Notions sur les fonctions

Cours
1a-1 Notions sur
les fonctions
Sommaire
1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Étude qualitative d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1 Sens de variation 3
3.2 Extremum 4
L’idée de relation entre des quantités est très ancienne. Le premier
âge de l’idée de fonction est celui de l’antiquité avec notamment les
mathématiciens babyloniens qui usaient largement des tables sexa-
gésimales de réciproques, de carrés, de racines carrées, de cubes. . .
Mais peut-on dire que l’idée de fonction était présente ? Ces tables
étaient conçues comme des relations entre des ensembles discrets
et finis de quantités constantes, bien loin avant que la quantité
variable, et la loi de variation soient exhibés comme des objets
mathématiques.
Il faudra attendre la fin du 17esiècle pour que le terme de fonction
(du latin fuctio qui signifie exécution) soit introduit par le mathé-
maticien allemand Leibniz Gottfried, dans un cadre géométrique.
La notation fx apparaît chez Léonard Euler en 1734. a
a.Une histoire des mathématiques, Dahan-Dalmedico et Peiffer
Leibniz Gottfried (1646-1716)

CM1a-1 Notions sur les fonctions M1-MEEF-PE
1Vocabulaire
Soit Dun intervalle ou une réunion d’intervalles de R.
Une fonction est une relation qui à chaque élément xde Dest associé un
unique élément y.
On note : y=f(x) ou f:x7→ you encore xf 7→ y.
• D est appelé ensemble de définition de la fonction f;
•yest l’image de xpar fet xest un antécédent de ypar f.
Définition 1.
il y a toujours une
image, mais il peut y
avoir 0, 1 ou
plusieurs antécédents
Exemple 2
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x2+ 3.
•l’image de 5 par fest f(5) = 52+ 3 = 28 ;
•les antécédents de 7 vérifient f(x) = 7 c’est à dire x2+ 3 = 7 soit x2= 4.
On obtient alors x=−2 ou x= 2 ;
•il n’y a pas d’antécédent de 1 car l’équation f(x) = 1 n’a pas de solution :
x2+ 3 = 1 ⇐⇒ x2=−2 (un carré est toujours positif).
2Courbe représentative
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction fdéfinie sur Rpar :
f(x) = x2−4x+ 1.
On trace par exemple la portion de courbe
représentative de fdont les abscisses sont
comprises entre −1 et 5.
On commence par compléter un tableau
de valeurs :
x−1012345
f(x) 6 1 −2−3−2 1 6
Puis on place les points de coordonnées
M(x, f(x)) dans le repère ci-contre avant
de tracer « à main levée » la courbe
passant par les points.
Le point Ade coordonnées (3 ;1) n’appar-
tient pas à la courbe représentative de la
fonction fcar f(3) = −26= 1.
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
12345−1
Cf
0
A
la touche
de la calculatrice
TI-Collège Plus
permet de créer une
table de valeurs
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Dans un repère (O, I, J), l’ensemble des points Mde coordonnées (x, f(x))
forme la courbe représentative de la fonction f, souvent notée Cf.
Définition 3.
Au 17esiècle, René
Descartes invente le
repère cartésien :
deux axes gradués
nommés axe des
abscisses et des
ordonnées
Méthode pour lire une image/un antécédent dans un repère orthogonal.
lecture de l’image d’un nombre :
image de 1
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−10
Cf
on se place en x= 1 sur l’axe des
abscisses, puis on se déplace
verticalement jusqu’à rencontrer Cf.
Enfin, on lit y=f(x) sur l’axe des
ordonnées :
l’image de 1 par fest −2
antécédent(s) d’un nombre :
antécédent(s) de 1
1
2
−1
−2
−3
1234−10
Cf
on trace la droite horizontale d’ordonnée
y= 1. À partir des points d’intersection
avec la courbe, on se déplace
verticalement vers l’axe des abscisses
pour lire les antécédents :
les antécédents de 1 par fsont 0 et 4
3Étude qualitative d’une fonction
3.1 Sens de variation
•On dit que la fonction fest croissante sur un intervalle Isi quels que
soient les réels x1et x2dans Itels que x16x2, on a f(x1)6f(x2).
Autrement dit, les images de x1et de x2sont rangées dans le même
ordre que x1et x2.
•On dit que la fonction fest décroissante sur un intervalle Isi quels que
soient les réels x1et x2dans Itels que x16x2, on a f(x1)>f(x2).
Autrement dit, les images de x1et de x2sont rangées dans l’ordre
inverse de x1et x2.
Définition 4.
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fonction croissante fonction décroissante
une fonction peut ne
pas être uniquement
croissante ou
décroissante
Donner les variations d’une fonction signifie préciser sur quels intervalles la fonction
est croissante, et sur quels intervalles la fonction est décroissante.
Exemple 5
Voici la courbe Creprésentant les variations des températures moyennes journalières à Saint-
Denis (Réunion). On note fla fonction représentant ces variations. Le nombre f(3) corres-
pond à la température au 1er mars (troisième mois) par exemple.
20
21
22
23
24
25
26
27
28
01/01
01/02
01/03
01/04
01/05
01/06
01/07
01/08
01/09
01/10
01/11
01/12
01/01
++++
++++ + ++
++
Température en ◦C
Date
On lit les informations suivantes :
•la température augmente au cours du mois de janvier, puis, du 1er septembre jusqu’à la
fin de l’année : fest croisante sur [ 1 ; 2 ] ∪[ 9 ; 13 ] ;
•la température baisse de février à août : fest (strictement) décroisante sur [ 2 ; 8 ] ;
•la température ne varie pas en août : fest constante sur [ 8 ; 9 ].
3.2 Extremum
On dit que la fonction fadmet un maximum M[resp. minimum m] sur
un intervalle I, atteint en x0si, quel que soit le réel xdans I, on a f(x)6M
[resp. f(x)>m].
Définition 6.
Exemple 7
•Le moment le plus chaud de l’année se situe aux alentours du 1er février où il fait 27˚C
de moyenne : le maximum de fvaut 27, atteint pour x= 2 ;
•le mois le plus froid est le mois d’août où il fait 21˚C de moyenne : le minimum de f
vaut 21, il est atteint pour x∈[8 ; 9].
la valeur d’un
extremum dépend de
l’intervalle
considéré !
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