Chap 12 variables discrètes

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Agnès DURRA-GRAS
Exemples
Variables aléatoires réelles discrètes
EXP 1
On lance deux dés non pipés. Soit
Déterminer la loi de X .
X la variable aléatoire égale à la somme des numéros obtenus.
EXP 2 : loi uniforme
Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n
On les tire un à un sans remise jusqu'à l’obtention du n°1.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Montrer que
X ∼ U (1, n )
EXP 3 : loi de Bernoulli
Durant une année , un jeune homme écrit à une jeune fille avec la probabilité
1 s’il ne lui a pas écrit la veille.
1
s’il lui a écrit la veille.
2
Il lui écrit à coup sûr le jour de l’an.
Soit X n la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 si le jeune homme écrit le jour
Déterminer la loi de
Xn
EXP 4 : loi binomiale
Un mobile se déplace sur un axe gradué.
À t = 0 il est en O.
1
2
et de −1 avec la probabilité
3
3
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de déplacement à droite entre t = 0 et t = n
Justifier que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
À
t = i son abscisse varie de +1 avec la probabilité
EXP 5 : loi hypergéométrique
Une urne contient a boules blanches et b boules noires.
On tire successivement n boules sans remise.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
Quelle est la loi de X ?
Conséquence ?
EXP 6 : loi géométrique
Une urne contient des jetons numérotés de 1 à N
On tire les jetons successivement avec remise jusqu'à obtenir le jeton n° N .
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Quelle est la loi de X ?
n et 0 sinon.
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Agnès DURRA-GRAS
EXP 7
1. Montrer que
( pn ) n∈N * où pn =
1
est composée des coefficients de probabilité d’une variable
n(n + 1)
aléatoire réelle discrète.
2. Montrer que si X suit une loi de Poisson de paramètre
bien les conditions.
λ
alors ces coefficients de probabilité vérifient
EXP 8
Soit X une variable aléatoire dont la loi est donnée par :
X (Ω) = −2, 2
1
3
5
3
5
; P ( X = −1) =
; P ( X = 0) =
; P ( X = 1) = ; P ( X = 2) =
8
16
24
8
48
2
Déterminer la loi de Y = X
P ( X = −2 ) =
EXP 9
Reprendre l’exemple 1 et déterminer la fonction de répartition de
En donner une représentation graphique.
X
EXP 10
On effectue dans une urne contenant N jetons numérotés de 1 à N n tirages successifs avec remise.
Quelle est la loi de la variable aléatoire X égale au plus grand des numéros tirés ?
EXP 11
Déterminer les espérances des lois usuelles.
EXP 12
Reprendre l’exemple 8 et déterminer l’espérance de Y
EXP 13
Déterminer les variances des lois usuelles.
= X2