LA LOI NORMALE

LA LOI NORMALE
I. Généralités
y
0,4
Définition :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR.
0,3
On dit que X suit la loi normale centrée réduite
si et seulement si, la loi de densité de X est la
fonction f définie sur IR par :
0,2
2
f(x) =
 x 
1
exp–
. On note X ~ N (0 ; 1).
 2 
2π
0,1
Remarques :
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
* On peut prouver que f est continue et positive sur IR ;
* Pour tout x ∈ IR, on a f(– x) = f(x).
On dit que la fonction f est paire (comme x
→

x 2, x
→

x 4,…, x
→

x 2n, x
→

| x | ou x
→

cos x ).
La courbe représentant f dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
+∞
A
1
x 2
1
x 2


⌠
⌠
* f étant une loi de densité, on en déduit que 
exp–  dx = lim 
exp–  dx = 1.
 2
 2
A → + ∞ ⌡– A 2π
⌡– ∞ 2π
+∞
2
 x 
Résultat équivalent à ⌠
 exp– 2  dx =


⌡– ∞
2π.
* La courbe représentative de f est souvent appelée « courbe de Gauss » ou « courbe en cloche ».
* Cette loi est également appelée loi de Gauss ou loi de Laplace – Gauss.
* Cette loi modélise par exemple, la répartition des erreurs de mesure (autrement dit, la probabilité de
commettre une erreur comprise en deux valeurs). µ est la mesure correcte et σ traduit
Propriétés :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR.
On admet que X suit la loi normale centrée réduite (X ~ N (0 ; 1) ).
Pour tout a et b réels (avec a ≤ b), on a donc :
y
0,4
* P (X ∈ [a ; b] ) = P(a ≤ X ≤ b)
b
=⌠

⌡a
0,3
1
x2
exp–  dx
 2
2π
0,2
(même résultat si les bornes sont ouvertes) ;
0,1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
* P ( X ∈ [a ; + ∞ [ ) = P(a ≤ X )
+∞
 x2
1
 dx
exp–
 2
2π
⌠
=
⌡a
=
0,4
⌠A
lim 
A → + ∞ ⌡a
0,3
 x2
1
 dx
exp–
 2 
2π
0,2
0,1
(même résultat si la borne est ouverte) ;
-4
b
* P( X ∈ ] – ∞ ; b] ) = P( X ≤ b) = ⌠

⌡– ∞
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
1
x2
exp–  dx
 2
2π
b
= lim ⌠

A → + ∞ ⌡– A
1
x2
exp–  dx (même résultat si la borne est ouverte) ;
 2
2π
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Propriété : Conséquence de la parité de la fonction de densité de la Loi Normale Centrée Réduite
Soit X une variable aléatoire continue sur IR qui suit la loi normale centrée réduite (X ~ N (0 ; 1) ).
1
2
P( X ≥ 0) = P(X ≤ 0) = ;
Pour tout réel a positif (a ≥ 0), P( X ≤ – a) = P(X ≥ a) ;
Pour tout réel a positif (a ≥ 0), P( – a ≤ X ≤ a) = 1 – 2 P(X ≤ – a) ;
Tous ces résultats sont bien sûr encore valables même avec des égalités strictes.
Remarque :
On ne connaît pas de façon explicite, une primitive de x
→

1
x2
exp– .
 2
2π
On calculera donc grâce à la calculatrice, des valeurs approchées des probabilités issues de la loi normale.
II. Caractéristiques
1. Espérance
Propriété :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR qui suit la loi normale centrée réduite (X ~N
N (0 ; 1) ) alors
x
l’espérance E(X) est égal à 0 .
+∞
+∞
A
x 2
x 2
1
1


⌠
⌠
On a donc E(X) = x×
exp–  dx = 
x exp–  dx = lim ⌠

 2
 2
2π
A → + ∞ ⌡– A
⌡– ∞
⌡– ∞ 2π
1
x 2

x exp–  dx = 0.
 2
2π
Démonstration : VUE EN T.D. À CONNAÎTRE PAR CŒUR !!!
2. Variance et écart type
Propriété (admise) :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR suivant la loi normale centrée réduite (X ~N
N (0 ; 1) ) alors la
variance V(X) est égal à 1 d’où l’écart type σ = V(X) = 1 .
III. Intervalle de confiance
Propriété :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR.
On admet que X suit la loi normale centrée réduite (X ~N
N (0 ; 1) ).
Pour tout réel α ∈ ] 0 ; 1 [ ( 0 < α < 1), il existe un unique réel positif λ α tel que :
P(X ∈ [ – λ α ; λ α] ) = P(– λ α ≤ X ≤ λ α) = 1 – α.
Autrement dit, pour tout réel α strictement entre 0 et 1, il existe un unique réel λ α tel que les valeurs de X sont
entre – λ α et λ α avec une probabilité de 1 – α.
Remarques :
* Une fois de plus, nous n’aurons que des valeurs approchées.
Si α = 0,05. On a alors λ α ≈ 1,96.
Si α = 0,01, on a λ α ≈ 2,58.
D’où P(– 1,96 ≤ X ≤ 1,96) ≈ 0,95 ;
D’où P(– 2,58 ≤ X ≤ 2,58) ≈ 0,99
y
0,4
y
0,4
0,35
0,35
0,3
0,25
0,3
0,2
0,25
0,15
0,1
0,2
0,05
0,15
-4
-3
-2
-1
0
-0,05
0,1
1
2
3
Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1
p(-2,58<X<2,58)=0,990119
4
-0,1
0,05
-5
-4
-3
-2
-1
0
-0,05
1
2
3
4
5
6
x
Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1
p(-1,96<X<1,96)=0,950004
-0,1
* L’intervalle [– λ α ; λ α] est appelé intervalle de confiance ou plage de normalité à 1 – α (ou au seuil de 1 –
α).
x