Exercice 3 Chute d`une bille dans un fluide visqueux (4 points)

Exercice 3 : Chute d’une bille dans un fluide visqueux (4 points)
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3.1. Exploitation de l'enregistrement
x x
3.1.a (0,25) vitesse moyenne vi à la date ti : v i  i 1 i 1
t i 1  t i 1
3.1.b (0,25) Lorsque t  , le graphe de l’enregistrement 1 montre que la vitesse tend vers une
valeur constante appelée vitesse limite VL. Graphiquement VL = 0,59 m.s-1.
Pondichéry 2009
3.2. Équation du mouvement
On étudie le mouvement du système bille d’acier dans le référentiel terrestre galiléen associé au
repère vertical (Ox) orienté vers le bas.
O
3.2.a. (0,5) Bilan des forces qui s'exercent sur le système :
- le poids : P ,
- la poussée d’Archimède :  ,
- la force de frottement fluide : F .
i

(0,25)
F
3.2.b. (0,5) Exprimons les forces :
P  m.g  m.g.i   .V .g.i
    '.V.g    '.V.g.i
F  k.v  k.v. i
La seconde loi de Newton donne : P
 A + F = m. a
dv
 .V.g –  '.V.g – k.v = m.
dt
dv
( – ’).V.g – k.v = m.
dt
dv  k.v V

 .     '  .g
dt
m
m
En projection selon (Ox) :
en posant :  =
P
+
x
V
.     '  , on obtient une équation différentielle qui se met sous la forme :
m
dv  k.v

 .g
dt
m
3.2.c. (0,25) La fonction v(t)  α.g.
m 
 k 
. 1 exp   .t   est une solution de l'équation précédente si :
k 
 m 
dv (t ) k .v (t )

 .g
dt
m
Exprimons
dv (t )
dt
:
dv (t )
mk
 k 
 k 
 .g.  exp   .t    .g.exp   .t 
dt
k m
m


 m 
k.v (t )
 .g :
m

k.v (t )
k
m 
 k 
 k 
 .g =  ..g. . 1  exp   .t    .g = – .g. 1  exp   .t    .g
m
m
k 
m


 m 

Puis exprimons
k.v (t )
 k 
 k 
 .g = – .g + .g.exp   .t  + .g= .g.exp   .t 
m
m


 m 
On a bien :
dv  kv

 .g
dt
m
quel que soit t.
(0,25) Par ailleurs, v(t=0) = α.g.
respectée.
m 
 k 
. 1 exp   .0   = 0, la condition initiale v(t=0) = 0 est
k 
 m 
3.2.d. (0,25) À partir de l’équation différentielle :
dv
0
dt
Lorsque v = VL = Cte,
alors 0 
m..g
kv
 .g  VL 
k
m
À partir de la solution :
m
m
Pour t  , v() = α.g. .1 exp     , soit v(  ) = VL = α.g.
k
k
Valeur de la vitesse limite VL :
5, 00.103  0, 906  9, 81
(0,25) VL 
= 0,585 m.s-1.
2
7, 60.10
Cette vitesse est proche de la valeur expérimentale 0,59 m.s -1.
Analyse dimensionnelle :
m 
VL 
LT
. 1
   
T
. 2
k    . g  LT
(0,25) Donc le rapport
( est sans dimension).
m
s’exprime en secondes.
k
Valeur numérique :
m 5, 00 103
(0,25)
= 6,5810 –2 s.

2
k 7, 60 10
(0,25) Cette grandeur correspond au temps caractéristique  du régime transitoire de la chute.
3.3. Détermination du temps caractéristique sur l'enregistrement
(0,25) Pour t = , la vitesse est égale à 63% de sa valeur maximale V L :
v(t = ) = 0,63  0,585 = 0,37 m.s -1.
Graphiquement, on trace :
- la courbe représentative de v(t)
- la droite v(t) = V L
- la droite v() = 0,63  V L
Le point d’intersection entre la courbe v(t) et la droite 0,63  V L a une abscisse égale à .
Graphiquement :  = 0,07 s
(0,25) Conclusion : On constate que :  =
m
k
 = 0,07 s
vL = 0,59 m.s-1
v() = 0,37 m.s-1