LA LOI NORMALE

2 3 4-1-2-3-4
0,2
0,3
0,4
0 1
0,1
x
y
LA LOI NORMALE
I. Généralités
Définition :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR.
On dit que X suit la loi normale centrée réduite
si et seulement si, la loi de densité de X est la
fonction f définie sur IR par :
f(x) = 1
2π exp
– x
2
2 . On note X ~ N
NN
N (0 ; 1).
Remarques :
* On peut prouver que f est continue et positive sur IR ;
* Pour tout x ∈ IR, on a f(– x) = f(x).
On dit que la fonction f est paire (comme x
→
x
2
, x
→
x
4
,…, x
→
x
2n
, x
→
| x | ou x
→
cos x ).
La courbe représentant f dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
* f étant une loi de densité, on en déduit que ⌡
⌠
– ∞
+ ∞
1
2π exp
– x
2
2 dx = lim
A → + ∞ ⌡
⌠
– A
A
1
2π exp
– x
2
2 dx = 1.
Résultat équivalent à ⌡
⌠
– ∞
+ ∞
exp – x
2
2 dx = 2π.
* La courbe représentative de f est souvent appelée « courbe de Gauss » ou « courbe en cloche ».
* Cette loi est également appelée loi de Gauss ou loi de Laplace – Gauss.
* Cette loi modélise par exemple, la répartition des erreurs de mesure (autrement dit, la probabilité de
commettre une erreur comprise en deux valeurs). µ est la mesure correcte et σ traduit
Propriétés :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR.
On admet que X suit la loi normale centrée réduite (X ~ N
N N
N (0 ; 1) ).
Pour tout a et b réels (avec a ≤ b), on a donc :
* P (X ∈ [a ; b] ) = P(a ≤ X ≤ b)
= ⌡
⌠
a
b
1
2π exp
– x
2
2 dx
(même résultat si les bornes sont ouvertes) ;
2 3 4-1-2-3-4
0,2
0,3
0,4
0 1
0,1
x
y

2 3 4-1-2-3-4
0,2
0,3
0,4
0 1
0,1
x
y
* P ( X ∈ [a ; + ∞ [ ) = P(a ≤ X )
= ⌡
⌠
a
+ ∞
1
2π exp
– x
2
2 dx
= lim
A → + ∞ ⌡
⌠
a
A 1
2π exp
– x
2
2 dx
(même résultat si la borne est ouverte) ;
* P ( X ∈ ] – ∞ ; b] ) = P ( X ≤ b) = ⌡
⌠
– ∞
b
1
2π exp
– x
2
2 dx
= lim
A → + ∞ ⌡
⌠
– A
b
1
2π exp
– x
2
2 dx (même résultat si la borne est ouverte) ;
2 3 4-1-2-3-4 0 1 x
y
Propriété : Conséquence de la parité de la fonction de densité de la Loi Normale Centrée Réduite
Soit X une variable aléatoire continue sur IR qui suit la loi normale centrée réduite (X ~ N
N N
N (0 ; 1) ).
P ( X ≥ 0) = P (X ≤ 0) = 1
2 ;
 Pour tout réel a positif (a ≥ 0), P ( X ≤ – a) = P (X ≥ a) ;
 Pour tout réel a positif (a ≥ 0), P ( – a ≤ X ≤ a) = 1 – 2 P (X ≤ – a) ;
Tous ces résultats sont bien sûr encore valables même avec des égalités strictes.
Remarque :
On ne connaît pas de façon explicite, une primitive de x
→
1
2π exp
– x
2
2.
On calculera donc grâce à la calculatrice, des valeurs approchées des probabilités issues de la loi normale.
II. Caractéristiques
1. Espérance
Propriété :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR qui suit la loi normale centrée réduite (X ~N
N N
N (0 ; 1) ) alors

l’espérance E(X) est égal à 0 .
On a donc E(X) =⌡
⌠
– ∞
+ ∞
x×
1
2π exp
– x
2
2 dx = ⌡
⌠
– ∞
+ ∞
1
2π x exp
– x
2
2 dx = lim
A → + ∞ ⌡
⌠
– A
A
1
2π x exp
– x
2
2 dx = 0.
Démonstration : VUE EN T.D. À CONNAÎTRE PAR CŒUR !!!
2. Variance et écart type
Propriété (admise) :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR suivant la loi normale centrée réduite (X ~N
N N
N (0 ; 1) ) alors la
variance V(X) est égal à 1 d’où l’écart type σ = V(X) = 1 .
III. Intervalle de confiance
Propriété :
Soit X une variable aléatoire continue sur IR.
On admet que X suit la loi normale centrée réduite (X ~N
N N
N (0 ; 1) ).
Pour tout réel α ∈ ] 0 ; 1 [ ( 0 < α < 1), il existe un unique réel positif λ
α
tel que :
P(X ∈ [ – λ
α
; λ
α
] ) = P(– λ
α
≤ X ≤ λ
α
) = 1 – α .
Autrement dit, pour tout réel α strictement entre 0 et 1, il existe un unique réel λ
α
tel que les valeurs de X sont
entre – λ
α
et λ
α
avec une probabilité de 1 – α .
Remarques :
* Une fois de plus, nous n’aurons que des valeurs approchées.
Si α = 0,05. On a alors λ
λλ
λ
α
αα
α
≈
≈≈
≈ 1,96.
D’où P(– 1,96 ≤ X ≤ 1,96) ≈ 0,95 ;
Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1
p(-1,96<X<1,96)=0,950004
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
-0,05
-0,1
0 1
0,05
x
y
Si α = 0,01, on a λ
λλ
λ
α
αα
α
≈
≈≈
≈ 2,58.
D’où P(– 2,58 ≤ X ≤ 2,58) ≈ 0,99
Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1
p(-2,58<X<2,58)=0,990119
2 3 4-1-2-3-4
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
-0,05
-0,1
0 1
0,05
x
y
* L’intervalle [– λ
α
; λ
α
] est appelé intervalle de confiance ou plage de normalité à 1 – α (ou au seuil de 1 –
α).