Table des matières - Résolution des systèmes d`équations linéaires

Programme de TS – 2012
Plan et synthèse de cours : Dérivée – Fonctions trigonométriques
Table des matières
I – Fonction dérivée.................................................................................................................................................2
1 – Activités autour des notions de première......................................................................................................2
2 – Définition......................................................................................................................................................2
3 – Compléments................................................................................................................................................3
4 – Fonctions cosinus et sinus............................................................................................................................4
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I – Fonction dérivée
1 – Activités autour des notions de première
- Notion de tangente en a (droite qui épouse la forme de la courbe en a) ; lien entre le signe de la dérivée et le
sens de variation de f
2 – Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I. f est dérivable en a lorsque le taux
d'accroissement entre x et a tend vers une limite finie, quand x tend vers a. Dans ce cas, cette valeur finie est
f (x )− f (a )
= f ' (a)
notée f '(a), nombre dérivée de f en a. Autrement dit : lim
x−a
x→a
f ah−f a
=f ' a
Autre représentation de cette limite en posant x – a = h : lim
h
h0
On note T la droite passant par le point de la courbe de f d'abscisse a et de coefficient directeur f '(a). T est
appelée la tangente à la courbe de f en a et admet pour équation : y = f '(a)(x – a) + f(a)
Exemple 1 : f(x) = x²
Soit a un réel, x est différent de a, on recherche la limite du taux d'accroissement entre x et a
f (x )− f (a )
f ( x)− f (a) x 2−a 2
=2 a= f ' (a )
=
= x+ a . On en déduit lim
x−a
x →a
x−a
x−a
1
x
Soit a un réel non nul, x est différent de a, on recherche la limite du taux d'accroissement entre x et a
1 1
f (x )− f (a )
−
1
=− 2 = f ' (a)
f ( x)− f (a) x a
1 . On en déduit lim
x−a
=
=−
x→a
a
x−a
x−a
xa
Exemple 2 :
f (x )=
Exemple 3 : f (x )=√ x
Soit a un réel strictement positif, x est différent de a et positif, on recherche la limite du taux d'accroissement
entre x et a
f (x )− f (a )
f ( x)− f (a) √ x−√ a ( √ x−√ a )( √ x+ √ a)
1
1
=
=
=
=
= f ' (a )
. D'où lim
x−a
x−a
x−a
x→a
2√ a
( x−a)( √ x+ √ a )
√ x+ √ a
f ( x)− f ( 0) √ x 1
f  x −f  0
= =
=∞
. D'où lim
x−0
x √x
x−0
x 0
La fonction f n'est pas dérivable en 0. Graphiquement, ce résultat se traduit par une demi-tangente verticale en 0
En a = 0, x > 0, le taux d'accroissement devient
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Exemple 4 : f(x) = x² + x + 1, on recherche la tangente en – 1
La dérivée de f est f ' : f '(x) = 2x + 1
T : y = f '(- 1)(x + 1) + f(- 1) = - (x + 1) + 1 = - x
Exemple 5 : on recherche la limite éventuelle en 1 de
x 2013−1
x −1
(On obtient une forme indéterminée en 1)
Solution possible : interpréter cette expression comme le taux d'accroissement entre x et 1 de la fonction f
définie par f (x )=x 2013
Cette fonction est dérivable en 1. L'expression a donc pour limite f '(1)
x 2013 −1
2012
, d'où lim
=2013
f ' ( x)=2013 x
x−1
x→a
Cette solution met en évidence une technique de recherche de limite : interprétation de l'expression comme un
taux d'accroissement
3 – Compléments
C1 : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Que peut-on dire de la dérivabilité
de √ u sur I ?
Réponse : analysons la limite du taux d'accroissement entre x et a
1
√ u ( x )−√ u (a) = ( √ u ( x )−√ u(a))(√ u( x)+ √ u(a)) = u ( x)−u (a) ×
x−a
x−a
( x−a )( √ u( x)+ √ u (a ))
√ u( x)+ √ u (a)
 u x − u a = u' a
Par dérivabilité de u en a et continuité de u en a, on obtient : lim
x−a
x a
2  u a
u'
On en déduit la formule de dérivation :   u' =
2 u
Dans le cas où u(a) s'annule, que peut-on dire ? Réponse : a priori RIEN
premier cas : a = 0 et u(x) = x²
Dans ce cas
√ u( x)=∣ x∣
.
lim
x → 0 ; x< 0
√ u ( x )−√ u (0)=−1
x−0
et
lim
x → 0 ; x> 0
√ u ( x )−√ u (0)=+ 1
x−0
√ u n'est pas dérivable en 0. Graphiquement cela se traduit par la présence d'une "pointe" ou point anguleux
sur la courbe de la fonction en 0
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deuxième cas : a = 0 et u ( x)=x 4
Dans ce cas √ u( x)=x 2 et √ u est dérivable en 0
C2 : n est un entier naturel non nul et u une fonction dérivable sur un intervalle I. Que peut-on dire de la
dérivabilité de u n sur I ?
Montrons par récurrence que u n est dérivable et que (u n )' =n u n−1 u '
Etape 1 : initialisation. Cette relation est évidemment vraie pour n = 1
Etape 2 ; hérédité
On suppose : u n est dérivable et un ' =n un−1 u ' pour un entier n > 0
Montrons : u n+ 1 est dérivable et (u n+ 1) '=(n+ 1)u n u '
Tout repose sur la remarque suivante : u n+ 1=u n×u
On en déduit que u n+ 1 est dérivable comme produit de fonctions dérivables
Et : (u n+ 1)' =(u n×u)'=n(un −1 )u ' u+ u n u '=( n+ 1)u n u '
Conclusion : la relation est vraie pour tout entier naturel non nul
Remarque : Cette relation reste valable pour les entiers relatifs négatifs. En effet, soit n un entier positif
1
1 n
1 n−1 1
1 n−1 −u '
u−n '= n  '=  '=n    '=n   2 =−n u−n−1 u '
u
u
u
u
u
u
C3 : Soit v une fonction définie sur un intervalle I et dérivable sur I. Soit a et b deux réels, a non nul. Soit J un
intervalle tel que si x appartient à J, ax + b appartient à I. On pose f(x) = v(ax + b)
Théorème : On admet que f est dérivable sur J et f'(x) = (v(ax + b))' = a v '(ax + b)
4 – Fonctions cosinus et sinus
PENSE-BETE : On se place dans un plan muni d'un repère orhonormé O , i , j . On considère le cercle
trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1), soit M un point de ce cercle. On repère l'angle orienté
 i , 
OM  par sa mesure x. Le point M a pour coordonnées M(cos(x) ; sin(x))
Quelques applications :
A1 : La mesure 2  correspond à un tour complet, d'où : cos  x2 =cos  x ; sin x2 =sin x 
Les fonction cosinus et sinus sont ainsi périodiques de période 2 
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A2 : Les points repérés par les angles de mesure respective x et – x sont symétriques par rapport à l'axe
horizontale des abscisses, d'où : cos −x =cos  x ; sin−x=−sin  x
La fonction cosinus est ainsi paire et la fonction sinus impaire
A3 : La mesure  correspond à un demi-tour, les points repérés par les angles de mesure respective x et
x sont donc symétriques par rapport à l'origine , d'où : cos  x=−cos  x ; sin x=−sin x 
A4 : Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, d'où :
−1≤cos  x≤1 ;−1≤sin x ≤1 ; cos2  x sin2  x =1
Théorème :
– (admis) les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et (cos(x))' = - sin(x) ; (sin(x))' = cos(x)
– Soit a et b deux réels, a est non nul. Les fonctions cos(ax + b) et sin(ax + b) sont dérivables ℝ et
(cos(ax + b))' = - a sin(ax + b) ; (sin(ax + b))' = a cos(ax + b). Peut se démontrer en utilisant C3
sin  x
lim
=1 . Peut se démontrer en considérant le rapport comme un taux d'accroissement
–
x
x 0
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