Université Paris X

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Université Paris X- Master 2 GRFA
Année 2009-2010
Cours : Mathématiques appliquées à la finance et à l’assurance
Professeur Catherine BRUNEAU
Chargé de TD : Selim MANKAI
TD 1
Probabilité : Une seule variable aléatoire
Exercice 1 (à faire seul(e)) : Soit
baXY
,
0a 
déterminez la densité de probabilité de
Y
sachant que
X
suit une loi uniforme [0,1].
Exercice 2 (à faire seul(e)) : Soit
X
une v.a qui suit une loi normale
2
,N
, montez que
X Y
suit une loi normale
1,0N
.
Exercice 3 (à faire seul(e)): Soit
X
une variable aléatoire de fonction de répartition
X
F
. La
médiane de
X
est la valeur (m) pour laquelle
mFX
=0.5, c'est-à-dire
5.0mXP 
et
5.0mXP 
).
Déterminer (m) lorsque
X
suit :
i) Une loi uniforme continue sur l’intervalle [-1,10].
ii) Une loi exponentielle de paramètre λ=5.
iii) Une loi normale
4,1N 2
Exercice 4 (à faire seul(e)): Soit l’équation (E) du second degré :
01x U 4x2
.
Quelle est la probabilité que (E) ait deux solutions distinctes
21 x et x
sachant que
U
est une
variable aléatoire qui suit :
i) une loi uniforme [0,1].
ii) une loi uniforme [-3,2].
Exercice 5 (à faire seul(e)): Soit
X
une v.a continue avec une fonction de répartition
X
F
inversible et strictement croissante telle que
xFY X
.
1- Vérifiez que
Y
est une variable aléatoire de loi uniforme sur (0,1).
2- On dispose d’un échantillon aléatoire de la v.a
Y
et on voudrait construire un échantillon
aléatoire de
X
.
i)- Décrire la démarche à suivre.
ii) Appliquez cette démarche lorsque
X
suit :
-Une loi exponentielle.
-Une loi normale
2
,N
(vous pouvez utilisez soit la table de la loi normale centrée réduite
soit la fonction loi.normale inverse(.) sur Excel.
Exercice 6 (à faire seul(e)): : Soit
XexpY 
une variable aléatoire, où
X
suit une loi normale
d’espérance et de variance
2
.
1- Quelle est la loi de
Y
? Déterminer sa densité de probabilité.
2- i) Quelle est la principale caractéristique de cette loi?

2
ii) Donnez un exemple de grandeurs en finance et en assurance dont on pourrait décrire la
distribution par les lois de
Y
.
3- Montrer que :
E(˜ Y )mexp(
2
2)
V(˜ Y )exp(2
2) exp( 2)1
Exercice 7 : Soit une société d’assurance qui opère sur la ligne d’activité (incendie). En début de
période elle est confrontée à l’incertitude relative à la charge globale des sinistres qui sera
remboursé en intégralité en fin de période. La société d’assurance dispose en début de période de
réserves de valeur
0
R
de 4000 investie en totalité durant la période dans le taux sans risque
(r=3%). On suppose que la charge globale
S
~
suit une loi lognormale :
LN
2
1000)Y
~
V( et 3000 Y
~
E
qui correspond à l’exponentielle d’une v.a X qui suit une loi
normale de paramètres
2
20.32459σ,7.9536μ
. Par ailleurs, la société est insolvable si la
valeur des réserves est inférieure à la charge de sinistres.
1/ Déterminez en début de période la probabilité de ruine (insolvabilité) de la société ?
2/ A partir de quel montant des réserves la probabilité de ruine devient inférieure ou égale à 1%.
3/ Quelle est la valeur maximale de l’écart type de X pour laquelle le niveau initial des réserves
en fin de période limite la probabilité de ruine à 5%.
4/ Reprenez les questions 1,2 et 3 en simulant la distribution de
S
~
(50000 réalisations).
Indication : la fonction quantile dans la distribution lognormale :
ασΦμexpq1
α
Avec,
.Φ1
est la fonction inverse de la loi normale centrée réduite.
σμ,
sont les paramètres
d’une loi normale ou
σμ,Nexpv,mLN 
.
Exercice 8 : On considère la classe des lois GEV (Generalized Extreme Value) dont la fonction
de répartition est de la forme :
01 1  xpour)
)x(
(exp()x(FGEV
, où est un
paramètre caractéristique de la forme de la loi, un paramètre de position (seuil) et un
paramètre d’échelle.
1/ Montrer que la loi de Gumbel dont la fonction de répartition est donnée par :
))
)x(
exp(exp()x(F
est un cas particulier de loi GEV obtenu pour
0
.
Indication : on fera un développement limité de
)x(FGEV
autour de
0
2/ On veut étudier graphiquement la qualité d’ajustement à une loi de Gumbel d’un échantillon
n
xx ,...,
1
de valeurs supposées rangées par ordre croissant. Que vaut
)x(F iemp
où
emp
F
désigne
la fonction de répartition empirique ? Montrer que l’ajustement à une loi de Gumbel est bon si,
dans le plan
]x))),x(F(Log(Log[ emp
le nuage est « proche » d’une droite dont on donnera
pente et valeur à l’origine.