Chap 12 variables discrètes

Agnès DURRA-GRAS
1
Exemples
Variables aléatoires réelles discrètes
EXP 1
On lance deux dés non pipés. Soit
X
la variable aléatoire égale à la somme des numéros obtenus.
Déterminer la loi de
X
.
EXP 2 : loi uniforme
Une urne contient
n
jetons numérotés de 1 à
n
On les tire un à un sans remise jusqu'à l’obtention du n°1.
On désigne par
X
la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Montrer que
(
)
1,
X U n
∼
EXP 3 : loi de Bernoulli
Durant une année , un jeune homme écrit à une jeune fille avec la probabilité
1
s’il ne lui a pas écrit la veille.
1
2
s’il lui a écrit la veille.
Il lui écrit à coup sûr le jour de l’an.
Soit X
n
la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 si le jeune homme écrit le jour
n
et 0 sinon.
Déterminer la loi de X
n
EXP 4 : loi binomiale
Un mobile se déplace sur un axe gradué.
À
t
=
0
il est en O.
À
t
i
=
son abscisse varie de
+
1
avec la probabilité
1
3
et de
−
1
avec la probabilité
2
3
Soit
X
la variable aléatoire égale au nombre de déplacement à droite entre
t
=
0
et
t
n
=
Justifier que
X
suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
EXP 5 : loi hypergéométrique
Une urne contient
a
boules blanches et
b
boules noires.
On tire successivement
n
boules sans remise.
Soit
X
la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
Quelle est la loi de
X
?
Conséquence ?
EXP 6 : loi géométrique
Une urne contient des jetons numérotés de 1 à
N
On tire les jetons successivement avec remise jusqu'à obtenir le jeton n°
N
.
Soit
X
la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Quelle est la loi de
X
?

Agnès DURRA-GRAS
2
EXP 7
1. Montrer que ( ) ( )
*
p p n n
n n N n∈
=+ où 11 est composée des coefficients de probabilité d’une variable
aléatoire réelle discrète.
2. Montrer que si
X
suit une loi de Poisson de paramètre
λ
alors ces coefficients de probabilité vérifient
bien les conditions.
EXP 8
Soit
X
une variable aléatoire dont la loi est donnée par :
( ) 2,2
XΩ = −
P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = = − = = = = = = =21
8
13
16
05
24
13
8
25
48
; ; ; ;
Déterminer la loi de
Y
X
=
2
EXP 9
Reprendre l’exemple 1 et déterminer la fonction de répartition de
X
En donner une représentation graphique.
EXP 10
On effectue dans une urne contenant
N
jetons numérotés de 1 à
N
n
tirages successifs avec remise.
Quelle est la loi de la variable aléatoire
X
égale au plus grand des numéros tirés ?
EXP 11
Déterminer les espérances des lois usuelles.
EXP 12
Reprendre l’exemple 8 et déterminer l’espérance de
Y
X
=
2
EXP 13
Déterminer les variances des lois usuelles.