se déplace
verticalement vers l’axe des abscisses
pour lire les antécédents :
l’image de 1 par f est −2
les antécédents de 1 par f sont 0 et 4
3 Étude qualitative d’une fonction
3.1 Sens de variation
Définition 4.
• On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que
soient les réels x1 et x2 dans I tels que x1 6 x2 , on a f (x1 ) 6 f (x2 ).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans le même
ordre que x1 et x2 .
• On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que
soient les réels x1 et x2 dans I tels que x1 6 x2 , on a f (x1 ) > f (x2 ).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans l’ordre
inverse de x1 et x2 .
N@thalie DAVAL
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M1-MEEF-PE
Notions sur les fonctions
une fonction peut ne
pas être uniquement
croissante ou
décroissante
fonction croissante
fonction décroissante
Donner les variations d’une fonction signifie préciser sur quels intervalles la fonction
est croissante, et sur quels intervalles la fonction est décroissante.
Exemple 5
Voici la courbe C représentant les variations des températures moyennes journalières à SaintDenis (Réunion). On note f la fonction représentant ces variations. Le nombre f (3) correspond à la température au 1er mars (troisième mois) par exemple.
Température en ◦ C
28
27
26
+
+
+
25
+
+
+
24
+
23
22
21
+ +
+
+ +
+
20
1
/0
2
01
/1
1
/1
01
01
0
/1
9
01
/0
8
01
/0
7
01
/0
6
01
/0
5
01
/0
4
01
/0
01
/0
3
2
01
/0
01
01
/0
1
Date
On lit les informations suivantes :
• la température augmente au cours du mois de janvier, puis, du 1er septembre jusqu’à la
fin de l’année : f est croisante sur [ 1 ; 2 ] ∪ [ 9 ; 13 ] ;
• la température baisse de février à août : f est (strictement) décroisante sur [ 2 ; 8 ] ;
• la température ne varie pas en août : f est constante sur [ 8 ; 9 ].
3.2 Extremum
Définition 6.
On dit que la fonction f admet un maximum M [resp. minimum m] sur
un intervalle I, atteint en x0 si, quel que soit le réel x dans I, on a f (x) 6 M
[resp. f (x) > m].
Exemple 7
• Le moment le plus chaud de l’année se situe aux alentours du 1er février où il fait 27˚C
la valeur d’un
de moyenne : le maximum de f vaut 27, atteint pour x = 2 ;
extremum dépend de
l’intervalle
considéré !
N@thalie DAVAL
• le mois le plus froid est le mois d’août où il fait 21˚C de moyenne : le minimum de f
vaut 21, il est atteint pour x ∈ [8 ; 9].
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