Université Paris X

Université Paris X- Master 2 GRFA
Année 2009-2010
Cours : Mathématiques appliquées à la finance et à l’assurance
Professeur Catherine BRUNEAU
Chargé de TD : Selim MANKAI
TD 1
Probabilité : Une seule variable aléatoire
Exercice 1 (à faire seul(e)) : Soit Y  aX  b , a  0 déterminez la densité de probabilité de Y
sachant que X suit une loi uniforme [0,1].


Exercice 2 (à faire seul(e)) : Soit X une v.a qui suit une loi normale N  , 2 , montez que
X 
suit une loi normale N 0 ,1 .
Y

Exercice 3 (à faire seul(e)): Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition FX . La
médiane de X est la valeur (m) pour laquelle FX m  =0.5, c'est-à-dire P X  m   0.5
et P X  m   0.5 ).
Déterminer (m) lorsque X suit :
i) Une loi uniforme continue sur l’intervalle [-1,10].
ii) Une loi exponentielle de paramètre λ=5.

iii) Une loi normale N   1, 2  4

Exercice 4 (à faire seul(e)): Soit l’équation (E) du second degré : x 2  4 U x  1  0 .
Quelle est la probabilité que (E) ait deux solutions distinctes x1 et x2 sachant que U est une
variable aléatoire qui suit :
i) une loi uniforme [0,1].
ii) une loi uniforme [-3,2].
Exercice 5 (à faire seul(e)): Soit X une v.a continue avec une fonction de répartition FX
inversible et strictement croissante telle que Y  FX  x  .
1- Vérifiez que Y est une variable aléatoire de loi uniforme sur (0,1).
2- On dispose d’un échantillon aléatoire de la v.a Y et on voudrait construire un échantillon
aléatoire de X .
i)- Décrire la démarche à suivre.
ii) Appliquez cette démarche lorsque X suit :
-Une loi exponentielle.
-Une loi normale N  , 2 (vous pouvez utilisez soit la table de la loi normale centrée réduite
soit la fonction loi.normale inverse(.) sur Excel.


Exercice 6 (à faire seul(e)): : Soit Y  exp  X  une variable aléatoire, où X suit une loi normale
 
d’espérance   et de variance  2 .
1- Quelle est la loi de Y ? Déterminer sa densité de probabilité.
2- i) Quelle est la principale caractéristique de cette loi?
1
ii) Donnez un exemple de grandeurs en finance et en assurance dont on pourrait décrire la
distribution par les lois de Y .
3- Montrer que :

E(Y˜ )  m  exp(   )
2
2
V (Y˜ )  exp(2   )exp( 2 ) 1
2
Exercice 7 : Soit une société d’assurance qui opère sur la ligne d’activité (incendie). En début de
période elle est confrontée à l’incertitude relative à la charge globale des sinistres qui sera
remboursé en intégralité en fin de période. La société d’assurance dispose en début de période de

réserves de valeur R0 de 4000 investie en totalité durant la période dans le taux sans risque
~
(r=3%). On suppose que la charge globale S suit une loi lognormale :
~
~
LN E Y  3000 et V(Y)  10002 qui correspond à l’exponentielle d’une v.a X qui suit une loi




normale de paramètres μ  7.9536, σ 2  0.32459 . Par ailleurs, la société est insolvable si la
valeur des réserves est inférieure à la charge de sinistres.
2
1/ Déterminez en début de période la probabilité de ruine (insolvabilité) de la société ?
2/ A partir de quel montant des réserves la probabilité de ruine devient inférieure ou égale à 1%.
3/ Quelle est la valeur maximale de l’écart type de X pour laquelle le niveau initial des réserves
en fin de période limite la probabilité de ruine à 5%.
~
4/ Reprenez les questions 1,2 et 3 en simulant la distribution de S (50000 réalisations).


Indication : la fonction quantile dans la distribution lognormale : qα  exp μ σΦ 1 α 
Avec, Φ 1 . est la fonction inverse de la loi normale centrée réduite.  μ, σ  sont les paramètres
d’une loi normale ou LN m ,v   exp N  μ, σ  .
Exercice 8 : On considère la classe des lois GEV (Generalized Extreme Value) dont la fonction
( x   ) 
de répartition est de la forme : FGEV ( x )  exp( ( 1 
) pour x  0 , où  est un

paramètre caractéristique de la forme de la loi,  un paramètre de position (seuil) et  un
1
paramètre d’échelle.
1/ Montrer que la loi de Gumbel dont la fonction de répartition est donnée par :
(x)
F ( x )  exp( exp(
)) est un cas particulier de loi GEV obtenu pour   0 .

Indication : on fera un développement limité de FGEV ( x ) autour de   0
2/ On veut étudier graphiquement la qualité d’ajustement à une loi de Gumbel d’un échantillon
x1 ,..., xn  de valeurs supposées rangées par ordre croissant. Que vaut Femp ( xi ) où Femp désigne
la fonction de répartition empirique ? Montrer que l’ajustement à une loi de Gumbel est bon si,
dans le plan [  Log(  Log( Femp( x ))), x ] le nuage est « proche » d’une droite dont on donnera
pente et valeur à l’origine.
2