Leçon dynamique du point

Leçon dynamique du point
La Relation Fondamentale de la Dynamique énoncée par Newton est complète elle permet de poser les problèmes
de mécanique du point en établissant le lien linéaire entre la cause du mouvement les forces et l’effet l’accélération.
La RFD est une équation différentielle du second ordre et une solution au moins numérique peut alors être obtenue.
Après avoir rappelé la notion de référentiel et caractérisé les mouvements de translation, nous allons passer en
revue un certain nombre de forces qui peuvent s’appliquer à un point matériel tension , force de rappel, poids, force
de frottement fluide, force de frottement solide, interaction à distance et nous allons nous intéresser à quelques
systèmes physiques simples en particulier les pendules ; la mesure du temps est en effet un problème crucial en
physique.
I) Solide et point matériel
1) Définition d’un solide
Solide indéformable ; les distances ente deux points quelconques sont constantes
2 points quelconque d’un solide conservent une distance mutuelle constante.
Il y a une question d’échelle de temps : glaciers, vitraux
''AB cst A B
Au delà de la mécanique des solides indéformables,
il y a la mécanique des milieux continus, flexion et vibration des poutres…
Elle n’est pas de notre ‘ressort’
2) mouvement d’un solide
a) Translation d’un solide
Un solide est en mouvement de translation quand les vecteurs qui joignent ses bipoints restent identiques à eux
mêmes. Exemples :
Translation rectiligne uniforme tapis roulant
A
B
A’
B’

Translation rectiligne non uniforme tapis grande vitesse
Suite de translations rectilignes tapis de transport de minerai
Translation circulaire : nacelle d’une grande roue,
ce qui est trompeur c’est que le vecteur qui joint
le centre de la grande roue à la nacelle est en rotation !
Sur cet exemple de danse irlandaise on peut essayer de distinguer les phases de translation pure
https://www.youtube.com/watch?v=VWLwz-QsA_0
pour repérer la translation d’un solide il suffit de connaitre les 3 coordonnées de son centre de gravité. Si un solide
est en translation, on pourra le considérer comme un point matériel.
b) Repérage d’un solide 6 coordonnées a priori
Pour repérer un solide il faut commencer par repérer son centre de gravité ce qui nécessite 3 coordonnées puis il faut repérer
comment un repère i’,j’,k’ lié au solide a bougé par rapport au repère fixe du laboratoire i,j,k ce qui nécessite les trois angles
d’Euler précession , nutation , rotation propre
Le gyroscope et sa suspension à la cardan se décrit naturellement avec les angles d’Euler
c) Autre repérage d’un solide
Une autre façon de prouver que le repérage d’un solide nécessite 6 coordonnées est la suivante ; il faut repérer trois points du
solide soit 9 coordonnées a priori mais comme les distances mutuelles de ces trois points sont constantes par définition d’un
solide on a trois contraintes. 9-3=6
Bien sur des liaisons vont réduire fortement le nombre de coordonnées nécessaires ou indépendantes
Pour repérer un solide il faut connaitre la position d’un de ces pooints 3 coordonnées puis la direction dans laquelle se situe un
autre de ses points 2 angles en sphérique par exemple puis il faut bloquer la rotation autour de l’axe qui joint les deux points
pris en compte 3 angles ce qui fait bien 6 au total
d) Rotation d’un solide
Les solides en plus d’être en translation peuvent aussi être en rotation 3 paramètres sont nécessaires pour décrire la
rotation d’un solide les trois coordonnées du vecteur rotation.
On a en effet vu la formule de dérivation vectorielle qui s’applique à tout vecteur de norme constante donc à un
vecteur basé sur un bipoint d’un solide

Rappel formule de dérivation vectorielle : en choisissant le nom de l’axe Les vecteurs i et j conservant une norme
constante
' cos sin
' sin cos
di di
ji
i t i t j dt dt
k
j t i t j d j d j
ij
dt dt
rotation quelconque
i
i’
j
j’
k
t

Considérons un vecteur AB de norme constante, A et B sont deux points d’un solide.
AB évolue et devient A’B’ faisons glisser A’B’ de telle sorte que A et A’ soient confondus, ceci défini un plan auquel
le vecteur est perpendiculaire
d AB AB
dt
dAB est perpendiculaire à AB car dt est petit
( ) ( )V B V A AB
est la relation de varignon
()t
à un instant donnée il n’y a qu’une façon de définir le vecteur de rotation, c’est le vecteur de rotation
instantané.
Le vecteur rotation d’un solide est intrinsèque, quelle que soit la décomposition du mouvement que l’on fait on
retombe sur la même valeur. Mais le center autour duquel on opère la rotation et la translation associée peuvent
varier.
d) Mouvement instantané le plus général d’un solide vissage.
On démontre que le mouvement instantané le plus général d’un solide est un mouvement de vissage composition d’une translation et d’une rotation de même
axe. On peut le voir sur l’exemple d’une bille qui roule sans glisser le long d’un plan incliné, son mouvement peut être considéré
soit classiquement comme une translation le long de la ligne de plus grande pente composée avec une rotation d’axe perpendiculaire à la ligne de plus grande
pente et parallèle au plan incliné passant par le centre de la bille
ou bien de façon plus surprenante comme une rotation pure (cas particulier de vissage dont la translation est absente) autour du point de contact de la bille
avec le sol.
Dans cette description on doit spécifier un centre instantané de rotation par lequel passe l’axe, il change à chaque instant puisque le point de contact change à
chaque instant. Pour d’autres mouvements la direction de l’axe peut aussi changer.
Considéro ns la bille qui descend le plan incliné
On a l’im pres sion que son mouvement résulte de la compositio n d’une translation et d’une rota tio n autour de so n centre
de gravité ; on peut aussi voir ce mouveme nt comme celui d’une rotation pure autour du point d e contact avec le sol
( ) ( ) ( ) 0v M v G k GM v I k IM k IM
AB
''AB
''d AB A B AB
I
G
k
I
I

a chaque instant l’axe instantané de rotation change de place avec I point de basculement (pour le triangle le point
de basculement reste fixe)
3) Différence entre mécanique du point et mécanique du solide, course d’une bille et
d’une petite voiture sur plan incliné
La bille transforme l’énergie potentielle de pesanteur pas seulement en énergie cinétique de translation mais aussi
en énergie cinétique de rotation elle arrive en retard, une bille et un calot arrivent en même temps. La bille bien que
d’aspect ponctuel n’est pas un point matériel, c’est un solide qui est animé d’un mouvement de rotation et d’ un
mouvement de translation.
La petite voiture quant à elle, possède des roues de masse négligeable et sa matière est donc animée d’un
mouvement de translation qui en fait un point matériel.
Remarquons que les deux objets utilisent le même principe pour limiter les déperditions dus aux frottements,
puissance perdue = réaction tangentielle. vitesse de glissement ; ne pas glisser donc rouler. La roue est la solution
pour vaincre les frottements, les déformations des pneus sont minimes et l’axe de la roue est lubrifié pour que le
mouvement relatif de la roue par rapport à l’axe dissipe faiblement ( à cet endroit il y a glissement mais RTangentiel sur
le tour de l’axe est petit du fait de la lubrification)
Un point matériel dont le seul mouvement est une translation et un solide qui peut avoir en plus une rotation ne se
comportent pas du tout de la même façon du point de vue cinématique et dynamique