Programme de TS – 2012 Plan et synthèse de cours : Dérivée – Fonctions trigonométriques Table des matières I – Fonction dérivée.................................................................................................................................................2 1 – Activités autour des notions de première......................................................................................................2 2 – Définition......................................................................................................................................................2 3 – Compléments................................................................................................................................................3 4 – Fonctions cosinus et sinus............................................................................................................................4 www.linear-system.net 1/5 Programme de TS – 2012 I – Fonction dérivée 1 – Activités autour des notions de première - Notion de tangente en a (droite qui épouse la forme de la courbe en a) ; lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation de f 2 – Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I. f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement entre x et a tend vers une limite finie, quand x tend vers a. Dans ce cas, cette valeur finie est f (x )− f (a ) = f ' (a) notée f '(a), nombre dérivée de f en a. Autrement dit : lim x−a x→a f ah−f a =f ' a Autre représentation de cette limite en posant x – a = h : lim h h0 On note T la droite passant par le point de la courbe de f d'abscisse a et de coefficient directeur f '(a). T est appelée la tangente à la courbe de f en a et admet pour équation : y = f '(a)(x – a) + f(a) Exemple 1 : f(x) = x² Soit a un réel, x est différent de a, on recherche la limite du taux d'accroissement entre x et a f (x )− f (a ) f ( x)− f (a) x 2−a 2 =2 a= f ' (a ) = = x+ a . On en déduit lim x−a x →a x−a x−a 1 x Soit a un réel non nul, x est différent de a, on recherche la limite du taux d'accroissement entre x et a 1 1 f (x )− f (a ) − 1 =− 2 = f ' (a) f ( x)− f (a) x a 1 . On en déduit lim x−a = =− x→a a x−a x−a xa Exemple 2 : f (x )= Exemple 3 : f (x )=√ x Soit a un réel strictement positif, x est différent de a et positif, on recherche la limite du taux d'accroissement entre x et a f (x )− f (a ) f ( x)− f (a) √ x−√ a ( √ x−√ a )( √ x+ √ a) 1 1 = = = = = f ' (a ) . D'où lim x−a x−a x−a x→a 2√ a ( x−a)( √ x+ √ a ) √ x+ √ a f ( x)− f ( 0) √ x 1 f x −f 0 = = =∞ . D'où lim x−0 x √x x−0 x 0 La fonction f n'est pas dérivable en 0. Graphiquement, ce résultat se traduit par une demi-tangente verticale en 0 En a = 0, x > 0, le taux d'accroissement devient www.linear-system.net 2/5 Programme de TS – 2012 Exemple 4 : f(x) = x² + x + 1, on recherche la tangente en – 1 La dérivée de f est f ' : f '(x) = 2x + 1 T : y = f '(- 1)(x + 1) + f(- 1) = - (x + 1) + 1 = - x Exemple 5 : on recherche la limite éventuelle en 1 de x 2013−1 x −1 (On obtient une forme indéterminée en 1) Solution possible : interpréter cette expression comme le taux d'accroissement entre x et 1 de la fonction f définie par f (x )=x 2013 Cette fonction est dérivable en 1. L'expression a donc pour limite f '(1) x 2013 −1 2012 , d'où lim =2013 f ' ( x)=2013 x x−1 x→a Cette solution met en évidence une technique de recherche de limite : interprétation de l'expression comme un taux d'accroissement 3 – Compléments C1 : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Que peut-on dire de la dérivabilité de √ u sur I ? Réponse : analysons la limite du taux d'accroissement entre x et a 1 √ u ( x )−√ u (a) = ( √ u ( x )−√ u(a))(√ u( x)+ √ u(a)) = u ( x)−u (a) × x−a x−a ( x−a )( √ u( x)+ √ u (a )) √ u( x)+ √ u (a) u x − u a = u' a Par dérivabilité de u en a et continuité de u en a, on obtient : lim x−a x a 2 u a u' On en déduit la formule de dérivation : u' = 2 u Dans le cas où u(a) s'annule, que peut-on dire ? Réponse : a priori RIEN premier cas : a = 0 et u(x) = x² Dans ce cas √ u( x)=∣ x∣ . lim x → 0 ; x< 0 √ u ( x )−√ u (0)=−1 x−0 et lim x → 0 ; x> 0 √ u ( x )−√ u (0)=+ 1 x−0 √ u n'est pas dérivable en 0. Graphiquement cela se traduit par la présence d'une "pointe" ou point anguleux sur la courbe de la fonction en 0 www.linear-system.net 3/5 Programme de TS – 2012 deuxième cas : a = 0 et u ( x)=x 4 Dans ce cas √ u( x)=x 2 et √ u est dérivable en 0 C2 : n est un entier naturel non nul et u une fonction dérivable sur un intervalle I. Que peut-on dire de la dérivabilité de u n sur I ? Montrons par récurrence que u n est dérivable et que (u n )' =n u n−1 u ' Etape 1 : initialisation. Cette relation est évidemment vraie pour n = 1 Etape 2 ; hérédité On suppose : u n est dérivable et un ' =n un−1 u ' pour un entier n > 0 Montrons : u n+ 1 est dérivable et (u n+ 1) '=(n+ 1)u n u ' Tout repose sur la remarque suivante : u n+ 1=u n×u On en déduit que u n+ 1 est dérivable comme produit de fonctions dérivables Et : (u n+ 1)' =(u n×u)'=n(un −1 )u ' u+ u n u '=( n+ 1)u n u ' Conclusion : la relation est vraie pour tout entier naturel non nul Remarque : Cette relation reste valable pour les entiers relatifs négatifs. En effet, soit n un entier positif 1 1 n 1 n−1 1 1 n−1 −u ' u−n '= n '= '=n '=n 2 =−n u−n−1 u ' u u u u u u C3 : Soit v une fonction définie sur un intervalle I et dérivable sur I. Soit a et b deux réels, a non nul. Soit J un intervalle tel que si x appartient à J, ax + b appartient à I. On pose f(x) = v(ax + b) Théorème : On admet que f est dérivable sur J et f'(x) = (v(ax + b))' = a v '(ax + b) 4 – Fonctions cosinus et sinus PENSE-BETE : On se place dans un plan muni d'un repère orhonormé O , i , j . On considère le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1), soit M un point de ce cercle. On repère l'angle orienté i , OM par sa mesure x. Le point M a pour coordonnées M(cos(x) ; sin(x)) Quelques applications : A1 : La mesure 2 correspond à un tour complet, d'où : cos x2 =cos x ; sin x2 =sin x Les fonction cosinus et sinus sont ainsi périodiques de période 2 www.linear-system.net 4/5 Programme de TS – 2012 A2 : Les points repérés par les angles de mesure respective x et – x sont symétriques par rapport à l'axe horizontale des abscisses, d'où : cos −x =cos x ; sin−x=−sin x La fonction cosinus est ainsi paire et la fonction sinus impaire A3 : La mesure correspond à un demi-tour, les points repérés par les angles de mesure respective x et x sont donc symétriques par rapport à l'origine , d'où : cos x=−cos x ; sin x=−sin x A4 : Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, d'où : −1≤cos x≤1 ;−1≤sin x ≤1 ; cos2 x sin2 x =1 Théorème : – (admis) les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et (cos(x))' = - sin(x) ; (sin(x))' = cos(x) – Soit a et b deux réels, a est non nul. Les fonctions cos(ax + b) et sin(ax + b) sont dérivables ℝ et (cos(ax + b))' = - a sin(ax + b) ; (sin(ax + b))' = a cos(ax + b). Peut se démontrer en utilisant C3 sin x lim =1 . Peut se démontrer en considérant le rapport comme un taux d'accroissement – x x 0 www.linear-system.net 5/5